2022-2023學(xué)年黑龍江省雙鴨山市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省雙鴨山市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)Z=⑵-l）i,則復(fù)數(shù)Z的實部和虛部之和為（）

A.3B.-3C.1D.-I

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可得z,從而可得其實部和虛部之和.

【詳解】z=（2i-l）i=-2-i,故其實部為-2,虛部為-1,兩者的和為-3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法以及復(fù)數(shù)的虛部和實部，注意復(fù)數(shù)4+歷（。力€陽的虛部為人，本題屬

于基礎(chǔ)題.

2.ABC中，角A,B,C,的對邊分別為a,b,。，若α=3,C=BB=j則6=（）

O

A.2√3B.2√2C.√3D.&

【答案】C

【解析】由余弦定理可直接求出.

【詳解】由余弦定理得=a1+c1—2ΛCCOSB=9+3—2×3×Λ∕J×-^-=3,

,b=邪.

故選：C.

3.向量。=（2,1）在向量6=（3,4）上的投影向量的坐標(biāo)為（）

A.（6,8）B.（—6,—8）

c?（M）d?

【答案】C

【分析】利用坐標(biāo)求得與匕同向的單位向量e,由IHCoS<α,〃>=卡'=2可知所求向量為2e.

【詳解】.p∣=√32+42=5,與6同向的單位向量e=E∣=gm}

II,ab6+4

又同cos<α,b>==丁=2,二所求投影向量為2e=68

5,5

故選：C.

4.已知直線〃口和平面ɑ,下列說法正確的是（）

A.若“∕∕Z?,b//a,則一∕∕αB.若OJlb,bua,則α/∕α

C.若〃_1_&,bLa,貝∣Jα∕∕Z?D.若ɑ∕∕α,b!Ia,貝！J/∕∕b

【答案】C

【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系對四個選項逐一分析，即可判斷.

【詳解】對A：若a∕∕b,blIa,則ɑ//?；颚羥α,故A錯誤;

對B：若a/比,bua,則α∕∕α或〃Uα,故B錯誤;

對C：根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線平行可知，C正確;

對D：若α∕∕α,h∕∕a9則。與人可能平行、可能相交、可能異面，故D錯誤.

故選：C

5.如圖，在AABC中，AB=3AD,CE=ED1設(shè)=AC=b^則AE=（）

C

11,

B.一。+一。

3242

111L

C.-a+-brD.—a+—b

5262

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加法法則，即可求解.

【詳解】解"由題意得：AE=LAD+LAC=LxLAB+LAC=La+Lb,

故選：D.

6.一個水平放置的三角形的斜二側(cè)直觀圖是等腰直角三角形A4。如圖所示，若OF=1,那么原

,430的面積是（）

A√2

B.6C.2√2D.4√2

2

【答案】B

【分析】根據(jù)斜二測畫法可得原三角形的底邊及高，進(jìn)而可求原三角形的面積.

【詳解】因為三角形的斜二側(cè)直觀圖是等腰直角三角形A8'O',

所以AB。的底OB=OB=I.斜邊A'O'=0,

則三角形A3O為直角三角形，高OA=2AO=2χ√Σ=2虛.

所以直角三角形一A3。的面積是gxlx2√∑=√∑.

故選：B.

7.空間四邊形ABC。中，AD=BC=2,E,F分別是A8,8的中點(diǎn)，EF=B則異面直線AO,

A.30oB.60oC.90oD.120°

【答案】B

【解析】取AC中點(diǎn)G,連接EG、FG,可知/EG尸或其補(bǔ)角即為異面直線A。，BC所成的角，在

△EFG中,由余弦定理可得COS/EGF,結(jié)合角的范圍可得答案.

【詳解】取AC中點(diǎn)G,連接EG、FG,

由三角形中位線的知識可知：EGqBC,FG?AD,

.?.∕EG/或其補(bǔ)角即為異面直線AO,BC所成的角，

在AEFG中，c°s∕EGF=變士文二"—二回=」，

2×EG×FG2×1×12

ΛZEGF=120°,由異面直線所成角的范圍可知應(yīng)取其補(bǔ)角60°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，涉及解三角形的應(yīng)用，屬中檔題.

