江蘇省揚(yáng)州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

高二數(shù)學(xué)5月考試卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.如果A(1,5,T),B(2,4,l),C(α,3,b+2)三點(diǎn)共線，那么α+b=()

A.1B.2C.3D.4

2.(2x-y＞的展開式中/y的系數(shù)為()

A.-32B.32C.8D.-8

3.已知｛α,b,c｝是空間的一組基底，則可以與向量p=α+6,q=α-A構(gòu)成基底的向量是()

A.aB.bC.a+2hD.a+2c

4.算盤起源于中國，迄今已有2600多年的歷史，是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具：現(xiàn)有一種算盤(如圖1),共兩

檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5,梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)

字1(如圖2中算盤表示整數(shù)51).如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，則表示的數(shù)字大于50的概率為()

十位個位十位個位

圖1圖2

5.由O,l,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有()個

A.360B.192C.312D.240

6.已知P(B)=O.3,P(BlA)=O.9,P(BlA)=0.2,則P(X)=()

A.-B.-C.-D.—

77310

7.為了預(yù)防肥胖，某校對“學(xué)生性別和喜歡吃甜食''是否有關(guān)做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同,

男生喜歡吃甜食的人數(shù)占男生人數(shù)的：2，女生喜歡吃甜食的人數(shù)占女生人數(shù)4的若有99%的把握認(rèn)為是

否喜歡吃甜食與和性別有關(guān)，則被調(diào)查的男生人數(shù)可能是()

n(cul-be)2

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=其中n=a-?-b+c+d.

(α+6)(c+d)(α+c)(b+d)'

2

附：p(κ≥kn)0.050.010

C.15

8.已知α=ln2.6,?=0.5×1.82,C=I.3則下列排序正確的是（

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>ba>b>c

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

9.下列命題正確的是()

A.對于事件A,B,若AqB,且尸(A)=O.3,P(B)=O.6,則P(BlA)=I

B.若隨機(jī)變量4~N(2∕2),P(J<4)=O.84,則P(2<J<4)=0.16

C.相關(guān)系數(shù)『的絕對值越接近1,兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

D.在做回歸分析時，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬表示回歸效果越好

10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是()

A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有18種

C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種

D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種

11.已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(",p),其中"∈N*,O<p<l,記X為奇數(shù)的概率為X為偶

數(shù)的概率為b,則下列說法正確的有()

3355

A.a=C>(l-py-'+C>(1-P)-+C>(1-p)'-+B.p=g,且"為偶數(shù)時，a<b

C.O<p<g時，4隨著”的增大而增大D.g<p<l時，“隨著"的增大而減小

12.如圖所示，圓錐Po中，Po為高，AB為底面圓的直徑，圓錐的軸截面是面積√k

等于2的等腰直角三角形,C為母線布的中點(diǎn),點(diǎn)M為底面上的動點(diǎn),且OMLAM,∕3?I?

點(diǎn)。在直線PM上的射影為從當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，()盥二

A.三棱錐M-ABC體積的最大值為立B.直線CH與直線用垂直不可能成立

C.”點(diǎn)的軌跡長度為萬D.A”+“。的值小于2

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機(jī)變量6服從正態(tài)分布唱,4),S.P(ξ<-l)=P(ξ>m),則a+,小的展開式中X的系數(shù)為

14.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A片GR中，E為線段40的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面4EC∣的距離等

于.

15.定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足Vx∈R,/(x)+∕(4-x)=0,且當(dāng)O<χ<2時，/(x)=V-2',則

2023

∑∣∕ω∣=.

Z=I

16.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱IOO件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合

格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取10件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所

有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(O<0<l),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.記10

件產(chǎn)品中恰有3件不合格品的概率為了(P),則/(0)取最大值時，P=.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.

17.現(xiàn)有7本不同的書準(zhǔn)備分給甲、乙、丙三人.

(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，則不同的分配方法有多少種？

(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外兩人每人得2本，則不同的分配方法有多少種？

18.在①“2=60,②二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,③二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)僅為第4項(xiàng)這三個條件中任選一個，補(bǔ)充

2

在下面橫線中，已知(l-2x)”=a0+alx+a2xH---Fanx"(n∈N+),,求：

⑴”的值；

(2)一,+∣∣■—導(dǎo)+…+(-1)”祟的值.

