【歐氏空間的性質(zhì)及應(yīng)用11000字】

[2]：定理在實(shí)數(shù)域上的內(nèi)積空間中，對(duì)于任意的兩個(gè)向量α,β，存在這樣的一個(gè)不等式是成立的，即α,β≤當(dāng)且僅當(dāng)α,β線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.證明在平面幾何中，若α,β是線性無關(guān)的，那么cos也就是α,β2如果α,β是歐氏空間里面的兩個(gè)線性不相關(guān)的向量，接下來由α,β生成的歐氏空間，就同構(gòu)于平面上的全部向量所組成的歐氏空間，故而有：α,β2成立.通過之前所給定的命題，我們可以知道，下面這三個(gè)命題是等價(jià)的關(guān)系：（1）α,β2（2）α,αα,β（3）α,β線性相關(guān)；故定理得證.在線性空間Rn里（實(shí)數(shù)域上的），如果記α=a1α,β我們就可以得到柯西不等式：i=1將柯西不等式左右兩端，同時(shí)求解它們的算術(shù)平方根：i=1則i=1也就是i=1等號(hào)成立的條件是ai（三）n維歐氏空間標(biāo)準(zhǔn)正交基的其他求法若想要了解n維歐氏空間，就要了解它的基.歐氏空間中，一組標(biāo)準(zhǔn)正交基具有很多的優(yōu)點(diǎn)，而將一般的基化成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，我們通常采用的是施密特正交化的方法.在線性空間中，我們可以利用初等列變換，將一組基向量，化成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：（1）首先，在n維的線性空間中，α1,α2,…αn（2）構(gòu)造矩陣ATAA2n×n，并且，對(duì)它進(jìn)行初等列變換，直到把ATA化成一個(gè)下三角形式的矩陣，此時(shí)矩陣A同時(shí)被化成了（3）取γi=βi例如已知有向量α1=(1,0,?1)，α2解令A(yù)=α則ATAA則做合同變換化得：A取B=顯然β1實(shí)際上，在歐氏空間中，除施密特正交化的方法之外，還有幾許求解標(biāo)準(zhǔn)正交基的方式，以下將給出其中一種更為簡潔的，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正交基的途徑.主要依據(jù)n維線性空間中所得出的線性無關(guān)組的若干性質(zhì)為背景，進(jìn)行研究.規(guī)定：以下所討論的向量均是限制在n維歐氏空間V中的向量.相關(guān)理論：（1）α1,α2,…αn是一組線性無關(guān)的向量，并且它與線性無關(guān)的向量組β1,β2,…（2）若向量組α1,α2,…αr(r<n)（3）向量組α1,α2,…αn是一個(gè)正交的向量組，對(duì)于方程組α1推論1：若α1,α2,…推論2：若向量組α1,α2,…α下面看具體求解標(biāo)準(zhǔn)正交基的例子：已知α1=(1,2,0,1)，α2解選取α11,2,0,1x由此得到一個(gè)非零解ε1(α又得到一個(gè)非零的解ε2(α得到一個(gè)非零的解ε3T=(0,0,1,0)T，從而（四）n維歐氏空間正交基函數(shù)的構(gòu)造由歐氏空間中內(nèi)積的定義，為研究歐氏空間的空間曲線及曲面問題，我們可以由標(biāo)準(zhǔn)正交基構(gòu)造出一組新的歐氏空間基函數(shù)，且該基函數(shù)是正交基函數(shù).有以下這樣幾個(gè)定理：定理1：ε1,ε2定理2：（1）02π（2）02π（3）02π（4）02π定理3：設(shè)1,是連續(xù)函數(shù)（定義在區(qū)間0,2π上），由它能夠生成一個(gè)歐氏空間，并且可以證明出它是這個(gè)歐氏空間里的一組基函數(shù).證明：對(duì)于這組基函數(shù)1,的任意兩個(gè)基函數(shù)，我們有以下性質(zhì)：cos=cossin=sincos=sink?=k?cosk?=k?sink?=k?sincosmxsinmxcosmxcosmxcosnx1,coscosmx因此它符合內(nèi)積的定義，也就是說1,可以構(gòu)成歐氏空間的一組基函數(shù).定理3：上述的一組歐氏空間的基函數(shù)1,是一組線性無關(guān)的正交基函數(shù).證明：那么通過定理3中所得到的結(jié)論，若m≠n，我們可以得到：02π02π02π故而它就是一組正交的基函數(shù)，以下，我們可以用θ11,并證明此正交向量組線性無關(guān).設(shè)：k用基函數(shù)1,分別與以上等式作內(nèi)積運(yùn)算，可以得到：k又因?yàn)閟in故k故1,cosx,（五）度量矩陣在二次型化標(biāo)準(zhǔn)型中的應(yīng)用已知，任意的一個(gè)對(duì)稱矩陣，都可以通過合同變化，將它化為一個(gè)對(duì)角形矩陣.也即，如果A是一個(gè)對(duì)稱矩陣，那么都存在一個(gè)矩陣C（可逆），有CTAC是一個(gè)對(duì)角形矩陣.現(xiàn)在在實(shí)數(shù)域上建立對(duì)于一個(gè)n元二次型，如果我們將它的系數(shù)限制在實(shí)數(shù)域R中，那么這個(gè)二次型就可以對(duì)應(yīng)寫成：f其中aij?R,i<j,i,j=1,2,……,n，令aijA=aXT那么，又可以將二次型表示為fx現(xiàn)在將把此二次型與n維歐氏空間的內(nèi)積之間建立起一種對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即有：設(shè)V為R上的一個(gè)n維歐氏空間，令它的一組基ε1,ε2,…,εn，從而，存在唯一的一個(gè)內(nèi)積φ，能夠?qū)?yīng)于二次型證明存在性：取上述矩陣A，也即二次型fx1,令φx,y=XTAY，而XT和YT是x，y在基ε通過內(nèi)積φ可以指定一個(gè)二次型fx1,x2,…,下面，利用以上所得結(jié)論，考慮將計(jì)算二次型f的標(biāo)準(zhǔn)型的問題，也就是作可逆的一種線性替換X=CY,其中C是非退化的矩陣，

