高三二輪復習專題13圓錐曲線

2024屆高三二輪復習第13講：圓錐曲線解析版2023年考情考題示例考點關聯(lián)考點2023年新I卷，第5題橢圓的離心率無2023年新I卷，第16題雙曲線的離心率平面向量2023年新I卷，第22題動點軌跡方程無2023年新Ⅱ卷，第10題直線與拋物線的位置關系無2023年新Ⅱ卷，第21題雙曲線的離心率，位置關系無2023年天津卷，第9題雙曲線的漸近線無2023年天津卷，第12題拋物線的定義圓的切線2023年天津卷，第18題橢圓方程離心率無2023年北京卷，第6題拋物線的定義無2023年北京卷，第12題雙曲線的離心率無2023年北京卷，第19題橢圓的離心率方程，位置關系無2023年乙卷文科，第12題雙曲線無2023年乙卷文科，第13題拋物線定義無2023年乙卷文科，第21題雙曲線的方程、位置關系無2023年乙卷理科，第11題雙曲線無2023年乙卷理科，第13題拋物線定義無2023年乙卷理科，第20題雙曲線的方程、位置關系無2023年甲卷理科，第8題雙曲線的離心率、漸近線圓的切線2023年甲卷理科，第12題橢圓的定義余弦定理2023年甲卷理科，第20題直線與拋物線位置關系向量2023年甲卷文科，第9題雙曲線的離心率、漸近線圓的切線2023年甲卷文科，第21題直線與拋物線位置關系向量題型一：橢圓【典例例題】例1.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（）A.6 B.12 C. D.【答案】D【解析】【分析】設，先得到的值，再代入的余弦定理計算可得，再利用三角形的面積公式計算即可.【詳解】對于橢圓有，設，則根據(jù)橢圓的定義得，又，解得，.故選：D.【變式訓練】1.（2023春·廣東省東莞實驗中學2023屆高三下學期校一模）已知點P是橢圓上一點，橢圓C在點P處的切線l與圓交于A，B兩點，當三角形AOB的面積取最大值時，切線l的斜率等于_______【答案】【分析】根據(jù)面積公式分析可得當是等腰三角形，面積最大，此時點O到切線l的距離等于.解法一：設切線l的方程，根據(jù)點到直線的距離和直線與橢圓相切分別可得，求解即可；解法二：設點P的坐標為，切線l的方程為，結合點到直線的距離公式運算求解.【詳解】∵圓的圓心，半徑，設，則，當且僅當，即時，等號成立，當時，是等腰三角形，此時點O到切線l的距離等于.解法一：設切線l的方程為，即，則有，整理得：聯(lián)立方程，消去y得：，由相切得：整理得：由①②得：，解得.解法二：設點P的坐標為，切線l的方程為，即則有，整理得，∵點P在橢圓上，則，則，解得，所以切線l的斜率.故答案為：.2.（2023春·廣東省高三二模）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標準方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，借助幾何圖形及比例式求出點M，N的坐標，再代入橢圓方程求解作答.【詳解】由對稱性不妨令點M在第一象限，令直線交y軸于點A，過N作軸于B，令，因為軸，則，而O為的中點，又A為中點，而，于是，由知，，顯然，因此，于是，又，則，解得，而，則，所以橢圓C的標準方程為.故答案為：3.（2023春·廣東省江門市高三一模）橢圓是特別重要的一類圓錐曲線，是平面解析幾何的核心，它集中地體現(xiàn)了解析幾何的基本思想.而黃金橢圓是一條優(yōu)美曲線，生活中許多橢圓形的物品，都是黃金橢圓，它完美絕倫，深受人們的喜愛.黃金橢圓具有以下性質(zhì)：①以長軸與短軸的四個頂點構成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個焦點，②長軸長，短軸長，焦距依次組成等比數(shù)列.根據(jù)以上信息，黃金橢圓的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】由①得原點到直線AB的距離，求得，由②得，求得，從而，兩邊同除以得，又，即可解得．【詳解】設左頂點，上頂點，則直線AB的方程為，以長軸與短軸的四個頂點構成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個焦點，則原點到直線AB的距離，即，即，即，所以，長軸長，短軸長，焦距依次組成等比數(shù)列，則，所以，綜上，，即，兩邊同除以得，又，解得．故答案為：．4.（2023春·廣東省佛山市高三一模）如圖，已知橢圓的焦點為、，點為橢圓上任意一點，過作的外角平分線的垂線，垂足為點.過點作軸的垂線，垂足為，若線段的中點為，則點的軌跡方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用橢圓定義，求得長度，即可容易求得點的軌跡方程.【詳解】延長交的延長線于點，連接，作圖如下：容易知點關于的對稱點為，故可得，又因為分別為的中點，故可得，不妨設點的坐標為，故可得點的坐標為，則，整理得.故答案為：.題型二：雙曲線【典例例題】例1.（2023春·廣東省高三一模）已知雙曲線，點的坐標為，若上的任意一點都滿足，則的離心率取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點間距離公式，結合一元二次不等式的性質(zhì)、雙曲線離心率公式進行求解即可.【詳解】設，，由，代入不等式中，化簡，得恒成立，則有，解得，而，所以故選：A【變式訓練】1.（2023春·廣東省高三二模）已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)，求出，求出雙曲線的漸近線方程，進而得解.【詳解】設雙曲線的半焦距為，因為雙曲線的離心率為，所以，解得，由，得，所以，所以漸近線方程為，所以兩條漸近線的傾斜角分別為和，因為，所以，兩條漸近線所夾的銳角為；即雙曲線的兩條漸近線的夾角為.故選：C.2.（2023春·廣東省梅州市高三一模）由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結合造就的藝術品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知結合雙曲線兩條漸近線對稱關系可得的傾斜角為，即，則，則，即可得出雙曲線的離心率為.【詳解】雙曲線（，）的漸近線的方程為，雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，根據(jù)雙曲線兩條漸近線對稱關系可得的傾斜角為，則，則，，則該雙曲線的離心率為，故選：D3.（2023春·廣東省佛山市高三一模）已知雙曲線C的右頂點為A，左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點為M，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】設出雙曲線半焦距，由雙曲線漸近線斜率求出，再由余弦定理求出，判斷形狀即可求解作答.【詳解】設雙曲線的半焦距為c，直線的方程為，有，如圖即有，而，解得，在中，由余弦定理得：，因此，即有，而，則，又，于是，所以雙曲線的離心率.故選：C4.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）過雙曲線上的任意一點，作雙曲線漸近線的平行線，分別交漸近線于點，若，則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】設點，分別聯(lián)立兩組直線方程，求出的坐標，然后利用向量的數(shù)量積，推出離心率的范圍即可.