組合變形的強(qiáng)度計(jì)算

12組合變形的強(qiáng)度計(jì)算

本章主要研究組合變形的概念、斜彎曲和偏心拉伸（壓縮）的強(qiáng)度計(jì)算、截面核心。本章提要本章內(nèi)容12.1

組合變形的概念12.2

斜彎曲12.3

偏心壓縮（拉伸）12.4

截面核心12.1組合變形的概念在實(shí)際工程中，構(gòu)件的受力情況是復(fù)雜的，構(gòu)件受力后的變形往往不僅是某一種單一的基本變形，而是由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的復(fù)雜變形，稱為組合變形。

例如，圖12.1(a)所示的屋架檁條；圖12.1(b)所示的空心墩；圖12.1(c)所示的廠房支柱，也將產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。12.1.1組合變形的概念圖12.1

解決組合變形強(qiáng)度問題，分析和計(jì)算的基本步驟：首先將構(gòu)件的組合變形分解為基本變形；然后計(jì)算構(gòu)件在每一種基本變形情況下的應(yīng)力；最后將同一點(diǎn)的應(yīng)力疊加起來，便可得到構(gòu)件在組合變形情況下的應(yīng)力。試驗(yàn)證明，只要構(gòu)件的變形很小，且材料服從虎克定律，由上述方法計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情況基本上是符合的。12.1.2組合變形的解題方法12.2斜彎曲對(duì)于橫截面具有對(duì)稱軸的梁，當(dāng)橫向力作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁變形后的軸線仍位于外力所在的平面內(nèi)，這種變形稱為平面彎曲。如果外力的作用平面雖然通過梁軸線，但是不與梁的縱向?qū)ΨQ面重合時(shí)，梁變形后的軸線就不再位于外力所在的平面內(nèi)，這種彎曲稱為斜彎曲。

如圖12.2(a)所示的矩形截面懸臂梁，集中力P作用在梁的自由端，其作用線通過截面形心，并與豎向形心主軸y的夾角為φ。將力P沿截面兩個(gè)形心主軸y、z方向分解為兩個(gè)分力，得

Py=Pcosφ

Pz=Psinφ分力Py和Pz將分別使梁在xOy和xOz兩個(gè)主平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。12.2.1外力的分解圖12.2在距自由端為x的橫截面上，兩個(gè)分力Py和Pz所引起的彎矩值分別為

Mz=Py·x=Pcosφ·x=Mcosφ

My=Pz·x=Psinφ·x=Msinφ

該截面上任一點(diǎn)K(y，z)，由Mz和My所引起的正應(yīng)力分別為

σ′=Mz·y/Iz=yMcosφ/Iz

σ″=My·z/Iy=zMsinφ/Iy

12.2.2內(nèi)力和應(yīng)力的計(jì)算根據(jù)疊加原理，K點(diǎn)的正應(yīng)力為

σ=σ′+σ″

=Mz·y/Iz+My·z/Iy

=M(ycosφ/Iz+zsinφ/Iy)式中Iz和Iy分別是橫截面對(duì)形心主軸z和y的慣性矩。正應(yīng)力σ′和σ″的正負(fù)號(hào)，可通過平面彎曲的變形情況直接判斷，如圖12.2(b)所示，拉應(yīng)力取正號(hào)，壓應(yīng)力取負(fù)號(hào)。圖12.2因?yàn)橹行暂S上各點(diǎn)的正應(yīng)力都等于零，設(shè)在中性軸上任一點(diǎn)處的坐標(biāo)為y0和z0，將σ=0代入式(12.1)，有

σ=M(y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy)=0則

y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy=0上式稱為斜彎曲時(shí)中性軸方程式。12.2.3中性軸的位置從中可得到中性軸有如下特點(diǎn)：

(1)

中性軸是一條通過形心的斜直線。

(2)

力P穿過一、三象限時(shí)，中性軸穿過二、四象限。反之位置互換。

(3)

中性軸與z軸的夾角α(圖12.2(c))的正切為

tanα=｜y0/z0｜=Iz/Iytanφ從上式可知，中性軸的位置與外力的數(shù)值有關(guān)，只決定于荷載P與y軸的夾角φ及截面的形狀和尺寸。圖12.2進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，首先要確定危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的位置。危險(xiǎn)點(diǎn)在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處，對(duì)于工程上常用具有棱角的截面，危險(xiǎn)點(diǎn)一定在棱角上。圖12.2(a)所示的懸臂梁，固定端截面的彎矩值最大，為危險(xiǎn)截面，該截面上的B、C兩點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)，B點(diǎn)產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，C點(diǎn)產(chǎn)生最大壓應(yīng)力。若材料的抗拉和抗壓強(qiáng)度相等，則斜彎曲的強(qiáng)度條件為