8.如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C與D現(xiàn)

測得NBCD=α,/BDC=β,CD=S,在點(diǎn)。測得塔頂4的仰角為夕，則塔高AB=()

s?tan6sinβs?tan6sin(α+β)

A，sin(cr+B.---------；-----------

sinβ

s?sin6sin(α+β)s?sinOsinβ

'sinβD.sin(cr+β)

【答案】A

【分析】運(yùn)用正弦定理和銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】在ABCD中，由正弦定理可知:

BCCDBCs“5?sin0

-------------=--------------=>-------==>BC=y

sinZBDCsinZCBDsinβsin(π-α—夕)--------sin(a+β)

在直角三角形ABC中，

八…BA_s?sin∕7tanθ

tanZACB=——=>BAx=----------------

BCsin(α+β)

故選：A

二、多選題

9.已知兩點(diǎn)4(1,2),B(4,-2),則與向量Afi垂直的單位向量e=()

【答案】AB

【分析】設(shè)e=(x,y),根據(jù)單位向量的模長公式以及向量垂直的坐標(biāo)表示列式可求出結(jié)果.

【詳解】因為A(l,2),3(4,—2),所以A8=(3,-4),

設(shè)e=(x,y),則Iel=I且ABN=O,

44

—X=——

5+Γ'解得?5τ5

所以3或3)

3x-4y=0—y=

5「5

所以e=54'?3或0=(-14'一》3，

故選：AB

10.a,β,/是三個平面，帆,〃是兩條直線，下列四個命題中錯誤的是()

A.若a"β,aγ=ιn,βγ=n,則加〃〃B.若mua,nua,mlIBjIllB,%a///3

C.若aI/β,mua,則相〃￡D.若InIln,mua,nuβ,則ɑ//尸

【答案】BD

【分析】根據(jù)空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐個分析可得答案.

【詳解】對于A,若a"B,aY=m,(3γ=n,由平面與平面平行的性質(zhì)可得〃〃/〃，故選項A正

確；

對于B,若，〃燙a,mllβ,nllβ,當(dāng)加與”相交時，allβ,故選項B錯誤；

對于C,若?！ㄏtɑ與尸無公共點(diǎn)，因為mua,所以，“與萬無公共點(diǎn)，所以機(jī)〃/，故選項C

正確；

對于D,若"?〃〃，〃?Ua,"U/?,則ɑ///或α與夕相交，故選項D錯誤.

故選：BD.

II.在JIBC中，設(shè)48,C所對的邊分別為4,6,c?,則以下結(jié)論正確的是()

A.若sin2A=Sin23,貝ILABC為等腰三角形.

B.若SinA>sin8,則/>B

C.若/+c2-∕>o,貝iJ_ABC是銳角三角形.

D.若(b+c):(c+a):(a+〃)=4:5:6,則一ABC一定是一個鈍角三角形.

【答案】BD

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A,根據(jù)正弦定理及大邊對大角的性質(zhì)可判斷B,由余弦定理

以及銳角三角形的定義判斷C,根據(jù)已知條件及余弦定理判斷D.

［詳解］.sin2A=sin2B,0<2A<2π,0<2B<2πf

兀

.?.24=28或2A+28=τr,即A=B或A+8=,,

AABC為等腰或直角三角形，故A錯誤；

SinA>sin8,由正弦定理可知α>8,.?.A>B,故B正確；

2

因為z√+c?2-α2>o,所以COSA=-+d-a>0,所以。〈代3,

Ifbc2

而角3、角C不一定是銳角，所以IABC不一定是銳角三角形，故C錯誤;

753

設(shè)b+c=4Z,c,+t7=5k,a+b=6k則解得4=金仁力=]k,c=]3

b2+c2-a2

則cosA=因為OVAV兀，

2bc

22

所以A是鈍角，故。正確.