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為：，即，設點，可得：，聯(lián)立方程組，解得：，同理可得：，所以，因為，所以，所以，由題意可得：，所以，故離心率，又因為雙曲線的離心率，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故答案為：.題型三：拋物線【典例例題】例1．（2023春·廣東省東莞實驗中學2023屆高三下學期校一模）已知拋物線C：（）的焦點為F，點M在拋物線C上，射線FM與y軸交于點，與拋物線C的準線交于點N，，則p的值等于（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】設點M到拋物線的準線的距離為|MM′|，拋物線的準線與x軸的交點記為點B.解得答案.【詳解】解：設點M到拋物線的準線的距離為|MM′|，拋物線的準線與x軸的交點記為點B.由拋物線的定義知，|MM′|＝|FM|.因為，所以，即，所以，而，解得p＝2,故選：B.【變式訓練】1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上，過點的直線交于兩點，且，線段的中點為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設出拋物線C及直線PQ的方程，借助垂直關系求出拋物線方程及點M的坐標，再用斜率坐標公式建立函數(shù)，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，拋物線的焦點在x軸的正半軸上，設的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設直線PQ的方程為：，點，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點，弦的中點的縱坐標為，則點，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當且僅當，即時取等號，所以直線的斜率的最大值為.故選：A2.（2023春·廣東省惠州市高三一模）（多選）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于、兩點，其中在第一象限，若，則（）A. B.C.以為直徑的圓與軸相切 D.【答案】BCD【解析】【分析】寫出焦點的坐標，設出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)點在第一象限即可求出點，的橫坐標，進而可以求出的值，即可求出拋物線的方程，再對應各個選項逐個驗證即可．【詳解】設，，則過的直線斜率為的方程為：，代入拋物線方程消去可得：，解得，因為點在第一象限，所以，，則，所以，錯誤，，正確，由可得拋物線的方程為：，且，，，所以，正確，的中點橫坐標為，以為直徑的圓的半徑為，所以圓心到軸的距離等于半徑，則以為直徑的圓與軸相切，正確，故選：．3.（2023春·廣東省深圳市高三一模）（多選）已知拋物線C：的準線為，直線與C相交于A、B兩點，M為AB的中點，則（）A.當時，以AB為直徑的圓與相交B.當時，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點OC.當時，點M到的距離的最小值為2D.當時，點M到的距離無最小值【答案】BC【解析】【分析】將直線代入，結合韋達定理求得坐標、點到準線的距離及．當時，由可判斷A；當時，由可判斷B；當時，得的關系式，代入表達式，利用基本不等式可判斷C；當時，得的關系式，代入表達式，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷D．【詳解】拋物線，準線方程是，直線代入，可得，，設，則，，，設，則，點到準線的距離，，當時，，點到準線的距離，則以AB為直徑的圓與相切，故A錯誤；當時，，則，則以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，故B正確；當時，即，得，則，當且僅當時等號成立，故C正確；當時，即，得，所以，令，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得，當時，單調(diào)遞增，故當時，取最小值，故D錯誤．故選：BC．4.（2023春·廣東省高三一模）（多選）已知拋物線的焦點為，點與點關于原點對稱，過點的直線與拋物線交于兩點（點和點在點的兩側(cè)），則下列命題正確的是（）A.若為△的中線，則B.若為的角平分線，則C.存在直線，使得D.對于任意直線，都有【答案】AD【解析】【分析】設，不妨令都在第一象限，，聯(lián)立拋物線，根據(jù)已知及韋達定理得、，則，再根據(jù)各項描述、拋物線定義判斷它們的正誤.【詳解】由題意，設，不妨令都在第一象限，，聯(lián)立，則，且，即，所以，則，如上圖所示.A：若為△的中線，則，所以，所以，故，所以，則，故A正確；B：若為的角平分線，則，作垂直準線于，則且，所以，即，則，將代入整理，得，則，所以，故B錯誤；C：若，即，即△為等腰直角三角形，此時，即，所以，所以，所以，所以，則此時為同一點，不合題設，故C錯誤；D：，而，結合，可得，即恒成立，故D正確.故選：AD.題型四：直線與圓錐曲線的位置關系【典例例題】例1.（2023春·廣東省高三一模）已知點，點和點為橢圓上不同的三個點.當點，點B和點C為橢圓的頂點時，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形.（1）求橢圓標準方程；（2）若為原點，且滿足，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分點，點和點中有兩個點為上頂點和下頂點和點，點和點中有兩個點為左頂點和右頂點兩種情況，求出，得到橢圓方程；（2）設出，考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，求出弦長，進而利用點到直線距離求出面積.【小問1詳解】當點，點和點為橢圓的頂點時，恰好構成邊長為2的等邊三角形，①當點，點和點中有兩個點為上頂點和下頂點，一個點為左頂點或右頂點時，不妨設點，點為上頂點和下頂點，點為右頂點，此時，，②當點，點和點中有一個點為上頂點或下頂點，兩個點為左頂點和右頂點，不妨設點，點為左頂點和右頂點，點為上頂點，此時，（舍去），所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設，因為，所以，①當直線斜率不存在時，即，則，因為點在橢圓上，所以，則有，所以，點到的距離為，此時.②當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立得消去整理得，滿足，由韋達定理得，所以，所以，又因為點在橢圓上，所以，化簡得，所以，所以點到直線的距離，所以綜上所述，的面積為.【變式訓練】1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.（1）求C的方程；（2）直線：與C相交于A，B兩點，過C上點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，直線OP的斜率為（O為坐標原點），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】【分析】（1）利用橢圓離心率及圓的切線性質(zhì)，建立關于的方程組，解方程組作答.（2）由給定的面積關系可得直線PQ平分，進而可得直線的斜率互為相反數(shù)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理結合斜率坐標公式計算判斷作答.