數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法

數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法

數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏．有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起．探索性問題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)．本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法．?dāng)?shù)列這一章的主要章節(jié)結(jié)構(gòu)為：

近幾年來(lái)，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面：（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式．（2）數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合．（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長(zhǎng)率問題為主．試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大．

我僅對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)公式這一部分內(nèi)容做一個(gè)淺顯的分析與提煉．

題型1已知數(shù)列前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式

在我們的教材中，有這樣的題目：

1．

數(shù)列0,的通項(xiàng)a

n01n為奇數(shù)n為偶數(shù)．

2．?dāng)?shù)列

1

122312

2

,

1

,

1

344556

2

,

1

n

的通項(xiàng)an（1）

1n(n1)

．

3．?dāng)?shù)列1

,1

34

2

,1,1

78

2

n1的通項(xiàng)an1+（1）

2n1(2n)

2

．

此題主要通過學(xué)生觀察、試驗(yàn)、合情推理等活動(dòng)，且在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力．相對(duì)于填空題或是選擇題只需利用不完全歸納法進(jìn)行猜想即可；對(duì)于解答題，往往還需要我們進(jìn)一步加以證明．

例如（2003年全國(guó)高考）已知數(shù)列an滿足a11,an3n1an1(n2)．(Ⅰ)求：a2,a3；

312

n

(Ⅱ)證明：an

．

分析：?jiǎn)栴}（１）主要滲透一般化特殊化，利用已知的遞推公式求具體．

問題（２）與問題（１）緊密相連，可以從特殊入手，歸納論證相結(jié)合，求一般．當(dāng)然

n1

還可用后面介紹的方法即注意到進(jìn)行anan13(n2)，由特殊化歸為等比數(shù)列等

加以證明．本題貫穿特殊化與一般化的思維方法，實(shí)質(zhì)上是歸納中的綜合．課堂中我們還可以設(shè)計(jì)如下例題及練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生這方面的技能．例1.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：

2

221321421521(n1)1(1),,,;an2345n1

11111n

(2),,,.an(1)

12233445n(n1)

例2.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：n

(1)1,7,13,19,;an(1)(6n5)

(2)7,77,777,7777,77777,;an

79n(101)

n

(3)5,0,5,0,5,0,5,0,.an5sin

2

練習(xí)１:寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

n

313131(1)2(1)1,,,,,,;an23456n

(2)

31537n2

,,,,,.an52117173n2

2

練習(xí)２．在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表．

練習(xí)３．根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜測(cè)第n個(gè)圖中有__n-n+1_個(gè)點(diǎn)．

。

。。。

（1）（2）（3）（4）（5）

相關(guān)的高考試題有：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

（2004年全國(guó)卷）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+?+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an1

___n1，n2．

分析：由已知，a2a11．

由ana12a23a3(n1)an1生成

an1a12a23a3(n2)an2

兩式相減得：anan1(n1)an1，即

為商型的，用累乘法可得an

即ann2anan1a3a2nana2n(n1)43,anan1an2an1．

（2006年廣東卷）在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第2,3,4,堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)_10_；f(n)_1

6n(n1)(n2)___

（答案用n表示）.

題型2由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式

在我們的教材中，有這樣的題目：

3?

１．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

12

(nn)，則an

2

２．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn32n，則an

這類題目主要注意sn與an之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化．即：

S1(n=1)

an=a1an=

SS(n2)n1n

n

52

n1

n1，

．n2，

(a

k2

k

ak1)．

一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式．例如：（04年浙江）設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)的和Sn=(Ⅰ)求a1；a2；

13

（an-1）(nN)．

(Ⅱ)求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列．

13

(a11),得a1

14

13

(a11)∴a1

解:(Ⅰ)由S1

a1a2

13

12

又S2

13

(a21),即

(a21),得a2

.