故選：BD

12.在正四面體ABCO中，若AB=2,M為BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.正四面體的體積為正

12

B.正四面體外接球的表面積為6兀

C.如果點(diǎn)P在線段上，貝1］（42+。尸）2的最小值為4+半

D.正四面體ABC。內(nèi)接一個圓柱，使圓柱下底面在底面8C。上，上底圓面與面AB￡）、面ABC、面

48均只有一個公共點(diǎn)，則圓柱的側(cè)面積的最大值為正π

3

【答案】BCD

【分析】由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用棱錐的體積公式求體積，并確定外接球的半徑求表面積，展

開側(cè)面，要使（AP+CPp最小，只需A,P,C共線，結(jié)合余弦定理求其最小值，根據(jù)正四面體ABa>內(nèi)

接一個圓柱底面圓與其中截面正三角形關(guān)系求半徑、體高，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)求側(cè)面積最大值.

【詳解】由正四面體各棱都相等，即各面都為正三角形，故棱長為2,如下圖示,

A

。為底面中心，則“共線，AO為體高，故Bo=NX且.BD=空

323

所以Ao=√AB2-BO2=,故正四面體的體積為

1_1CCC，、?NCo12?fb1.K2>/2,tlh,α

-AO—BC?BD?sin60=-××-×4×-^-=,A錯哄;

3233223

由題設(shè)，外接球球心E在Ao上，且半徑r=E4=EB,

84

,,,AO2+BO2?+3√6

所以產(chǎn)=5。5+8。-，則“-^-=7^=亍，

2×------

3

3

故外接球的表面積為4π∕=4τcx]=6兀，B正確；

由題意知：將面AMD與面CMZ）沿MD翻折，使它們在同一個平面，如下圖示,

所以AD=CD=2且COSZADM===,sinZADM==,

ADAD3AD3

又ZCDM=30°,而COSZ4QC=COS(Z4￡>M+ZCDM)=^-×—-×?=-—,

32326

要使(NP+3)?最小，只需A,P,C共線，則(AP+CP)?=AC2=Af>2+Cf>2-2AO?COcos4LDC,

所以(AP+C尸)1=8(>±?=4(3+倔,C正確；

mιn63

如下圖，棱錐中一個平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體ABC。內(nèi)接一個圓柱的上

底面,

若截面所成正三角形邊長為Xe（。⑵，則圓柱體的高〃=Qaq=警義

圓柱底面半徑為

上―,

326

所以其側(cè)面積S=2πrh=2πXBXXRQ-X)=缶仁--=-應(yīng)(X-I)°—

6333

故當(dāng)x=l時，Snm=*,D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.已知復(fù)數(shù)z=(,τ?+m-2)+("P-l)i(meR)為純虛數(shù)，則機(jī)=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z=(小+機(jī)-2)+(w2-l)i(∕n∈R)為純虛數(shù)，

所以加2+zw-2=0且1x0,解得m=-2.

故答案為：-2

14.若一個圓錐的側(cè)面是半徑為6的半圓圍成，則這個圓錐的表面積為.

【答案】274

【分析】求出底面半徑，代入公式即可.

【詳解】因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為6的半圓，

所以圓錐的母線長為/=6,

設(shè)圓錐的底面半徑為『，貝∣]2m?=》χ6,所以r=3,

所以圓錐的表面積為S=πr1+πrl=27萬.

故答案為：27小

15.在正三棱柱ABC-ABG中，若AB=2,AA∣=1,則點(diǎn)A到平面AIBC的距離為一.

【答案】JL

【詳解】試題分析：設(shè)點(diǎn)A到平面AlBC的距離為h,則三棱錐匕LABC的體積為

vvh

A,-ABC=A-Λ,BC即-SΛABC-AAX=-SMBC

332

【解析】點(diǎn)、線、面間的距離計算

四、雙空題

TT

16.已知銳角ΛBC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別a、6、c,角A=：.若AM是/C48的平分線，

交BC于且AM=2,則AC+3AB的最小值為；若的外接圓的圓心是。，半徑是

1,則。4?(4B+AC)的取值范圍是.