σmax=Mzmax/Wz+Mymax/Wy≤［σ］12.2.4強(qiáng)度條件對(duì)于不同的截面形狀，Wz/Wy

的比值可按下述范圍選取：矩形截面：Wz/Wy=h/b=1.2～2；工字形截面：Wz/Wy=8～10；槽形截面：Wz/Wy=6～8?！纠?2.1】跨度l=4m的吊車梁，用32a號(hào)工字鋼制成，材料為A3鋼，許用應(yīng)力［σ］=160MPa。作用在梁上的集中力P=30kN，其作用線與橫截面鉛垂對(duì)稱軸的夾角φ=15°，如圖12.3所示。試校核吊車梁的強(qiáng)度。【解】(1)

荷載分解

將荷載P沿梁橫截面的y、z軸分解

Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kN

Pz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN(2)

內(nèi)力計(jì)算吊車荷載P位于梁的跨中時(shí)，吊車梁處于最不利的受力狀態(tài)，跨中截面的彎矩值最大，為危險(xiǎn)截面。

該截面上由Py在xOy平面內(nèi)產(chǎn)生的最大彎矩為

Mzmax=Pyl/4=29×4/4kN·m=29kN·m該截面上由Pz在xOz平面內(nèi)產(chǎn)生的最大彎矩為

Mymax=Pzl/4=7.76×4/4kN·m=7.76kN·m(3)

強(qiáng)度校核由型鋼表查得32a號(hào)工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wy和Wz分別為

Wy=70.8cm3=70.8×103mm3

Wz=692.2cm3=692.2×103mm3【例12.2】圖12.4所示矩形截面木檁條，兩端簡(jiǎn)支在屋架上，跨度l=4m。承受由屋面?zhèn)鱽淼呢Q向均布荷載q=2kN/m。屋面的傾角φ=20°，材料的許用應(yīng)力［σ］=10MPa。試選擇該檁條的截面尺寸。【解】(1)

荷載分解荷載q與y軸間的夾角φ=20°，將均布荷載q沿截面對(duì)稱軸y、z分解，得

qy=qcosφ=2cos20°kN/m

=1.88kN/m

qz=qsinφ=2sin20°kN/m

=0.68kN/m(2)

內(nèi)力計(jì)算

檁條在qy和qz單獨(dú)作用下，最大彎矩均發(fā)生在跨中截面，其值分別為

Mzmax=qyl2/8=1.88×42/8kN·m=3.76kN·m

Mymax=qzl2/8=0.68×42/8kN·m=1.36kN·m(3)

選擇截面尺寸

根據(jù)式(12.4)，檁條的強(qiáng)度條件為

Mzmax/Wz+Mymax/Wy≤［σ］上式中包含有Wz和Wy兩個(gè)未知數(shù)。現(xiàn)設(shè)Wz/Wy=h/b=1.5，代入上式，得

3.76×106/1.5Wy+1.36×106/Wy≤10

Wy≥387×103mm3由Wy=hb2/6=1.5b3/6≥387×103

解得b≥115.68mm為便于施工，取截面尺寸b=120mm，則

h=1.5b=1.5×120mm=180mm選用120mm×180mm的矩形截面。圖12.2圖12.3圖12.412.3偏心壓縮（拉伸）

圖12.5(a)所示的柱子，荷載P的作用線與柱的軸線不重合，稱為偏心力，其作用線與柱軸線間的距離e稱為偏心距。偏心力P通過截面一根形心主軸時(shí)，稱為單向偏心受壓。(1)

荷載簡(jiǎn)化和內(nèi)力計(jì)算

將偏心力P向截面形心平移，得到一個(gè)通過柱軸線的軸向壓力P和一個(gè)力偶矩m=Pe的力偶，如圖12.5(b)所示。橫截面m-n上的內(nèi)力為軸力N和彎矩Mz，其值為

N=P

Mz=Pe12.3.1單向偏心壓縮（拉伸）(2)

應(yīng)力計(jì)算對(duì)于該橫截面上任一點(diǎn)K(圖12.6)，由軸力N所引起的正應(yīng)力為

σ′=-N/A由彎矩Mz所引起的正應(yīng)力為

σ″=-Mzy/Iz

根據(jù)疊加原理，K點(diǎn)的總應(yīng)力為

σ=σ′+σ″=-N/A-Mzy/Iz(3)

強(qiáng)度條件

從圖12.6(a)中可知：最大壓應(yīng)力發(fā)生在截面與偏心力P較近的邊線n-n線上；最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面與偏心力P較遠(yuǎn)的邊線m-m線上。其值分別為

σmin=σymax=-P/A-Mz/Wz

σmax=σlmax=-P/A+Mz/Wz

截面上各點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)，所以單向偏心壓縮的強(qiáng)度條件為

σmin=σymax=｜-P/A-Mz/Wz｜≤［σy］

σmax=σlmax=-P/A+Mz/Wz≤［σl］(4)

討論

下面來討論當(dāng)偏心受壓柱是矩形截面時(shí)，截面邊緣線上的最大正應(yīng)力和偏心距e之間的關(guān)系。圖12.6(a)所示的偏心受壓柱，截面尺寸為b×h，A=bh，Wz=bh2/6，Mz=Pe，將各值代入得

σmax=-P/bh+Pe/bh2/6=-P/bh(1-6e/h)邊緣m-m上的正應(yīng)力σmax的正負(fù)號(hào)，由上式中(1-6e/h)的符號(hào)決定，可出現(xiàn)三種情況：

