專題1-2空間向量與立體幾何20類解答題專練（原卷版）

專題1-2空間向量與立體幾何20類解答題專練TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識點梳理模塊一平行證明（拆分練習(xí)）【題型1】由中位線得出平行關(guān)系【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系【題型3】由面面平行得出線面平行【題型4】構(gòu)造2個平面的交線模塊二垂直證明（拆分練習(xí)）【題型5】證明線面垂直【題型6】證明異面直線垂直【題型7】證明面面垂直【題型8】平行垂直的向量證明方法模塊三點與面【題型9】證明四點共面【題型10】求點到平面的距離模塊四空間中的角【題型11】異面直線夾角【題型12】線面角【題型13】求二面角（重點）【題型14】求面面角（重要）【題型15】已知線面角或二面角，求其它量（重要）【題型16】與角有關(guān)的最值與范圍問題（難點）模塊五探究類問題【題型17】驗證滿足平行條件的點是否存在【題型18】驗證滿足垂直條件的點是否存在【題型19】驗證滿足角度條件的點是否存在【題型20】已知點到平面距離，求參數(shù)知識點梳理一、平行證明：中位線法，平行四邊形法，構(gòu)造平行平面法證明四點共面一般轉(zhuǎn)化為證明平行二、垂直證明證明直線與直線垂直：1、如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線。這是證明直線與直線垂直最常用的方法。2、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，那么另一條也垂直于這條直線。3、三垂線定理及其逆定理。4、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長是一組勾股數(shù)，則這個三角形是一個直角三角形。5、等腰三角形三線合一：等腰三角形底邊上的中線、頂角角平分線和底邊上的高是同一條線段。6、菱形對角線互相垂直。7、矩形的相鄰兩邊垂直。8、全等或相似三角形中的垂直

證明直線與平面垂直：1、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。2、如果兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。3、如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。4、如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也垂直于另一個平面。

證明平面與平面垂直：1、如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直。2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的兩個面所在的平面互相垂直。3、直棱柱的底面垂直于側(cè)面。三、點到平面的距離（1）法一：等體積法（2）法二：法向量：如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.四、異面直線所成角已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點，，所成的角為，則①②.五、線面角范圍：，公式：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有六、面面角范圍：，公式：七、二面角范圍：，公式：模塊一平行證明（拆分練習(xí)）母題：如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中點．方法一：作相交平面找線證明BE//平面PAD若F是DC的中點，證明PA//平面BEF方法二：BE//平面PAD（正向平移法：構(gòu)造平行四邊形）（3）方法三：BE//平面PAD（反向平移法：構(gòu)造面面平行）【題型1】由中位線得出平行關(guān)系如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

證明：平面；【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系如圖，四棱臺的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側(cè)棱上點滿足，證明：直線平面【題型3】由面面平行得出線面平行如圖，四邊形ABCD為矩形，P是四棱錐P－ABCD的頂點，E為BC的中點，請問在PA上是否存在點G，使得EG∥平面PCD，并說明理出如圖，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M為的中點，N為的中點，求證：MN//平面．【題型4】構(gòu)造2個平面的交線如圖，三棱柱中，E，P分別是和CC1的中點，點F在棱上，且，證明：平面EFC．如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，且PD⊥面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．證明：l∥CB模塊二垂直證明（拆分練習(xí)）【題型5】證明線面垂直如圖，在四棱錐中，已知、，，，平面，求證：平面.如圖，在四棱錐中，，，，，點為的中點，且平面．求證：平面【題型6】證明異面直線垂直已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點，為棱上的點，．證明：；如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點，，．證明：；如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.證明：【題型7】證明面面垂直在四棱錐中，底面是正方形，若，，，求證：平面平面圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面【題型8】平行垂直的向量證明方法如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點．求證：平面；如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點，交于點E．證明：.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點，.求證：PB平面AEC；模塊三點與面【題型9】證明四點共面如圖，在長方體中，點分別在棱上，2DE＝ED1，BF＝2FB1，證明：點在平面內(nèi)．如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，判斷點B，C，F(xiàn)，G是否共面，并說明理由．如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，.(1)證明：四點共面；(2)求點到平面的距離.【題型10】求點到平面的距離如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為，求A到平面的距離如圖，在底面為梯形的四棱錐中，底面，.(1)證明：平面.(2)延長至點，使得，求點到平面的距離.如圖，在正方體中，．