13

(an1)

13

(an11),

(Ⅱ)當(dāng)n>1時(shí),anSnSn1得

anan1

12

,所以an是首項(xiàng)

12

,公比為

12

的等比數(shù)列．

課堂中我們還可以設(shè)計(jì)如下例題及練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生這方面的技能．

n

n1例3.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3·2-3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.an32

練習(xí)1：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n+3n+2，求通項(xiàng)an的表達(dá)式，并指出此數(shù)列是否為等差數(shù)列.an

n1，

4n1n2，

7

2

練習(xí)2：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an．相關(guān)的高考試題有：an2n

(2004全國(guó)卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+(-1)n,n≥1．

（Ⅰ）寫出求數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1,a2,a3；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

4

（Ⅲ）證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4，有

1a4

1a5

1am

78

.

.解：⑴當(dāng)n=1時(shí),有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；

當(dāng)n=2時(shí),有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；當(dāng)n=3時(shí),有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：anSnSn12an(1)n2an1(1)n1化簡(jiǎn)得：an2an12(1)n1上式可化為：an故數(shù)列{an故an

23

23

n

3

23

n

(1)2[an1

23

n

23

1

(1)

n1

]

(1)}是以a1132

n1

(1)為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.132

n1

(1)

∴an

23[2

23

n

(1)

n

23

[2

n2

(1)]

n

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an⑶由已知得：

1a4

1a5

1am

n2

(1)].

3

221

[

1

2

121

3

12

m2

(1)

m

]

3111111[m2]m2391533632(1)

1212[1[1

13131515111110121120]]

1

14[23

1315

5

(11

11

m5

)]

14221[m5]23552

2

1

1m5131041057().52151201208

故

1a41a51am78(m>4).

（2006年湖北卷）已知二次函數(shù)yf(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)6x2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(nN)均在函數(shù)yf(x)的圖'

像上．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；1

anan1m20（Ⅱ）設(shè)bn，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn對(duì)所有nN都成立

的最小正整數(shù)m．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題的能力和推理能力．

解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax2+bx(a≠0),則f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.

2又因?yàn)辄c(diǎn)(n,Sn)(nN)均在函數(shù)yf(x)的圖像上，所以Sn＝3n－2n.

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－（3n1)2(n1)＝6n－5.2

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（nN）.

（2006年安徽卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a112,Snnannn1,n1,2,．2

（Ⅰ）寫出Sn與Sn1的遞推關(guān)系式n2，并求Sn關(guān)于n的表達(dá)式；

（Ⅱ）設(shè)fnxSnnxn1,bnfn/ppR，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．

6

解：由Snnannn1n2得：Snn(SnSn1)nn1，即

2

2

(n1)SnnSn1nn1，所以

2

2

n1n

Sn

nn1

Sn11，對(duì)n2成立．

32S2

21

S11相加得：

由

n1n

Sn

nn1

Sn11，

nn1

Sn112

n1n2

Sn21，?，

n1n

Sn2S1n1，又S1a1

Snn

3

，所以Sn，得bnfn

/

n

2

n1

，當(dāng)n1時(shí)，也成立．

（Ⅱ）由fnx

x

n1

nn1

x

n1

pnpn．

，

p(1p)1p

n

而Tnp2p23p3(n1)pn1npn，

pTnp2p3p(n1)pnp

2

4

n

n1

(1P)Tnpppp

23n1

pnp

nn1

np

n1

．

題型3已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式在我們的教材中，還有這樣的類型題：

1．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a11，且anan13(n2)，則an．2．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a11，且an2an13(n2)，則ann13．已知數(shù)列{an}的a11，a22且an

12

(an1an2)(n3)，則lim

anan1

x

1．

4．已知數(shù)列{an}的a11，a22且an22an1an,則an

這類問題是通過題目中給定的初始值和遞推公式，在熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生的一系列變式．

我們應(yīng)清楚的意識(shí)到：

1．證明數(shù)列an是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明an1ananan1

(n2)或

an1an

anan1

(n2)而得．

2．在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解．

3.等差數(shù)列、等比數(shù)列求通項(xiàng)公式涉及的迭代、累加、累乘、構(gòu)造等方法．我們具體進(jìn)行如下分析：

7

一、由等差，等比演化而來(lái)的“差型”，“商型”遞推關(guān)系題組一：

數(shù)列{an}中，a11,an1an2，求{an}的通項(xiàng)公式．a(chǎn)n2n1變式1：數(shù)列{an}中，a11,an1ann，求{an}的通項(xiàng)公式．a(chǎn)n