【小問1詳解】由橢圓的離心率為得：，即有，由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，聯(lián)立解得，所以C的方程是.【小問2詳解】為定值，且，因為，則，因此，而，有，于是平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，設，由得，，即有，而，則，即于是，化簡得：，且又因為在橢圓上，即，即，，從而，，又因為不在直線上，則有，即，所以為定值，且.2.（2023春·廣東省東莞實驗中學2023屆高三下學期校一模）已知雙曲線的左焦點為，點是上的點．(1)求的方程；(2)已知過坐標原點且斜率為的直線交于兩點，連接交于另一點，連接交于另一點.若直線經(jīng)過點，求直線的斜率.解：(1)由題知，且，（2分）所以，所以.故的方程為.（4分）(2)法一：設，則，直線的方程為,直線的方程為.設,聯(lián)立，得，（6分）則，得，.又，所以，則.同理可得，.（9分）因為直線經(jīng)過點，所以三點共線，即，則，所以，化簡得，整理得，故. (12分)法二：設，，，則，直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立得，則，所以，則（8分）又，所以，同理可得.設直線的方程為，聯(lián)立得，則，，(10分)即，化簡得.又，解得，.故. (12分)3.（2023春·廣東省佛山市高三一模）已知雙曲線的漸近線與曲線相切.橫坐標為的點在曲線上，過點作曲線的切線交雙曲線于不同的兩點.（1）求雙曲線的離心率；（2）記的中垂線交軸于點.是否存在實數(shù)，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）時存在；時不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）寫出漸近線并聯(lián)立曲線E，根據(jù)得，進而求離心率；（2）應用導數(shù)幾何意義求點處曲線的切線方程，并聯(lián)立曲線C，結合韋達定理求中點坐標，寫出中垂線方程即可求M坐標，結合列方程求，注意滿足切線與雙曲線有兩個交點.【小問1詳解】由題意，與曲線相切，消得：有唯一解，所以得：，離心率.【小問2詳解】由，故點作曲線的切線的斜率為，則，所以方程為代入中，并整理得，設，，易得的中點，故中垂線，則點.若，則，即得，此時當，即時，存在實數(shù)，使得；當，即時，不存在實數(shù)，使得.4.（2023春·廣東省江門市高三一模）已知M是平面直角坐標系內(nèi)的一個動點，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點）的面積為8，動點M的軌跡為C.（1）求軌跡C的方程；（2）已知是軌跡C上一點，直線l交軌跡C于P，Q兩點，直線，的斜率之和為1，，求的面積.【答案】（1）（）（2）【解析】【分析】（1）設動點，由題意知，，由題意，化簡可得軌跡C的方程；（2）設直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，由過點T直線與曲線C有兩個交點確定的范圍，由，解得，從而可得直線、的方程，與曲線C的方程聯(lián)立解得的坐標，求出及點Q到直線的距離，即可求出的面積.【小問1詳解】設動點，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內(nèi)活動.，，動點在右側(cè)，有，同理有，∵四邊形的面積為8，∴，即，所以所求軌跡C方程為（）.【小問2詳解】如圖，設直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，曲線C上，過點T直線與曲線C有兩個交點，則或，同時或，解得或.，解得或（舍去）.時，直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得.直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得，，點Q到直線的距離，.方法二：，，，則，.1.（新課標全國Ⅰ卷）設橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A2.（新課標全國Ⅰ卷）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．【答案】【詳解】方法一：依題意，設，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.3.（新課標全國Ⅱ卷）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.4.（新課標全國Ⅱ卷）（多選）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.5.（全國乙卷數(shù)學（文）(理)）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.6.（全國乙卷數(shù)學（文）(理)）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為______.【答案】【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.7.（全國甲卷數(shù)學（文））設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【詳解】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.8.（全國甲卷數(shù)學（文）（理））已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D9.（全國甲卷數(shù)學（理））己知橢圓，為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】方法一：設，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．10.（新高考天津卷）雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖，因為，不妨設漸近線方程為，即，所以，所以.設,則，所以，所以.因為,所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D11.（新高考天津卷）過原點的一條直線與圓相切，交曲線于點，若，則的值為_________．【答案】【詳解】易知圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當時，同理可得．故答案為：．12.（新課標全國Ⅰ卷）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）設,則，兩邊同平方化簡得，故.（2）法一：設矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則,令，同理令，且，則，設矩形周長為,由對稱性不妨設，，則.，易知則令,令，解得，當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，則，故,即.