19.設(shè)某幼苗從觀察之日起，第X天的高度為ycm,測得的一些數(shù)據(jù)如下表所示：

第X天1234567

高度ycm0479111213

作出這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：y(Cm)與X(天)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=法+α.

(1)試借助一元線性回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于X的線性回歸方程a=Ax+4；

(2)在作出的這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，甲同學(xué)隨機(jī)圈取了其中的3個點(diǎn)，記這3個點(diǎn)中幼苗的高度大于了的點(diǎn)

的個數(shù)為J,其中亍為表格中所給的幼苗高度的平均數(shù)，試求隨機(jī)變量J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

^xiyi-nxy

附：回歸方程y=故+&中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式，分別為8=j?----------------------，a=y-bX

Lv?s-2-n—χ2^

I=I

20新能源汽車是中國新興產(chǎn)業(yè)之一，政府高度重視新能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，某企業(yè)為了提高新能源汽車

品控水平，需要監(jiān)控某種型號的汽車零件的生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機(jī)抽取

100件，測得該零件的質(zhì)量差(這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對值)的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表.

質(zhì)量差(單位：mg)5667707886

件數(shù)(單位：件)102048193

(1)求樣本平均數(shù)元的值；根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，得到該零件的質(zhì)量差(這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的

絕對值)X近似服從正態(tài)分布其中/的近似值為36,用樣本平均數(shù)了作為〃的近似值，求概率

P(64<X<82)的值；

(2)若該企業(yè)有兩條生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線,其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率的兩倍.

若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.015,第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.018,將這兩條生產(chǎn)線生

產(chǎn)出來的零件混放在一起，這兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)廢品相互獨(dú)立.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機(jī)抽取一件.

(i)求該零件為廢品的概率；(ii)若在抽取中發(fā)現(xiàn)廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(Mb2),則：P(∕∕-σ<?≤z∕+σ)≈0.6827,

P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P{μ-3>σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973

21.如圖，在多面體ABCoE尸中，側(cè)面BCDF為菱形，側(cè)面AsE為直角梯形,

AC//DE,AC1CD,M,N分別為DF,A8的中點(diǎn)，且

BC=2,AC=2DE,ZCBF=60.

⑴證明：MN〃平面Aa)E；

(2)若平面BCDFLnACDE,多面體ABa)M的體積為吆叵，求直線MV與平面ABb所成角的正弦值.

3

22.已知函數(shù)/(x)=sinx-αln(x+l).

(1)當(dāng)α=l時，證明：當(dāng)xe[0,l]時，/(χ)>O;

⑵當(dāng)xe[0,π]時，/(x)≤2e*-2恒成立，求”的取值范圍.

參考答案:

1.D

解析：即AB=(I,T,2),AC=(α-1,—2力+3),

A(l,5,-1),3(2,4,1),C(a,3,A+2)三點(diǎn)共線，故AB〃4C，

β∣J(1,-1,2)=Λ(α-1,-2,λ>+3),解得4=萬，a=3,b=l,故4+>=4.

故選：D

2.A

解析:由題設(shè)，展開式通項(xiàng)為J=C：(2x)F-y『=C；24-yT(-1)了,

.?.r=1時，凸,的系數(shù)為C：X23X(_?=-32.

故選：A

3.D

解析：?.?p=α+b,q=a-b,；?P，q與共面,故A,B錯誤；

:。+2人=：(。+匕)一J,—〃)=；〃一Q",?\q+2匕與p,g共面，故C錯誤；

Irrrrrrr

V{a,b,c}是基底，,不存在x,y使a+2c=x(α+b)+y(α-b)=(x+y)α+(x-y)6成立,

???a+2c與PM不共面，故α+2c可以與p,q構(gòu)成空間的一組基底，故D正確.

故選：D.