n1

12

n

2

12

n1

變式2：數(shù)列{an}中，a11,an1an3

1an12an

，求{an}的通項(xiàng)公式．a(chǎn)n

1n

3

n1

1

2

變式3：已知數(shù)列{an}滿足a11，

1an

1，求an．a(chǎn)n

變式4：數(shù)列{an}中，a11,an1分析：①等差數(shù)列：an1and

an2

，求{an}的通項(xiàng)公式．a(chǎn)n

2n1

生成：a2a1d，a3a2d，?an1an2d，anan1d累加：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1=(n1)da1由此推廣成差型遞推關(guān)系：anan1f(n)(n2)

n

累加：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1=f(n)a1，于是只要

2

f(n)可以求和就行．

題組二、

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a11，且an3an1(n2)，則an3n1．變式1：已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a11，且an

n1n

an1(n2)，則an

1n

n

變式2：數(shù)列{an}中，a12,an13an2，求{an}的通項(xiàng)公式．a(chǎn)n31

變式3：數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，

22

且(n1)an1nanan1an0,(n1,2,3,)，求{an}的通項(xiàng)公式．a(chǎn)n

1n

分析：②等比數(shù)列：an1anq

生成：a2a1q，a3a2q，?an1an2q，anan1q累乘：an

anan1

an1an2

a2a1

a1=qn1a1

8

由此推廣成商型遞推關(guān)系：累乘：an

anan1

an1an2

anan1a1

g(n)

n

a2

a1

g(n)a

2

1

為了提高，我們還可以引用下列例題：例1、若數(shù)列an滿足：a12,an

2(2n1)

n

an1,(n2)．

求證：①anC2nn；②an是偶數(shù)．

證明：由已知可得：

又an而C

n2n

anan1

2(2n1)

na2a1

n

=

235(2n1)

n!

n

anan1

an1an2

a1=

235(2n1)

n!

n!n!

(2n)!n!n!

246(2n2)2n135(2n1)

nnn

所以anC2n，而anC2n2C2n1為偶數(shù)．

kk

例2、已知數(shù)列{an}中a11，且a2ka2k1(1),a2k1a2k3其中

k=1,2,3,??.（I）求a3,a5；（II）求{an}的通項(xiàng)公式.解（Ⅰ）（略）a33,a513

(II)a2k1a2k3ka2k1(1)k3k

所以a2k1a2k13故a2k1

k

k

(1)，為差型

k

(a2k1a2k1)(a2k1a2k3)(a3a1)a1

k1

(333)(1)(1)

k

kk1

(1)1

=

3

k1

2

12

(1)1．

k

2所以{an}的通項(xiàng)公式為：

n2

a2ka2k1(1)

3

k

12

(1)

k1

(1)1

k

3

k

2

12

(1)1．

k

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an

3

2

n1

2

n

(1)

n

2

12

12

1；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an

322

(1)21．

二．由差型，商型類比出來(lái)的和型，積型：即anan1f(n),和anan1g(n)

9

例如：數(shù)列an中相鄰兩項(xiàng)an，an1是方程x23nxbn0的兩根，已知a1017，求b51的值．

分析：由題意：an+an13n

②—①：an2an3．

所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)成等差，所有的偶數(shù)項(xiàng)也成等差．

其基本思路是，生成，相減；與“差型”的生成，相加的思路剛好相呼應(yīng)．到這里本題的解決就不在話下了．

特別的，若an+an1c，則an2an．

即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)均相等，所有的偶數(shù)項(xiàng)也相等．

若anan12n

an2

an①②生成：an1+an23(n1)①則an1an22n1②②÷①：2．

所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)成等比，所有的偶數(shù)項(xiàng)也成等比．

其基本思路是，生成，相除；與“商型”的生成，相乘的思路剛好相呼應(yīng)．特別地，若anan1c，則an2an．

即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)均相等，所有的偶數(shù)項(xiàng)也相等．