當時,,且，即時等號成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設在上，且，依題意可設，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設,的斜率分別為和，由對稱性，不妨設，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設，則，令，解得，當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.法三：為了計算方便,我們將拋物線向下移動個單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問題等價于矩形的周長大于.設,根據(jù)對稱性不妨設.則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當時,②當時,由于,從而,從而又,故,由此，當且僅當時等號成立，故，故矩形周長大于.13.（新課標全國Ⅱ卷）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設，顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.14.（新高考天津卷）設橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【詳解】（1）如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.15.（全國乙卷數(shù)學（文）(理)）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.16.（全國甲卷數(shù)學（文）（理））已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，設直線：，，由可得，，所以，，，因為，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設點到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當時，的面積．1.（2023春·廣東省韶關市高三二模）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現(xiàn)韶關“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點，米，橋塔最高點距橋面米，則此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立如圖所示平面直角坐標系，設橢圓方程為，依題意可得，即可求出離心率.【詳解】如圖按橢圓對稱軸所在直線建立直角坐標系，設橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．2.（2023春·廣東省潮州市高三一模）7.設雙曲線的右焦點為，，兩點在雙曲線上且關于原點對稱，若，，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設雙曲線左焦點為，點在雙曲線右支，根據(jù)對稱性知四邊形是平行四邊形，，根據(jù)雙曲線的定義可推得，，.又，可知四邊形為矩形，根據(jù)勾股定理得到的關系式，進而得到的關系式，即可求出漸近線方程.【詳解】設雙曲線左焦點為，點在雙曲線右支，根據(jù)對稱性知四邊形是平行四邊形.由已知可得，又由雙曲線的定義知，，所以，.又，所以四邊形是矩形，所以.在中，有，即，所以，，所以，.所以，雙曲線的漸近線方程為，整理可得.故選：A.3.（2023春·廣東省佛山市高三二模）已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學對該方程進行了判斷，提出了四個命題：甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；丙：可以是橢圓的標準方程；?。嚎梢允请p曲線的標準方程．其中，真命題有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓，拋物線，橢圓及雙曲線的方程特點結合條件分析即得.【詳解】因為方程，其中，所以當時，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程；當時，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；當時，方程為，即是橢圓的標準方程，故方程可以是橢圓的標準方程；若方程為雙曲線的標準方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標準方程；所以真命題有3個故選：C.6.（2023春·廣東省廣州市高三二模）已知橢圓C：（），過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過C的右焦點，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C，根據(jù)方向向量的直線斜率為，結合反射的性質(zhì)可得，再結合等腰直角三角形的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】設過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C.因為方向向量的直線斜率為，則，，又由反射光的性質(zhì)可得，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，，則，故，離心率.故選：A5.（2023春·廣東省揭陽市高三二模）已知雙曲線（，）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線離心率可得，再結合即可得，代入漸近線方程即可得出結果.【詳解】由雙曲線離心率為可得，即可得，又，即可得；由題意可得雙曲線的漸近線方程為.故選：C6.（2023春·廣東省深圳市高三二模）設橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線l過點.若點關于l的對稱點P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知結合橢圓的定義可推得，.然后根據(jù)，可推得.最后根據(jù)余弦定理，即可得到關于的齊次方程，即可得出離心率.【詳解】設，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式兩邊同時除以可得，，解得，或（舍去），所以.故選：C.7.（2023春·廣東省韶關市高三二模）（多選）曲線C的方程為，則（）A.當時，曲線C是焦距為的雙曲線B.當時，曲線C是焦距為的雙曲線C.曲線C不可能為圓D.當時，曲線C是焦距為的橢圓【答案】AD【解析】【分析】變形給定的方程，利用各選項的條件，結合圓、橢圓、雙曲線的特征判斷作答.【詳解】對于A，當時，方程化為，曲線是焦距為的雙曲線，A正確；對于B，當時，方程化為，曲線是焦點在y軸上，焦距為的橢圓，B錯誤；對于C，當時，曲線表示圓，C錯誤；對于D，當時，方程化為，曲線是焦點在x軸上，焦距為的橢圓，D正確.故選：AD8.（2023春·廣東省江門市高三一模）（多選）已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若曲線表示兩條平行線，則B.若曲線表示雙曲線，則C.若，則曲線表示橢圓D.