4.B

解析：撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，

第一類，只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，表示的數(shù)字分別為2,6,20,60；

第二類，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，表示的數(shù)字分別為11,15,51,55,

所以表示不同整數(shù)的個數(shù)為&

其中表示的數(shù)字大于50的有51,55,60共3個，

所以表示的數(shù)字大于50的概率為

O

故選：B

5.D

解析：解：根據(jù)題意可分為兩類：個位數(shù)字為0和個位數(shù)數(shù)字為2或4,

當(dāng)個位數(shù)字為O時，小于5(XXX)的偶數(shù)有C：A：=4χ24=96個;

當(dāng)個位數(shù)字為2或4時，小于5(XXX)的偶數(shù)有C；C；A：=144個,

所以小于5(XXX)的偶數(shù)共有96+144=24()個.

故選：D.

6.A

解析：由全概率公式可得:P(B)=P(A)?P(B∣A)+P(孫P(BIx)

可得0.3=P(A)Xo.9+(1-P(A))Xo.2,解得：P(A)=∣.

則尸(A)=

故選：A.

7.C

解析：由題意被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，設(shè)男生的人數(shù)為：5〃?(〃"N"),由題意可列出2x2列聯(lián)表:

男生女生合計(jì)

喜歡吃甜食2m4m6m

不喜歡吃甜食3mm4/27

合計(jì)5ιn5mIOzn

n(ad-be)2_1Otn(2m?nι-4m?3∕n)2_5ιn

(a+?)(c+rf)(π÷c)(?+<7)6m?4m?5m?5m3

由于有95%的把握認(rèn)為是否喜歡吃甜食和性別有關(guān)，

5/77

所以已竺>6.635；解得：5m>19.905,因?yàn)?eN”,

3

所以選項(xiàng)ABe錯誤，選項(xiàng)D正確.

故選：D.

8.A

解析：因?yàn)閎=0.5χl.82=0.5χ3.24=1.62,α=In2.6,

令/(x)=InX-X+l(x>l),則f?x)=--↑=l≡≡<0,

故〃x)在(l,+∞)上單調(diào)遞減，

所以/(2.6)<∕(l)=0,即1n2.6-2?6+l<0,故ln2.6<1.6,

因?yàn)镃=Ll5=(1+0.1)5=C；+C；(0.1P+C；(0.1Y+C：(0.1)3+C；(O.I)，+C“O.I)，

=1+0.5+0.1+0.01+0.0005+0.00001=1.61051,

所以1.62>1.61051>1.6>ln2?6,即“c>a.

故選：A.

9.AC

,、，、/I?P(AB)P(A)

解析：對于A,由A=8,則P(AB)=P(A),故「(用力=1⑶2=京引=1,故A正確；

對于B,由隨機(jī)變量J~N(2,*),則隨機(jī)變量J滿足的正態(tài)分布曲線關(guān)于直線J=2對稱，

故P(2<J<4)=P(0<4<2),P(J<O)=P(J>4)=1-P(J<4)=0.16,

P(2<^<4)=0?84~0?16=0.34,故B錯誤；

對于C,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可得C正確；

對于D,根據(jù)殘差圖的性質(zhì)，可知寬度越窄表示回歸效果越好，故D錯誤.

故選：AC.

10.ACD

解析：對于A,甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，將甲乙看成一個整體，與丙，丁，戊全排列，有A：=24

種排法，A正確；

對于B,若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有A：=24種排法，

故B錯誤；

對于C,先將丙，丁，戊三人排成一排，再將甲乙安排在三人的空位中，有A；?A；=72種排法，C正確；

對于D,甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有A：=120種排法，

甲乙丙全排列有A；=6種排法，則甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有4=20種，故D正確.

6

故選：ACD.

11.AC

解析:因?yàn)閄8(",p),所以P(X=Z)=C>√(l-p)i,3且it∈N,

對于A：由二項(xiàng)分布可知a=C>(l-p)n-'+CPP_p)T+c>5(l-pΓ5+?.故A正確;

8屋)，則P(X=A)=Cg)(A=O,1,2,3,

對于B,由p=g時，X,〃)

所以〃=(；)?+C+C/)=(g)x2,i=;,

b=({f?+C：+C：+.)=(￡fx2，i=g,

所以α=6,故B不正確，

對于C、D：”[(1')+"一[(1')一川"1-(1-24.