【答案】晅+4Γ-3,-∣l

3L2J

【分析】(1)由已知利用SAABC=SSMA”，可得'+'=3，然后利用“1”的代換，基本不等式

bc2

即可得出結(jié)果.

(2)根據(jù)銳角三角形的角度范圍，表示出OA?(A8+AC)=cos(28+j-2,進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】⑴由AM是/CA8的平分線，

得ZCAM=N54M=30o,

又QSAABC=SMAM+BAM，

即—?c,sin-=—×2×?×sin-+—×2×c×sin-,

232626

化簡得L+J.=@，

bc2

AC+3AB=b+3c=K：+l］他+3C)=卡(4+1+2)

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=2,即c=2+逑，人=2+口叵時，取等號.

bc333

(2)QA=pB+C=y,

ULrzuuuιiLaιxULr/Ui≡minUirxULrιιuuULruιιπ∣mr∣2

OAAB+AC=OA?O8+OC—20A=OAoB+0AOC—20A

=cosZAOB÷cosZAoC-2=cos2C+cos2B-2

ABC是銳角三角形,

0<B<-

.2

?.〈

0<C=--B<-

32

πCπ2πCnTr4π

:.—<B<—,—<2B+-<—

62333

.?.-l<cos^2B+y^∣<-p

UIrzuιmUUl?`「s、

.?.OA?(AB+AC)∈-3,--I

故答案為：與叵+4；-3,-∣?

3_2

五、解答題

17.如圖為長方體與半球拼接的組合體，已知長方體的長、寬、高分別為10,8,(單位：cm),

球的直徑為5cm,

(1)求該組合體的體積；

(2)求該組合體的表面積.

［答案】⑴1200+詈(cm3)

25冗

(2)700+-----(cm2).

【分析】(1)根據(jù)長方體和球的體積公式可求出組合體的體積；

(2)根據(jù)長方體和球的表面積公式可求出組合體的表面積；

【詳解】(1)根據(jù)該組合體是由一個長方體和一個半球組合而成.

由已知可得/方體=10x8x15=12(X)(cm3),

125兀

(Cm'),

~vΓ

所以所求幾何體體積為：V=乙方體+%球=1200+右(cm3),

(2)因為長方體的表面積幾方體表=2(10x8+8x15+10x15)=700(c∏?),

半球的底面積S半球底=τt?(g)2=日兀(cm2),球的表面積S球=4π?(?∣)2=25π(cm2),

17525

故所求幾何體的表面積為700+彳X25兀--兀=700+一兀(Cm2).

244

18.已知向量a=(l,2),b=(-3,左).

⑴若￡〃力,求⑸;

(2)若向量〃與b的夾角是鈍角，求實數(shù)Z的取值范圍.

【答案】(1)3追；

(2)&<|且&w-6.

【分析】(1)根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可求出匕根據(jù)向量模長公式即可計算；

(2)若向量q與。的夾角是鈍角，則αJ<0且α與匕不反向，根據(jù)數(shù)量積即可運(yùn)算.

【詳解】(1)'：a∕∕b,

Λl×?-2×(-3)=0,解得％=一6,

ΛI(xiàn)?I=√(-3)2+(-6)2=3√5?

(2)：〃與6的夾角是鈍角，

?a-b<0,且α與B不反向，

即1x(—3)+2xk<0且b-6,

；?k<-J?Λ≠-6.

2

19.如圖，四邊形ABCz)為長方形，Pr)J_平面ABC。，PD=AB=2,4)=4,點(diǎn)F分別為A。、

PC的中點(diǎn).設(shè)平面PZ)C平面PBE=L

(1)證明：DF//平面PBE；

（2）證明：DFHl；

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）取PB中點(diǎn)G,連接FG,EG,證明Z）尸〃GE,根據(jù)鮮明平新的判定定理即可證明結(jié)論;

（2）利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）證明:取PB中點(diǎn)G,連接尸G,EG,因為點(diǎn)E、尸分別為A。、PC的中點(diǎn)，

所以FG"CB,FG=-BC,

2

因為四邊形ABCO為長方形，所以8C〃AO,且BC=AD,

所以DE∕∕FG,DE=FG,所以四邊形OEGF為平行四邊形，

所以DF//GM因為DFa平面PBE,GEi平面PBE,

故DF〃平面PBE.