(1)求證：；(2)求點到平面的距離．如圖，在直三棱柱中，．

(1)求證：；(2)求點到直線的距離．模塊四空間中的角【題型11】異面直線夾角如圖，三棱錐中的三條棱兩兩互相垂直，，點滿足．若，求異面直線與所成角的余弦值．如圖，在四棱錐中，平面，，，，且直線與所成角的大小為.(1)求的長；(2)求點到平面的距離.【題型12】求線面角在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，，．(1)證明：(2)若平面平面PCD，且，求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．【題型13】求二面角（重點）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．

(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．如圖，在三棱臺中，.(1)求證：平面平面；(2)若四面體的體積為2，求二面角的余弦值.【題型14】求面面角（重要）如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點，為中點.(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值.【題型15】已知線面角或二面角，求其它量（重要）如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點M為線段CD上一點．

(1)求證：；(2)若EM與平面ACD所成角為，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．如圖（1）所示，在中，，過點作，垂足在線段上，且，，沿將折起（如圖（2）），點、分別為棱、的中點.（1）證明：；（2）若二面角所成角的正切值為，求二面角所成角的余弦值.如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線段的中點，是線段（不含端點）上的一個動點．(1)記平面交于點，求證：平面；(2)是否存在點，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，(1)證明：平面平面；(2)在棱上有一點，使得平面與平面的夾角為，求點到平面的距離.如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，E為CD的中點，M在AB上，且，

(1)求證：平面PAD；(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；(3)點F是線段PD上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線EF與AC所成角為，求AF的長．【題型16】與角有關(guān)的最值與范圍問題（難點）如圖AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C為圓周上不同于A，B的任意一點．(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)設(shè)PA=AB=2AC=4，D為PB的中點，M為AP上的動點（不與A重合）求二面角A—BM—C的正切值的最小值．在四棱錐Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.(1)證明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)若點P為四棱錐Q－ABCD的側(cè)面QCD內(nèi)（包含邊界）的一點，且四棱錐P－ABCD的體積為，求BP與平面ABCD所成角的正弦值的最小值.如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.模塊五探究類問題【題型17】驗證滿足平行條件的點是否存在如圖，在正方體中，點為線段上的動點，，分別為棱，的中點，若平面，求．如圖1所示，在矩形中，，，點為線段上一點，，現(xiàn)將沿折起，將點折到點位置，使得點在平面上的射影在線段上，得到如圖2所示的四棱錐．在圖2中，線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由.如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是一個邊長為2的菱形，，側(cè)棱⊥平面ABCD，．

(1)求平面與平面的夾角的余弦值．(2)設(shè)E是的中點，在線段上是否存在一點P，使得平面PDB？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【題型18】驗證滿足垂直條件的點是否存在如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點，在對角線上是否存在點，使得平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在線段上，，，，是的中點，四面體的體積為．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）棱上是否存在一點，使，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．三棱柱被平面截去一部分后得到如圖所示幾何體，平面，，，為棱上的動點（不包含端點），平面交于點，試問是否存在點，使得平面平面？并說明理由．斜三棱柱的各棱長都為2，，點在下底面ABC的投影為AB的中點O．在棱（含端點）上是否存在一點D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；斜三棱柱的各棱長都為，點在下底面的投影為的中點.在棱（含端點）上是否存在一點使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；如圖1，在邊長為4的菱形中，，于點，將沿折起到的位置，使，如圖2.

(1)求證：平面；(2)判斷在線段上是否存在一點，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【題型19】驗證滿足角度條件的點是否存在已知矩形中，，，是的中點，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.(1)證明：；(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)在棱上是