①當(dāng)6e/h<1，即e<h/6時(shí)，σmax為壓應(yīng)力。截面全部受壓，截面應(yīng)力分布如圖12.7(a)所示。

②

當(dāng)6e/h=1，即e=h/6時(shí)，σmax為零。截面全部受壓，而邊緣m-m上的正應(yīng)力恰好為零，截面應(yīng)力分布如圖12.7(b)所示。

③當(dāng)6e/h>1，即e>h/6時(shí)，σmax為拉應(yīng)力。截面部分受拉，部分受壓，應(yīng)力分布如圖12.7(c)所示。【例12.3】圖12.8所示矩形截面柱，屋架傳來的壓力P1=100kN，吊車梁傳來的壓力P2=50kN，P2的偏心距e=0.2m。已知截面寬b=200mm，試求：(1)若h=300mm，則柱截面中的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力各為多少?(2)欲使柱截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力，截面高度h應(yīng)為多少?在確定的h尺寸下，柱截面中的最大壓應(yīng)力為多少?【解】(1)

內(nèi)力計(jì)算將荷載向截面形心簡(jiǎn)化，柱的軸向壓力為

N=P1+P2=(100+50)kN=150kN截面的彎矩為

Mz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m(2)

計(jì)算σlmax和σymax由式(12.6)，得

σlmax=-P/A+Mz/Wz=(-2.5+3.33)MPa=0.83MPa

σymax=-P/A-Mz/Wz=(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa(3)

確定h和計(jì)算σymax

欲使截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力，應(yīng)滿足σlmax≤0，即

-P/A+Mz/Wz≤0

-150×103/200h+10×106/200h2/6≤0則h≥400mm取h=400mm當(dāng)h=400mm時(shí)，截面的最大壓應(yīng)力為

σymax=-P/A-Mz/Wz

=(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa對(duì)于工程中常見的另一類構(gòu)件，除受軸向荷載外，還有橫向荷載的作用，構(gòu)件產(chǎn)生彎曲與壓縮的組合變形?！纠?2.4】圖12.9(a)所示的懸臂式起重架，在橫梁的中點(diǎn)D作用集中力P=15.5kN，橫梁材料的許用應(yīng)力［σ］=170MPa。試按強(qiáng)度條件選擇橫梁工字鋼的型號(hào)(自重不考慮)?！窘狻?1)

計(jì)算橫梁的外力橫梁的受力圖如圖12.9(b)所示。為了計(jì)算方便，將拉桿BC的作用力NBC分解為Nx和Ny兩個(gè)分力。由平衡方程解得

Ry=Ny=P/2=7.75kN

Rx=Nx=Nycotα=7.75×3.4/1.5kN=17.57kN(2)

計(jì)算橫梁的內(nèi)力橫梁在Ry、P和Ny的作用下產(chǎn)生平面彎曲，橫梁中點(diǎn)截面D的彎矩最大，其值為

Mmax=Pl/4=15.5×3.4/4kN·m=13.18kN·m橫梁在Rx和Nx作用下產(chǎn)生軸向壓縮，各截面的軸力都相等，其值為

N=Rx=17.57kN(3)

選擇工字鋼型號(hào)

由式(12.7)，有

σymax=｜-N/A-Mmax/Wz｜≤［σ］由于式中A和Wz都是未知的，無法求解。因此，可先不考慮軸力N的影響，僅按彎曲強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號(hào)，再按照彎壓組合變形強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。由

σmax=Mmax/Wz≤［σ］得Wz≥Mmax/［σ］=77.5×103mm3=77.5cm3查型鋼表，選擇14號(hào)工字鋼，Wz=102cm3，A=21.5cm2。根據(jù)式(12.7)校核，有

σymax=｜-N/A-Mmax/Wz｜=137MPa<［σ］結(jié)果表明，強(qiáng)度足夠，橫梁選用14號(hào)工字鋼。若強(qiáng)度不夠，則還需重新選擇。圖12.5圖12.6圖12.6圖12.7圖12.8圖12.9當(dāng)偏心壓力P的作用線與柱軸線平行，但不通過橫截面任一形心主軸時(shí)，稱為雙向偏心壓縮。

如圖12.10(a)所示，偏心壓力P至z軸的偏心距為ey，至y軸的偏心距為ez。12.3.2雙向偏心壓縮（拉伸）

(1)

荷載簡(jiǎn)化和內(nèi)力計(jì)算將壓力P向截面的形心O簡(jiǎn)化，得到一個(gè)軸向壓力P和兩個(gè)附加力偶矩mz、my(圖12.10(b))，其中

mz=Pey，my=Pez

可見，雙向偏心壓縮就是軸向壓縮和兩個(gè)相互垂直的平面彎曲的組合。由截面法可求得任一截面ABCD上的內(nèi)力為

N=P，Mz=Pey，My=Pez

(2)

應(yīng)力計(jì)算

對(duì)于該截面上任一點(diǎn)K(圖12.10(c))，由軸力N所引起的正應(yīng)力為

σ′=-N/