三．可以一次變形后轉(zhuǎn)化為差型，商型的

1．a(chǎn)npan1f(n)

n1例如：設(shè)a0是常數(shù)，且an2an13，（nN*）．證明：an(2)．5

分析：這道題目是證明型的，最簡(jiǎn)單的方法當(dāng)然要數(shù)數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)在我們考慮用推導(dǎo)a0

n1的方法來(lái)處理an2an13的三種方法：

n方法（1）：構(gòu)造公比為—2的等比數(shù)列an3，用待定系數(shù)法可知n13(1)nn12n15．

ann(2)方法（2）：構(gòu)造差型數(shù)列，即兩邊同時(shí)除以得：n(2)

anan113n()，從而可以用累加的方法處理．nn132(2)(2)

方法（3）：直接用迭代的方法處理：

an2an13

2

3n12(2an23n3n2)3n1n1(2)an2(2)32n23n1(2)(2an33)(2)32n23(2)an3(2)3

2n3(2)3n23n110

(2)a0(2)

n

nn1

3(2)

n1

0n2

3(2)

1n3

3(2)3

22n3

(2)3

n2

3

n1

．

5

說(shuō)明：①當(dāng)f(n)c或f(n)anb時(shí)，上述三種方法都可以用；(2)a0

n

3(1)2

n

②當(dāng)f(n)n2時(shí)，若用方法1，構(gòu)造的等比數(shù)列應(yīng)該是anpn2qnr而

用其他兩種方法做則都比較難．

③用迭代法關(guān)鍵是找出規(guī)律，除含a1外的其它式子，常常是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題．

2．a(chǎn)np(an1)q型例如：已知an

1a

（2003年江蘇卷22題改編）(an1)，首項(xiàng)為a1，求an．

2

方法1：兩端取常用對(duì)數(shù)，得lgan2lgan1lga，令bnlgan，則bn2bn1lga，轉(zhuǎn)化如上面類型的．特別的，a=1，則轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列．

方法2：直接用迭代法：

an

1aan1

2

1a

(

1a

an2)

22

a2n1112221122n22n1

()a()a1a(1)．a(chǎn)aa

四．f(Sn,an)0型的

利用anSnSn1,(n2)轉(zhuǎn)化為g(an,an1)0型，或h(Sn,Sn1)0型即混合型的轉(zhuǎn)化為純粹型的．

n

例如：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an(1),n1．(Ⅰ)寫出數(shù)列an的前3項(xiàng)a1,a2,a3;(Ⅱ)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．

n

分析：Sn2an(1),n1.

-①-②

由a1S12a11,得a11.

由n2得，a1a22a21，得a20-③由n3得，a1a2a32a31，得a32-④

n1

用n1代n得Sn12an1(1)

-⑤

n

①—⑤：anSnSn12an2an12(1)n

即an2an12(1)

n1

--⑥

n

an2an12(1)

n

22an22(1)

2(1)

n

2an22(1)

22n1

2(1)

n

2

n1

a12

n1

(1)2

n2

(1)2(1)

2

23

2

n2

(1)

n1

-⑦

又如：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11,an1

n2n

Sn(n1,2,3).

11

證明：數(shù)列{

Snn

是等比數(shù)列．

n2n

Sn,

方法1∵an1Sn1Sn,an1

∴(n2)Snn(Sn1Sn),整理得nSn12(n1)Sn,所以

Sn1n1

2

Snn

.故{

Snn

}是以2為公比的等比數(shù)列.

SnSn1

方法2：事實(shí)上，我們也可以轉(zhuǎn)化為由sn

snsn1

sn1sn2

s2s1

s1=2

n1

2nn1

，為一個(gè)商型的遞推關(guān)系，

n1n22n1

a1na12．

n1n2n31

n

當(dāng)然，還有一些轉(zhuǎn)化的方法和技巧，如基本的式的變換，象因式分解，取倒數(shù)等還是要

求掌握的．

生成與迭代是遞推關(guān)系的最重要特征．遞推關(guān)系一般說(shuō)來(lái)，是對(duì)任意自然數(shù)或大于等于2的自然數(shù)總成立的一個(gè)等式，自然數(shù)n可以取1，2，3?n，n+1等等，這樣就可以衍生出很多的等式．這就是所謂的生成性．對(duì)于生成出來(lái)的等式，我們往往選一些有用的進(jìn)行處理．比如相加，相減，相乘，相除等，但用的最多的還是由后往前一次又一次的代入，直到已知項(xiàng)．這種方法就叫迭代．上面的很多例題都可以體現(xiàn)這一點(diǎn)．這種很樸素的思想，對(duì)于相關(guān)的其他數(shù)列問題也是非常有效的．