22

當(dāng)0<p<:時，αJ-(J2p)”,且l-(l-2p)”為正項(xiàng)且單調(diào)遞增的數(shù)列,

222

故“隨著”的增大而增大，故C正確，

當(dāng)(<p<l時，q」(]2”,且「(J2p)”為擺動數(shù)列,故D不正確.

222

故選：AC

12.ACD

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為R,高為九母線長為/.

由已知，圓錐的軸截面為面積等于2的等腰直角三角形，貝IJ其面積S=《PA?PB!r=2,解得/=2,所以

22

對于A項(xiàng)，如圖2,由OM_LAM可知，點(diǎn)M在以O(shè)A為直徑的圓上.

因?yàn)?。A=R=√∑,所以點(diǎn)M到平面∕?8距離的最大值為LOA=立.

22

圖2

易知%Z(C=21,故三棱維M-ABC體積的最大值為Llx?=立，故A正確.

22326

對于B項(xiàng)，易知POJ_平面AMB,AMU平面AWB,所以AM_LP。，又LoM,OMΠPO=O,OMU平面

POM,PoU平面PoM,

所以AM_L平面POM,又OHU平面POM,則AM_LOH,

又。PMΠAM=M,AMU平面βUf,PMU平面∕?M,則OH_L平面∕?M,又∕?u平面∕?M,則

OHVPA,

由△?48是等腰直角三角形，可得PO=OA,即4POA為等腰三角形，連接OC,又C為孫的中點(diǎn)，故布，。C,

又OHCOC=O,OHU平面OHC,OCU平面OHC,則B4_L平面OHC,所以M_LCH恒成立，故B項(xiàng)不正

確.

對于C項(xiàng)，由B項(xiàng)可知∕?，平面04C,又?！盻L平面∕?M,HCU平面∕?Λ∕,所以O(shè)HLHC,過點(diǎn)C且與

B4垂直的平面僅有一個，則H點(diǎn)的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓(除去O,C兩點(diǎn)).

又OC=LPA=1，則”點(diǎn)形成的軌跡周長為π,故C項(xiàng)正確.

2

對于D項(xiàng)，設(shè)O"=x,x?(0,1),由B項(xiàng)可知CHL∕?,CHVOH,則CH=JI-X?,AH=S_Xi?

所以ΛH+//O=X+?√2-X：<點(diǎn)&+2-J=2,則A”+，。的值小于2,D項(xiàng)正確?

故選:ACD.

13.192

解析：因?yàn)殡S機(jī)變量。服從正態(tài)分布且PC<-l)=PC>m),

所以-1+∕Π=2XL故〃?=2,

2

二項(xiàng)式(x+2)6展開式的通項(xiàng)及M=CXi2。

令6d=1,可得A=5,

所以(x+2)6展開式中X的系數(shù)為CQ5=192,

故答案為：192.

14.亞

6

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,O,1),Eh,∣,olC1(0,1,0),C(0,l,l),

，ACl=(-1,1,-1),設(shè)平面AEG的一個法向量為〃=(χ,y,z),

-y-z=0

2，取"=(1,2,1),又AC=(TJO),

AC1H=O-x+y-z=0

所以點(diǎn)C到面AEC1的距離d=正處?=二=￡，

?n?√66

故答案為：立.

6

15.1012

解析：因?yàn)?O)是奇函數(shù)，且/(x)+∕(4-x)=0,

所以f(X)=-/(4-X)=/(D,

故/(X)是周期為4的周期函數(shù).

/(D+/(3)=/(D+/(-1)=0,所以/(3)=-?(l)=1，

令χ=2,可得/(2)+∕(2)=0,所以"2)=0,

因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)且周期為4,所以7(4)=∕(0)=0,

則"⑴I+"⑵I+"⑶l+"(4)∣=2"⑴|=2,

20234

則∑lf?DI=506?∑l∕?(Z)I-1八4)h506X2-0=1012.