若，則曲線表示焦點在軸的橢圓【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)曲線的形狀求出參數(shù)的取值范圍，逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，若曲線表示兩條平行線，則有或，且.若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，故A錯；對于B選項，若曲線表示雙曲線，則，由于且，則，可得，則，B對；對于C選項，若曲線表示橢圓，則，解得且，C錯；對于D選項，若，則，則，曲線的方程可化為，此時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，D對.故選：BD.9.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）（多選）已知曲線，，則下列結論正確的是（）A.曲線C可能是圓，也可能是直線B.曲線C可能是焦點在軸上的橢圓C.當曲線C表示橢圓時，則越大，橢圓越圓D.當曲線C表示雙曲線時，它的離心率有最小值，且最小值為【答案】ABD【解析】【分析】設，由的符號和取值結合對應方程的特點，結合條件逐項判斷可得答案.【詳解】設，故曲線C的方程可表示為，對A，當時，曲線C的方程為，可得，此時曲線C為兩條直線；當時，曲線C的方程為，此時曲線C是一個圓；故A正確；對B，當時，，曲線C的方程為，此時曲線C為焦點在y軸上的橢圓，故B正確；對C，當曲線C表示橢圓時，離心率為，則越大，橢圓越扁，故C錯誤；對D，當時，，曲線C的方程為，此時曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，此時離心率為，由，可得，即它的離心率有最小值，且最小值為，故D正確.故選：ABD.10.（2023春·廣東省廣州市高三二模）（多選）已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過的直線與雙曲線的右支交于點、，與雙曲線的漸近線交于點、（、在第一象限，、在第四象限），為坐標原點，則下列結論正確的是（）A.若軸，則的周長為B.若直線交雙曲線的左支于點，則C.面積的最小值為D.取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】利用雙曲線的定義可判斷A選項；利用平行四邊形的幾何性質(zhì)可判斷B選項；設直線的方程為，求出、，利用三角形的面積公式結合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項；由雙曲線的定義，求出關于的函數(shù)關系式，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍，可判斷D選項.【詳解】雙曲線的標準方程為，則，易知點、，雙曲線的漸近線方程為.對于A選項，當軸，直線的方程為，聯(lián)立，可得，此時，，則，此時，的周長為，A錯；對于B選項，因為雙曲線關于原點對稱，則點關于原點的對稱點也在雙曲線上，因為若直線交雙曲線的左支于點，則點、關于原點對稱，即、的中點均為原點，故四邊形為平行四邊形，所以，，即，B對；對于C選項，易知的方程為，的方程為，所以，，因為直線與雙曲線的右支交于點、，則直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，則，解得，由韋達定理可得，，可得，聯(lián)立可得，即點，聯(lián)立可得，，即點，所以，，，所以，，當且僅當時，等號成立，C錯；對于D選項，，當時，，當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，當時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，綜上所述，的取值范圍是，D對.故選：BD.11.（2023春·廣東省茂名市高三二模）（多選）已知為坐標原點，橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓的上頂點和右頂點分別為A、B，點P、Q都在上，且，則下列說法正確的是（）A.周長的最小值為14B.四邊形可能是矩形C.直線，的斜率之積為定值D.的面積最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對四個選項一一判斷：對于A：利用橢圓的對稱性，判斷出PQ為橢圓的短軸時，周長最小.即可判斷；對于B：判斷出，從而四邊形不可能是矩形.即可判斷；對于C：設，直接計算出.即可判斷；對于D.由的面積為.即可判斷.【詳解】由，可知P，Q關于原點對稱.對于A.根據(jù)橢圓的對稱性，，當PQ為橢圓的短軸時，有最小值6，所以周長的最小值為14.故A正確；對于B.因為，所以，則，故橢圓上不存在點，使得，又四邊形是平行四邊形，所以四邊形不可能是矩形.故B不正確.對于C.由題意得，設，則，所以.故C正確；對于D.設的面積為，所以當PQ為橢圓的短軸時，最大，所以.故D正確.故選：ACD.12.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三二模）（多選）雙曲線的左右焦點分別為，，P為雙曲線右支上異于頂點的一點，的內(nèi)切圓記為圓，圓的半徑為，過作的垂線，交的延長線于，則（）A.動點的軌跡方程為B.的取值范圍為（0，3）C.若，則D.動點的軌跡方程為【答案】BD【解析】【分析】由雙曲線的定義和切線長的性質(zhì)即可判定A的正誤；根據(jù)雙曲線漸近線的性質(zhì)，可知B的正誤，利用，可求出點坐標，從而可得C的正誤；由過內(nèi)切圓的圓心和，得為的中點，再根據(jù)雙曲線的定義得，從而可得動點的軌跡方程.【詳解】設，設的內(nèi)切圓分別與邊，，切于，，三點，如圖所示.A選項：由題知，,，，設，所以，，顯然，不妨設，則，解得，所以動點的軌跡方程為，故A錯誤；B選項：根據(jù)對稱性，不妨假設點在軸上方，根據(jù)A選項可設，雙曲線的一條漸近線為，考慮點在無窮遠時，直線的斜率趨近于，此時的方程為，此時圓心到直線的距離為，解得，所以的取值范圍為（0，3），故B正確；C選項：時，，，此時，所以，，因為，，所以，故C錯誤；.D選項：分別延長，交于點，因為過內(nèi)切圓圓心，所以為角平分線，且，所以，且為的中點，所以.又因為點為的中點，為的中點，所以，所以動點的軌跡方程為，顯然，又考慮點在無窮遠時，此時直線趨近于漸近線，直線為，聯(lián)立方程組，解得，所以點的橫坐標，動點軌跡方程為.故D正確.故選：BD.13.（2023春·廣東省深圳市高三二模）（多選）設拋物線C：的焦點為F，過拋物線C上不同的兩點A，B分別作C的切線，兩條切線的交點為P，AB的中點為Q，則（）A.軸 B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】設切線求交點根據(jù)兩根之和判斷A選項；特殊值法判斷B,C選項；根據(jù)定義數(shù)形結合判斷D選項.【詳解】對于A選項：設,,,過點A切線為：①,過點B切線為:②,①②得化簡可得軸,A選項正確.設過A點的切線為,過B點的切線為,交點為AB的中點為，所以不垂直,B選項錯誤；,所以,D選項錯誤;作拋物線準線的垂線,連接則顯然,所以