這類的高考試題也比比皆是，如：

（2004年全國(guó)卷）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+?+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an

1___

n1，n2．

分析：由已知，a1a21

由ana12a23a3(n1)an1生成

an1a12a23a3(n2)an2

兩式相減得anan1(n1)an1，即為商型的，用累乘法可得an即an

n2

anan1

n

a3a2

ana2

n(n1)43,

an

an1an2

an1

．

2.已知數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，

(Ⅰ)設(shè)數(shù)列bnan12an(n1,2,)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列cn

an2

n

,(n1,2,)，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；

12

（Ⅲ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和．

分析：由于{bn}和{cn}中的項(xiàng)都和{an}中的項(xiàng)有關(guān)，{an}中又有Sn1=4an+2，可由Sn2-Sn1作切入點(diǎn)探索解題的途徑．

解：(1)由Sn1=4an2，Sn2=4an1+2，兩式相減，得Sn2-Sn1=4(an1-an)，即an2=4an1-4an．(根據(jù)bn的構(gòu)造，如何把該式表示成bn1與bn的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)

an2-2an1=2(an1-2an)，又bn=an1-2an，所以bn1=2bn①

已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3②由①和②得，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故bn=3·2n1．

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=4an1+2=2

n1

(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=1也適合上式．

綜上可知，所求的求和公式為Sn=2n1(3n-4)+2．

說(shuō)明：1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和．解決本題的關(guān)鍵在于由條件Sn14an2得出遞推公式．2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時(shí)應(yīng)用．3.（04年重慶）設(shè)a1=1,a2=

53

,an+2=

53

an+1-

23

an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)．

(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)的和Sn．

解：（I）因bn1an2an1

23

53an1

23

anan1

2

23

(an1an)

23bn

(n1,2,)

故{bn}是公比為

的等比數(shù)列，且b1a2a1

23

n

2n

,故bn()33

（II）由bnan1an()得

an1a1(an1an)(anan1)(a2a1)

2n2n12222n()()()2[1()]33333

注意到a11,可得an3

n23

n1

23

n

n1

(n1,2,)

記數(shù)列{

2

n1

}的前n項(xiàng)和為Tn，則

Tn12

2n122222n

n(),Tn2()n()．33333312222n12n2n2n

兩式相減得Tn1()()n()3[1()]n(),

3333333

故Tn9[1()]3n()9

33

2

n

2

n

(3n)23

n1

n

.

32

n(n1)

(3n)2

3

n1

n1

從而Sna12a2nan3(12n)2Tn

18.

4.（04年全國(guó)）已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，?．

（I）求a3,a5；

（II）求{an}的通項(xiàng)公式．

解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.(II)a2k+1=a2k+3=a2k－1+(－1)+3,所以a2k+1－a2k－1=3+(－1),同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,a3－a1=3+(－1).所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)

kk－1kk－1

=(3+3+…+3)+[(－1)+(－1)+…+(－1)],由此得a2k+1－a1=

3

k1

kkkkk

32

(3k－1)+12

12

[(－1)k－1],

3

k

于是a2k+1=

k

2

(1)1.a2k=a2k－1+(－1)=

kk

2

12

(－1)k－1－1+(－

1)=

k

3

2

12

(－1)k=1.

{an}的通項(xiàng)公式為：

n1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=

3

2

n1

2

(1)

2

12

1;

n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an

322

n

(1)2

12

1.

5.（2004年全國(guó)）已知數(shù)列{an}中a11，且a2k=a2k－1+(－1)K,k=1,2,3,??.

（I）求a3,a5；

（II）求{an}的通項(xiàng)公式．

a2k+1=a2k+3

k

,其中

6.(2004年天津理)已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列{an}滿足下列條件：a1a,anf(an1)(n2,3,4,...),a2a1，

f(an)f(an1)k(anan1)(n2,3,4,

...

)，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)．

（I）令bnan1an(nN*)，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）當(dāng)|k|1時(shí)，求liman．

n

7.(2006年重慶卷)在數(shù)列｛