/=IZ=I

故答案為:1012.

16.2/0.3

解析：因?yàn)槊考a(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<O<l),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立,

所以，10件產(chǎn)品中恰有3件不合格品的概率為f(p)=C>p3(l-p)7,

272

則尸(P)=?e?,P(I-P)-7C〉p3(1_p)6=e?,?p(l-[3(1-P)-7句

=CQpp-p『(3-IoP),

當(dāng)o<p<6時，/'(p)>°,此時函數(shù)/(P)單調(diào)遞增，

當(dāng)才p<l時，f?p)<O,此時函數(shù)/(p)單調(diào)遞減，

故當(dāng)P=S時，〃P)取最大值.

3

故答案為：—.

17.(1)630

(2)630

解析：(1)首先將7本書分成1本、2本、4本，共三組有C；C；C：=105種，

再將三組分給甲、乙、丙三人有A；=6種，

所以共有105x6=630種.

rι2r,2

(2)首先將7本書分成3本、2本、2本，共三組有?七二105種，

再將三組分給甲、乙、丙三人有A；=6種，

所以共有105x6=630種.

18.(1)6；

(2)63.

解析：(1)若選①，因?yàn)?；=C(-2x)2=陰》2,所以4=(-2)2C=60,化簡可得"("-1)=30,且“eN,,解

得n=6.

若選②，則2"=64,n=6.

若選③，則g+l=4,?"=6.

(2)由(1)知,n=6

ikt

(1-2x)6的展開式通項(xiàng)小=C*(-2x)=akx,所以做=(―2)*C*=(-l)*?2C*,

所以焉+∣H崇+…+(if崇

(-『?2'C；,(-1?2十：(一1)3"最，,6(一爐3C

222231'26

=C+C：+C：+…+屋=26-1=63

593

19.(↑)y=-x一一

287

IO

⑵分布列見解析，數(shù)學(xué)期望碓)二j.

12

解析：(1)由表格數(shù)據(jù)，Wx=.++3+4+5+6+7=4

-0+4+7+9+11+12+13C

y=----------------------------=8,

7

l×0+2×4+3×7+4×9+5×ll+6×12+7×13-7×4×8_59

ΛJ2222222

=I2+2+3÷4+5÷6÷7-7×4=云，

593

所以G=y-bλx=S----×4=——,

287

所以y關(guān)于無的線性回歸方程為f=∣59∣χ-3

(2)7天中幼苗高度大于5=8的有4天，小于等于8的有3天，

從散點(diǎn)圖中任取3個點(diǎn)，即從這7天中任取3天，

所以這3個點(diǎn)中幼苗的高度大于亍的點(diǎn)的個數(shù)片的取值為0,1,2,3,

r,3C01c2rl

P(^=O)=?=±.尸值=I)=EI12

'',e?35'''C35

陛=2)=警喘叱M罟4

所以隨機(jī)變量4的分布列為:

專0123

112184

P

35353535

隨機(jī)變量看的期望值Eq)=OX2+lx∣∣+2χ導(dǎo)3χ^=^?

20.(I)J=70,0.8186

⑵(i)0.016；(ii)I

O

WL,八_56×l0+67×20+70×48+78×19+86×3”

解析：(1)X=---------------------------------------------=70

由X-^v(z∕,σ2)√∕=70,σ2=36#:

P(64<X<82)=P(70-6<X<70+2×6)

P{μ-σ<X<μ+σ)P{μ-2σ<X≤χz+2σ)

=--------------------------F----------------------------=UW86

22

(2)(i)設(shè)A="隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，

Bl="隨機(jī)抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”,

員="隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”,

71

則由題意可知P(z4)=3，P(82)=§,

又P(Al4)=0.015,P(AlS2)=0.018,

于是P(A)=P(AC(4UB2))=P(ABlUAB2)=P(AB1)+P(AB2)=

21

P(BJP(AlBl)+P(B,)P(A∣β2)=-×0.015÷-×0.018=0.016.

2

1

(ii)P(B\1y^(ABl)P(B,)P(Λ∣Bl)J×Q?θ55.