又因為由拋物線定義,得,故知是線段的中垂線,得到則同理可證：,，所以，即,所以,即.故選:AC.14.（2023春·廣東省高州市高三二模）（多選）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質(zhì)可以解決線段和的最值問題，已知拋物線，是拋物線上的動點，焦點，，下列說法正確的是（）A.的方程為 B.的方程為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】由焦點易得拋物線的方程為，設準線為，過作交于點，過作交于點，交于點，連接，通過拋物線的定義結合圖象可得，即可求得答案.【詳解】由題可得，即的方程為，設準線為，過作交于點，過作交于點，交于點，連接，將代入可得，所以，于是，當與重合時，取得最小值.故選：BD.15.（2023春·廣東省揭陽市高三二模）（多選）已知拋物線，其準線為l，焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線和，設交拋物線C于A，B兩點，交拋物線C于D，E兩點，O為坐標原點，則（）A.為定值 B.延長AO交準線l于點G，則軸C. D.四邊形ADBF面積的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】設直線，聯(lián)立方程組求得及，結合向量的數(shù)量積的運算，可判定A選項正確；由，可判定B選項正確；由，，化簡可判定C選項錯誤；設直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為或，結合拋物線的性質(zhì)得到，利用基本不等式，可判定D符合題意.【詳解】由拋物線可得準線為，焦點為，設直線，代入拋物線，得到，設，，則，，，.對于A中，由，為定值，所以A選項正確；對于B中，由得，則，所以B選項正確；對于C中，由，，可得，故C選項錯誤；對于D中，設直線的傾斜角為，可得，即，由A選項可得，所以，因為，則直線的傾斜角為或，同理可得，所以，（當且僅時，等號成立），所以D選項正確.故選：ABD.16.（2023春·廣東省高州市高三二模）若橢圓的離心率為，兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內(nèi)心，連接并延長交于點，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結合橢圓的定義、離心率公式進行求解即可.【詳解】如圖，連接，，設到軸距離為，到軸距離為，則設△內(nèi)切圓的半徑為，則，∴不妨設，則，∴，因為橢圓的離心率為，∴，故選：A.17.（2023春·廣東省佛山市高三二模）（多選）如圖拋物線的頂點為，焦點為，準線為，焦準距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準線為，焦準距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（）A. B.四邊形的面積為100C. D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷A，以為原點建立平面直角坐標系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進而判斷B，利用拋物線的定義結合條件可得可判斷C，利用拋物線的性質(zhì)結合焦點弦的性質(zhì)可判斷D.【詳解】設直線與直線分別交于，由題可知，所以，，故A正確；如圖以為原點建立平面直角坐標系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故B錯誤；連接，因為，所以，所以，故，故C正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設點在封閉曲線的上部分，設在直線上的射影分別為，當點在拋物線，點在拋物線上時，，當與重合時，最小，最小值為，當與重合，點在拋物線上時，因為，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設，則，，所以；當點在拋物線，點在拋物線上時，設，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設，則，，當，即時取等號，故此時；當點在拋物線，點在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故D正確.故選：ACD.18.（2023春·廣東省深圳市高三一模）若橢圓上的點到焦點距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，點到焦點距離的最大值為，最小值為，代入條件即可求解.【詳解】依題意，由圖象的性質(zhì)可知，點到焦點距離的最大值為，最小值為，所以，化簡得，即離心率，故答案為：.19.（2023春·廣東省茂名市高三二模）已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與拋物線交于點A、B，與直線交于點D，若且，則___________.【答案】3【解析】【分析】設準線與軸的交點為，作，垂足分別為，，利用幾何關系和拋物線的定義得到，解方程即可求得.【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，作，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知，，設，因為，所以，∴.設，所以，所以.20.（2023春·廣東省佛山市高三二模）已知、分別為橢圓的左、右焦點，是過橢圓右頂點且與長軸垂直的直線上的動點，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】設點在直線上，設點，當時，求出的值，當點不為長軸端點時，設，設直線、的傾斜角分別為、，可求出關于的表達式，利用基本不等式可求得的最大值，可得出的最大值，即可求得的最大值.【詳解】不妨設點在直線上，若點為，則，當點不為長軸端點時，由對稱性，不妨設點在第一象限，設點，在橢圓中，，，，則點、，設直線、的傾斜角分別為、，則，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，的最大值為，所以，.故答案為：21.（2023春·廣東省韶關市高三二模）已知拋物線C：的焦點為F，過F且斜率為的直線l交拋物線C于A，B兩點，則以線段AB為直徑的圓D的方程為______；若圓D上存在兩點P，Q，在圓T：上存在一點M，使得，則實數(shù)a的取值范圍為______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線與拋物線的方程求出線段AB的中點D的坐標及弦長作答；按點M在圓D及內(nèi)部和在圓D外探討構成條件，再結合兩圓有公共點求解作答.【詳解】過拋物線的焦點且斜率為的直線為，由消去，得，設，有，于是的中點為，且，所以以線段為直徑的圓的半徑，方程為；對圓及內(nèi)任意一點，必可作互相垂直的兩直線與圓D相交，則圓上存在兩點,，使，對圓外任意一點，,是圓上兩點，當,與圓相切時，最大，此時為矩形，，從而以線段為直徑的圓上存在兩點,，在圓上存在一點，使得，等價于以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點，因此，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：；22.（2023春·廣東省潮州市高三二模）過拋物線焦點F的直線l與拋物線交于兩點，點在拋物線準線上的射影分別為，，點P在拋物線的準線上.若AP是的角平分線，則點P到直線l的距離為______.【答案】5【解析】【分析】連，，根據(jù)拋物線的定義以及，證明，從而推出和，可得就是點P到直線l的距離，再根據(jù)，推出，結合，可得.