XT=(x1,x2,…x由之前的命題，我們可以知道，A即是φ在基ε1,ε2,…,εn下的度量矩陣.由基θ1,θ2,…,θCT因而二次型fx1,x2,…,xn化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題就轉(zhuǎn)化成為了對(duì)內(nèi)積φ并且，我們可以得到，在實(shí)數(shù)域中二次型的標(biāo)準(zhǔn)型里，平方項(xiàng)的系數(shù)為正（負(fù)）的個(gè)數(shù)被唯一確定下來，且與一個(gè)內(nèi)積函數(shù)φ對(duì)應(yīng).通過可逆的線性替換X=CY把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題，就轉(zhuǎn)化成把C作為過渡矩陣，把θ1,θ

結(jié)論歐氏空間利用對(duì)內(nèi)積的定義，具體刻畫了線性空間中所不包含的長度和夾角，對(duì)長度和夾角的一般規(guī)定提供了證明一些特殊公式的其他方法，并且人們在繪制3維物體的2維圖片方面已經(jīng)發(fā)展了很多技能，同樣，人們可以嘗試?yán)L制4維對(duì)象（例如超立方體）的3維圖片.歐氏空間中，它的每一個(gè)單位矩陣都對(duì)應(yīng)與它的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，而內(nèi)積又可以被度量矩陣完全確定，從而確定了內(nèi)積與具體二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的對(duì)應(yīng)關(guān)系.通過歐氏空間中定義的內(nèi)積以及定義的標(biāo)準(zhǔn)正交基，構(gòu)造出新的標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)對(duì)研究歐氏空間曲線、曲面等方面具有重要意義.參考文獻(xiàn)郭茜,吳桂康.歐式空間在幾何上的運(yùn)用研究[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2018,34(10)：28-29.王趙泉,李麗.柯西不等式的幾種證明方法[J].價(jià)值工程.2010,29(11):2109翟元寧.淺議歐氏空間的基[J].勝利油田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),1999(04):1-2.郭茜.歐氏空間標(biāo)準(zhǔn)正交基的幾種求法[J].科技風(fēng),2013(12):117-118.周曉中.歐氏空間標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種求法[J].黃淮學(xué)刊(自然科學(xué)版),1992(S2):61-64.王萼方,石明生.高等代數(shù)（第四版）[M].北京高等教育出版社,1900.陳峰.二次型和對(duì)稱雙線性函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系[J].臺(tái)州學(xué)院學(xué)報(bào),2004(03):23-25.唐桂林,陳明武.歐式空間正