無窮級數(shù)習題及答案(一)40p

習題答案(一)(40)第十一章無窮級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第十一章11.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)收斂,試求其和.且其和為所以解:1.根據(jù)定義判定下列級數(shù)的斂散性,若收斂,機動目錄上頁下頁返回結束發(fā)散.所以解:機動目錄上頁下頁返回結束解:所以收斂,且其和為(4)解:由于所以且其和為解:收斂,發(fā)散.2.判定下列級數(shù)的斂散性發(fā)散.所以機動目錄上頁下頁返回結束解:由于所以解:而調(diào)和級數(shù)因此所給級數(shù)發(fā)散.所給級數(shù)可視為發(fā)散的調(diào)和級數(shù)11.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法1.用比較審斂法(或比較審斂法的極限形式)判別下列由于根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)知的和,發(fā)散.解:發(fā)散,與收斂的等比級數(shù)級數(shù)的斂散性機動目錄上頁下頁返回結束(1)

解:由于由比較審斂法知而發(fā)散,發(fā)散.解:收斂,機動目錄上頁下頁返回結束由于而由比較審斂法知收斂.解:由于而由于解:機動目錄上頁下頁返回結束收斂,由比較審斂法知收斂.2.用比值審斂判別下列級數(shù)的斂散性:解:由于所以發(fā)散.由比較審斂法的極限形式知發(fā)散.解:∴原級數(shù)收斂.解:機動目錄上頁下頁返回結束∴原級數(shù)收斂.3.用根值審斂法判定下列級數(shù)的斂散性:解:解:機動目錄上頁下頁返回結束∴原級數(shù)收斂.∴原級數(shù)收斂.4.判定下列正項級數(shù)的斂散性:解:知級數(shù)收斂.而由正項級數(shù)的比較審斂法知:原級數(shù)收斂.機動目錄上頁下頁返回結束解:∴原級數(shù)收斂.解:解:

解:機動目錄上頁下頁返回結束∴原級數(shù)收斂.為發(fā)散的p級數(shù),由比較審斂法知原級數(shù)發(fā)散.而當時,級數(shù)收斂.5.判定下列級數(shù)是否收斂.若收斂,是絕對收斂還是條件收斂.這是參數(shù)為s的p級數(shù).機動目錄上頁下頁返回結束當當時,級數(shù)發(fā)散.時,級數(shù)變?yōu)楫敃r,級數(shù)收斂.當時,級數(shù)發(fā)散.發(fā)散.又(交錯級數(shù))收斂,且為條件收斂.解:所以原級數(shù)絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結束解:所以原級數(shù)發(fā)散.11.3冪級數(shù)1.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:收斂區(qū)間為:機動目錄上頁下頁返回結束收斂半徑為:當當時,冪級數(shù)變?yōu)闀r,冪級數(shù)變?yōu)榇思墧?shù)收斂.此級數(shù)也收斂.冪級數(shù)的收斂域為:解:機動目錄上頁下頁返回結束收斂半徑為:冪級數(shù)的收斂域為:解:令原級數(shù)變?yōu)榇思墧?shù)的收斂半徑為:此級數(shù)的收斂區(qū)間為:機動目錄上頁下頁返回結束當當時,冪級數(shù)變?yōu)闀r,冪級數(shù)變?yōu)榇私诲e級數(shù)收斂.此調(diào)和級數(shù)發(fā)散.原冪級數(shù)的收斂域為:即有:解:所給冪級數(shù)為非標準冪級數(shù),當求收斂半徑.時,即當時,所給冪級數(shù)收斂.應使用比值法機動目錄上頁下頁返回結束當當時,原冪級數(shù)變?yōu)闀r,原冪級數(shù)變?yōu)榇私诲e級數(shù)收斂.此交錯級數(shù)也收斂.原冪級數(shù)的收斂域為:2.利用逐項求導(或積分),求下列級數(shù)的和函數(shù):解:先求所給冪級數(shù)的收斂區(qū)間.收斂半徑為:設所給冪級數(shù)的和函數(shù)為所給冪級數(shù)的收斂區(qū)間為即有:上式兩邊積分得:解:先求所給冪級數(shù)的收斂區(qū)間.機動目錄上頁下頁返回結束上式兩邊求導得:當所給冪級數(shù)缺偶次冪項,時,應使用比值法,

設所給冪級數(shù)的和函數(shù)為即有上式兩邊求導數(shù)得:上式兩邊積分得:機動目錄上頁下頁返回結束所給冪級數(shù)收斂.即當時,機動目錄上頁下頁返回結束先求所給級數(shù)的收斂區(qū)間.所給冪級數(shù)缺偶次冪項,解:并求常數(shù)項級數(shù)的和.應使用比值法.時,即當時,當所給冪級數(shù)收斂.

設所給冪級數(shù)的和函數(shù)為即有上式兩邊求導數(shù)得:上式兩邊積分得:即有:上式中令

則有機動目錄上頁下頁返回結束11.4函數(shù)展開成冪級數(shù)1.將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù),機動目錄上頁下頁返回結束并指出展開式成立的區(qū)間解:解:解:解:機動目錄上頁下頁返回結束解:2.將解:

展開成(x-1)的冪級數(shù).機動目錄上頁下頁返回結束3.機動目錄上頁下頁返回結束解:將展開成(x-3)的冪級數(shù).4.將展開成(x+4)的冪級數(shù).解:得由機動目錄上頁下頁返回結束即有:11.7傅里葉級數(shù)它在[-π,π)上的表達1.設f(x)是以2π為周期的函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結束式為:(a,b為常數(shù),且a>b>0)試將f(x)展開成傅里葉級數(shù).解:機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束2.設f(x)是以2π為周期的函數(shù),它在[-π,π)上的表達式為將f(x)展開成傅里葉級數(shù),討論收斂情況,并畫出和函數(shù)的圖形.解:畫函數(shù)的圖形.從函數(shù)的圖形可知函數(shù)為奇函數(shù).則有:和函數(shù)的圖形如下:機動目錄上頁下頁返回結束3.將展開成傅里葉級數(shù).解:畫函數(shù)的圖形,并作周期延拓.從圖形可看出f(x)為偶函數(shù).所以機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束4.將分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)解:畫函數(shù)的圖形,并作周期偶延拓.則有機動目錄上頁下頁返回結束再作周期奇延拓,如圖示:則有機動目錄上頁下頁返回結束11.8一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)1.將周期函數(shù)f(x)展開成傅里葉級數(shù),它在一個周期內(nèi)的表達式為:解:機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