【詳解】如圖，連，，由拋物線的定義可知，，又，，所以，所以，，即，所以就是點P到直線l的距離，因為，，，所以，所以，所以，又，所以.故點P到直線l的距離為.故答案為：23.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線論》中提出：過橢圓上任意一點的切線方程為．若已知△ABC內(nèi)接于橢圓E：，且坐標原點O為△ABC的重心，過A，B，C分別作橢圓E的切線，切線分別相交于點D，E，F(xiàn)，則______．【答案】4【解析】【分析】設、、，由重心的性質(zhì)有、、，寫出過切線方程并求交點坐標，進而判斷△重心也為O，再由在橢圓上可得、、共線，即分別是的中點，即可確定面積比.【詳解】若、、，則的中點、、，由O為△ABC的重心，則、、，所以、、，可得，由題設，過切線分別為、、，所以，，，所以，同理，即△重心也為O，又、、，可得、、，所以，同理可得、，所以、、共線，綜上，分別是的中點，則24.（2023春·廣東省梅州市高三一模）函數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】將已知式子變形為，可表示拋物線上的點，到兩定點，的距離之和，即，拋物線的準線為，設點、分別為點、在準線上的投影，根據(jù)拋物線的定義得出，則，即可計算得出答案.【詳解】，，可表示拋物線上的點，到兩定點，的距離之和，即，而點在此拋物線內(nèi)，點是此拋物線的焦點，拋物線的準線為，設點、分別為點、在準線上的投影，如圖，根據(jù)拋物線的定義有，則，故答案為：.25.（2023春·廣東省梅州市高三一模）已知動圓經(jīng)過定點，且與圓：內(nèi)切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設軌跡與軸從左到右的交點為點，點為軌跡上異于的動點，設交直線于點，連結交軌跡于點.直線?的斜率分別為?.（i）求證：為定值；（ii）證明直線經(jīng)過軸上的定點，并求出該定點的坐標.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析，定點【解析】【分析】（1）根據(jù)定點和圓心的位置關系，利用兩圓內(nèi)切即可得出半徑之和等于圓心距，再根據(jù)橢圓定義即可求得軌跡的方程；（2）（i）易知即為橢圓的左右頂點，設出點坐標，利用共線時斜率相等即可得出的表達式，化簡即可得出；（ii）根據(jù)（i）中的結論，寫出直線的方程，將表達式化簡即可得出直線經(jīng)過定點.【小問1詳解】設動圓的半徑為，由題意得圓的圓心為，半徑；所以，，則.所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓.因此軌跡方程為.【小問2詳解】（i）設，，.由題可知，，如下圖所示：則，，而，于是，所以，又，則，因此為定值.（ii）設直線的方程為，，.由，得，所以.由（i）可知，，即，化簡得，解得或（舍去），所以直線的方程為，因此直線經(jīng)過定點.26.（2023春·廣東省深圳市高三二模）已知雙曲線：，點M為雙曲線C右支上一點，A、B為雙曲線C的左、右頂點，直線與y軸交于點D，點Q在x軸正半軸上，點E在y軸上.（1）若點，，過點Q作BM的垂線l交該雙曲線C于S，T兩點，求的面積；（2）若點M不與B重合，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①；②；③.注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知，得出的方程，然后聯(lián)立與雙曲線的方程，根據(jù)韋達定理得出坐標的關系，表示出弦長，最后根據(jù)面積公式，即可得出答案；（2）①②為條件，③為結論：易得.又，.然后根據(jù)直線的斜率可得出.設點，則，即可得出坐標；①③為條件，②為結論：易得，.又，即可的得出，，求解，整理即可得出證明；②③為條件，①為結論：易得，平方整理可得.根據(jù)，得.進而根據(jù)，即可求出，平方整理，即可得出證明.【小問1詳解】由已知可得，，.因為點，直線的斜率為，所以直線的垂線的方程為，整理可得，.設點，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，，則，且，所以，.原點到直線的距離為，所以，的面積為.【小問2詳解】①②為條件，③為結論令點，，且，因為三點共線，所以.又，所以點的坐標為，所以直線的斜率為.又，所以.設點，因為直線的斜率，所以，所以；①③為條件，②為結論令點，，且，因為三點共線，所以.又，所以點的坐標為，又，點Q在x軸正半軸上，所以，所以.又，所以，所以，；②③為條件，①為結論令點，，且，不妨設.因為三點共線，所以，且.因為，點Q在x軸正半軸上，所以.因為，所以.又，所以，，且，所以，，即.27.（2023春·廣東省佛山市高三二模）雙曲線的左頂點為，焦距為4，過右焦點作垂直于實軸的直線交于、兩點，且是直角三角形．（1）求雙曲線的方程；（2）、是右支上的兩動點，設直線、的斜率分別為、，若，求點到直線的距離的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為的方程，即可求解；（2）首先設直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示，并根據(jù)的取值范圍，求點到直線的距離的取值范圍.【小問1詳解】依題意，，焦半徑，由，得，得，解得：（其中舍去），所以，故雙曲線的方程為；【小問2詳解】顯然直線不可能與軸平行，故可設直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得，在條件下，設，，則，，由，得，即，整理得，代入韋達定理得，，化簡可消去所有含的項，解得：或（舍去），則直線的方程為，得，又都在雙曲線的右支上，故有，，此時，，所以點到直線的距離的取值范圍為.28.（2023春·廣東省惠州市高三一模）已知雙曲線的焦距為，且雙曲線右支上一動點到兩條漸近線的距離之積為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）設直線是曲線在點處的切線，且分別交兩條漸近線于兩點，為坐標原點，求的面積．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由點到直線的距離公式及雙曲線定義計算即可；（2）分類討論斜率的存在情況，聯(lián)立直線與雙曲線、漸近線方程結合韋達定理計算面積即可.【小問1詳解】雙曲線的漸近線方程為和，所以有，由題意可得，又，則，解得則雙曲線的方程為【小問2詳解】當直線斜率不存在時，易知此時，直線，不妨設，得；當直線斜率存在時，設直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，可得，由直線與雙曲線右支相切，可得，故設直線與軸交于，則．又雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，可得，同理可得，綜上，面積為2．29.（2023春·廣東省韶關市高三二模）已知雙曲線的左右焦點為，，經(jīng)過的圓（為坐標原點）交雙曲線的左支于，，且為正三角形.（1）求雙曲線的標準方程及漸近線方程；（2）若點為雙曲線右支上一點，射線，分別交雙曲線于點，，試探究是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1），漸近線方程為．（2）為定值，且定值為【解析】【分析】（1）依題意可得，設與軸交于點，求出，，即可得到點坐標，代入方程求出，即可得到雙曲線方程，再求出漸近線方程．