（2）證明:由（1）知OF〃平面P8E,又。尸U平面Pl）C,平面PDC'平面PBE=/,

所以DF/".

20.已知~ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是。、b、J且2??cosA=2c+”.

⑴求B；

（2）若。=3,求ΛBC的面積的最大值.

【答案】（I）B=等9TT；

Q）正.

4

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡求解作答.

（2）利用余弦定理結(jié)合均值不等式求出αc的最大值，再由面積定理求解作答.

【詳解】（1）在ABC中，A+B+C=π,由2??cosA=2c+α及正弦定理得：

2sinβ?cosA=2sinC÷sinA,

即2sinB?cosA=2sin(A+B)+sinA,2sinB?cosΛ=2sinA?cosB+2cosΛ?sinβ+sinA,

于是得又)，即則二一,

2cos3?sinA=-sinA,OVAVSinA>0,COSB因B∈(o,m,

2

所以B=與.

(2)b=3,由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac≥3ac,當(dāng)且僅當(dāng)。。時取

因此，ac<3,于是得S.C=」〃csin3≤=土叵，當(dāng)且僅當(dāng)Q=C=6時取

ABC2224

所以ΛBC的面積的最大值為士巨.

4

21.如圖，在三棱柱ABC-ABIG中，側(cè)面A8B∣A,ACCa均為正方形，AG交AC于點(diǎn)。,

ZBAC=90,。為BC中點(diǎn).

⑴求證：GAi?平面AgC;

(2)求直線Be與平面ABC所成的角.

【答案】(1)證明見解析

(2)30

【分析】(1)利用已知條件結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可;

(2)根據(jù)線面角的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)在正方形ACGA中，C1∕11AC.

因為NBAC=90,所以AfiIAC,

又因為側(cè)面ABgAl是正方形，所以ABLAA,

因為ACCAΛl=A,AC,AA1U平面ACGA，

所以ABl平面ACGA，

而GAU平面ACGA，則AB^GA,而A4〃A8,

.?.A,BllClA,而ABlnAC=A,

又4片,CAU平面ABC,

.*.ClAJ■平面ABC

：ACC∣A為正方形，ZBAC=90,

AC1±AlC,AC,?,

而ABllCA=A,Ag,CA1u平面ABc,

Ael-L平面AxBiC,

?ZC1B1O為直線B1C1與平面ABC所成的角,

?.?C.O=-C.A=-C.B.,

122

ΛΛCtBlO=30,

所以直線Bc與平面ABC所成的角為30.

LlLlUU

22.在_A8C中，角A,B,C所對的邊分別是“，h,c,且.2s】nA-smC=富藍(lán)

SinCBA-BC

(1)求角B的大小;

⑵求si??A+sin2C的取值范圍;

(3)若。是4C邊上的一點(diǎn)，且A￡>:￡)C=I:2,BD=L當(dāng)a+3c取最大值時，求..ABC的面積.

TT

【答案】(I)B=§；

⑵(匕3不3

⑶空

14

【分析】(I)先由向量的數(shù)量積及余弦定理求得至吟乎=C??,再由正弦定理化簡得

SinCα+C-Zr

222

a+c-b=acf即可求出COS8,進(jìn)而求出3；

1JT

(2)直接由兩角差的正弦、倍角公式及輔助角公式化簡得sin2A+sin?C=；sin(2A-w)+l，再由A

26

的范圍及正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；

(3)先由ZAZ58+NC7)8=π結(jié)合余弦定理得(α+c)-+3c"=9,令α+c=3cos9,J3c=3sinO,借助輔

助角公式得。+3C=JiTSin(6+9),求出取最大值時”,c的值，即可計算面積.

【詳解】(