(1)P(A)P(A)0.0168

21.(1)證明見解析

⑵回

38

解析：(1)取AC的中點(diǎn)G,連接NGDG,則NG為,/BC的中位線，

所以NG〃3C,且NG=LBC,又DMMBC,ELDM=-BC,

22

所以NG//DM,且NG=O0,即四邊形Z)MNG為平行四邊形，

所以MN//DG,又MNU平面Aa>E,OGu平面ACz)E,

故MN〃平面ACDE.

(2)連接CM,在菱形BaM中/CBF=6(),貝IJCMJ.Z)F,CΛ/=JL

在直角梯形ACOE中ACLCD,所以DEJ.CD,

因?yàn)槊鍮CDF?面ACDE,而BCDFC面ACDE=CD,DEU面ACDE,

所以DEJ,平面Ba>尸，又CMU平面8COF,故￡>￡_LCM,

又DF-DE=D,DF,DEu面DEF,所以CMi?平面OEE

連接GE,GB,因?yàn)锳C=2OE,即CG=DE,且CG〃DE,

所以CQEG為平行四邊形，CDllEGIlBF且CD=EG=BF，則CGB—DEF為三棱柱,

設(shè)OE=∕n,則4C=2m,三棱柱CGB-DEF的體積K=SoEFXCM=gχ2xmχCM=鬲.

連接GF,則三棱錐F-ABG的體積匕=JXSABGXCM=LXSBCCXaW=IXSOMXCM=立機(jī).

L3ΛD<-73Oto3Utzr3

取8戶中點(diǎn)，，連接C4,則C",αλC∕∕=6,

面BCDF±面ACDE,而BCDFC面ACDE=CD,CHU面BCDF,則Ca"L面ACDE,

所以三棱錐F-AGE的體積匕=gx$AGEXCH=gxgx,wx2xJJ=~^m,

由多面體ABa)EF的體積為丑叵，得：^m+同m+?m=或,解得加=2.

3333

綜上，CAC”,8兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4,C",8所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系.

則C(0,0,0),4(4,0,0),網(wǎng)0,道,—1),。(0,0,2),G(2,0,0),

AB=(-4,√3,-l),BF=CD=(0,0,2),W=GD=(-2,0,2),

AB?m=-4x+-7?v-z=0,「、(L\

設(shè)面AB尸的法向量為∕w=(x,y,z),由-，令x=√L則加=6,4,0,

BFm=Iz=Q')

設(shè)直線MN與平面ABF所成角為。，所以sin。=Icos(NMMl=-芋L='逗，

I'/I2√2×√1938

故直線MN與平面ABF所成角的正弦值為晅.

38

22.(1)證明見解析

(2)[-l,-κx))

解析：(1)法一：首先證明sinx≤x,x∈[0,+∞),理由如下:

構(gòu)造√(^)=sinx-x,%∈[0,+∞),

貝∣」/(x)=8sx-l≤。恒成立，故J(X)=SinX-X在X∈[0,+∞)上單調(diào)遞減,

故/(x)≤∕(0)=0,所以SinX≤x,x∈[0,÷w),

/(x)=sinX-In(X+1),x∈[0,1],

f,(χ}=COSx-=l-2sin2-----————≥1---一—(O≤x<l),

v71+x21+xx+?2l+x'

2+2.x——X—2型二。＞0在xw[0,l]上恒成立,

故rα)≥

2+2X2+2X

所以/(χ)在[?！粏握{(diào)遞增，故/(χ)≥∕(o)=o

法二:/(x)=sinx-ln(x+l),x∈[0,1],

?(?)?eos?-?-,且T(O)=O,

4??(x)=∕,(x)=cosx--?-,則J(X)=-SinX+(]；)2,

?2

令W(X)=/(X)=-Sinx+?^―-T,則w'(x)=-cosx-「^<0在XqO,1]上恒成立,

11+XJ(1+XI

所以/(x)=-sinx+7;~@單調(diào)遞減，

(ι+χ)

Jr11

又，(O)=I>0,其中sin1>sin—=?,??√(1)=-sinl