（2）分軸與不垂直軸，當不垂直軸時設，，，表示出，聯(lián)立方程組，利用韋達定理，求出對應長度關系，進行化簡證明即可．【小問1詳解】因為為正三角形，由對稱性知，又因為，設與軸交于點，所以，，不妨設，所以，即，則，即，即，所以，所以雙曲線的標準方程為，漸近線方程為．【小問2詳解】由（1）可得，，①當軸時，由對稱性不妨設點，，所以直線，即，代入，消去得，得或（舍去），，，，則，②當不垂直軸時，由對稱性不妨設，，，直線，代入，消去得，因為，所以，由韋達定理，所以，同理，所以，所以為定值，且定值為．30.（2023春·廣東省揭陽市高三二模）在平面直角坐標系中，已知，，，，點M滿足，記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線和，直線與C相交于兩個不同的點A和B，在線段AB上取點Q，滿足，直線交直線于點R，試問面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）的面積不存在最小值，理由見解析【解析】【分析】（1）把已知條件用坐標表示后化簡即可得；（2）設，，，，，且．求出點坐標，利用在雙曲線上可求得點軌跡方程，設直線的斜率為，直線的斜率為，求出，，求出三角形面積關于的表達式，利用基本不等式得最小值，及相應的，檢驗直線是否與雙曲線相交即可得．【小問1詳解】由，，，，，，，得，即．【小問2詳解】設，，，，，，且．，，，，則，得，，得．即．將A，B兩點的坐標代入雙曲線中，得，即，，（且），則，得動點Q的軌跡方程為．設直線的斜率為，直線的斜率為，，，（當且僅當時取“=”，此時直線與雙曲線不存在相交于兩個不同點A，B，因此，的面積不存在最小值．31.（2023春·廣東省深圳市高三一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點，M為線段AB的中點．（1）當k變化時，求點M的軌跡方程；（2）若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【答案】（1），其中或（2）存在，【解析】【分析】（1）設，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得，根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點，得且，即且，由韋達定理，得，則，，聯(lián)立消去k，得，再根據(jù)的范圍得出的范圍，即可得出答案；（2）設，，根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出，，則，即線段AB的中點M也是線段CD的中點，若A，B為線段CD的兩個三等分點，則，結合弦長公式列式得，即可化簡代入得出，即可解出答案.【小問1詳解】設，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點M的軌跡方程為，其中或．【小問2詳解】雙曲線E的漸近線方程為．設，，聯(lián)立得，同理可得，因為，所以，線段AB的中點M也是線段CD的中點．若A，B為線段CD的兩個三等分點，則．即，．而，．所以，，解得，所以，存在實數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個三等分點．32.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）如圖，、為雙曲線的左、右焦點，拋物線的頂點為坐標原點，焦點為，設與在第一象限的交點為，且，，為鈍角.（1）求雙曲線與拋物線的方程；（2）過作不垂直于軸的直線l，依次交的右支、于A、B、C、D四點，設M為AD中點，N為BC中點，試探究是否為定值.若是，求此定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）是定值【解析】【分析】（1）由雙曲線及拋物線定義先得，，再得代入雙曲線方程解方程即可；（2）設l及A、B、C、D四點縱坐標依次為，將轉(zhuǎn)化為，利用韋達定理計算即可.【小問1詳解】由雙曲線的定義可知：，設拋物線方程為：，則由題意可得，即.由拋物線定義可得：，代入拋物線方程得：，代入雙曲線方程得：，故雙曲線方程為：；拋物線方程為：【小問2詳解】由題意可設，點A、B、C、D的縱坐標依次為，分別聯(lián)立直線l與雙曲線、拋物線方程可得：得：，由雙曲線性質(zhì)可得：，故有，因為M、N分別為AD、BC的中點，故其縱坐標依次為：所以是定值.33.（2023春·廣東省潮州市高三二模）已知橢圓過點和點，的上頂點到直線的距離為2，如圖過點的直線與，軸的交點分別為，，且，點，關于原點對稱，點，關于原點對稱，且.（1）求的長度；（2）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】先根據(jù)點到直線的距離求出，再根據(jù)橢圓所過的點求出，即可求出橢圓方程為，根據(jù)點在橢圓上，可得，設過點的直線方程為，分別求出兩點的坐標，再根據(jù)兩點之間的距離公式即可得解；（2）根據(jù)，結合（1）可得直線的方程為，聯(lián)立方程，求出，再利用弦長公式求出，利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，再根據(jù)四邊形面積化簡整理即可得解.【小問1詳解】的上頂點到直線的距離，解得，又橢圓過點，則，解得，所以橢圓方程為，因為點在橢圓上，所以，由題意直線的斜率存在，設過點的直線方程為，令，則，令，則，即，由，得，所以，所以，所以；【小問2詳解】由（1）得直線的斜率，因為，所以，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，所以，所以，點到直線的距離，又因，所以，由橢圓的對稱性可得四邊形，所以四邊形面積，,當且僅當，即時取等號，則，，所以，即四邊形面積的最大值為.34.（2023春·廣東省梅州市高三二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，且雙曲線經(jīng)過點．（1）求雙曲線的方程；（2）過點作動直線，與雙曲線的左、右支分別交于點、，在線段上取異于點、的點，滿足，求證：點恒在一條定直線上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出的值，利用雙曲線的定義可求得的值，再根據(jù)可求得的值，即可得出雙曲線的方程；（2）設點、、，設，可得出，根據(jù)向量的坐標運算結合化簡可得出關于、所滿足的一元二次方程，即可證得結論.【小問1詳解】解：因為，則，由雙曲線的定義可得，所以，，則，因此，雙曲線的方程為.【小問2詳解】證明：設點、、，則，可得，設，則，其中，即，整理可得，所以，，，將代入可得，將代入可得，即，所以，點恒在直線上.35.（2023春·廣東省茂名市高三二模）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，Р為漸近線上一點，且，.（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線E實軸長為2，過點且斜率為的直線交雙曲線C的右支不同的A，B兩點，為軸上一點且滿足，試探究是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）2（2）是，2【解析】【分析】（1）判斷出為直角三角形，利用邊長關系得到，利用齊次式法求出離心率；（2）利用“設而不求法”表示出，，利用雙曲線的定義得到，進而證明出為定值.【小問1詳解】由，可設，在中，因為，所以，即，所以，即為直