工程力學(xué)之動(dòng)量原理

動(dòng)量原理動(dòng)量原理動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理剛體基本運(yùn)動(dòng)形式動(dòng)量和動(dòng)量矩定理則是描述這兩種運(yùn)動(dòng)形式的動(dòng)力學(xué)基本物理量。平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)

動(dòng)量定理：闡述的是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化與外力系沖量之間的關(guān)系，它的另一種重要形式——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理則是用來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與外力系主矢之間的關(guān)系。

動(dòng)量矩定理：建立起質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)動(dòng)量矩的變化與外力系對(duì)該點(diǎn)主矩之間的關(guān)系，用它可方便的研究質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于空間固定點(diǎn)或質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。

※22.1動(dòng)量※22.2沖量※22.3動(dòng)量定理※22.4質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理例題1

第二十二章達(dá)朗伯原理※22.8剛體一般運(yùn)動(dòng)方程※22.6動(dòng)量矩定理※22.5動(dòng)量矩例題2例題3、4、5、

6、7、81質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量:質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積，用表示，即22.1動(dòng)量它用來(lái)表示質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種物理量，矢量，其方向與速度方向一致。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)之間存在力的相互作用時(shí).動(dòng)量可用來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)之間機(jī)械運(yùn)動(dòng)的傳遞關(guān)系2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量:質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和將質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的矢徑公式若質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于空間某一固定點(diǎn)o的矢徑為它的質(zhì)量為,速度為,則其動(dòng)量為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于想象地將質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量都集中于質(zhì)心時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量是表示其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特征量。表明兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)可得將它代入得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的簡(jiǎn)潔表達(dá)式

由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理的定義知，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量符合疊加原理.

因此，當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系由個(gè)剛體組成時(shí)，其動(dòng)量可寫(xiě)成式中分別為第個(gè)剛體的質(zhì)量和質(zhì)心的速度。

例22.1圖示各均質(zhì)物體重量為Q,物體尺寸與質(zhì)心速度或繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度如圖所示.試計(jì)算各物體對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩.解:由于桿繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng),根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩公式,有而L故2，由于圓盤(pán)繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng),仿上可有而

所以

R３，由于圓盤(pán)繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng),故有將之值代入(1)式中（１）則C4.由于圓盤(pán)繞瞬時(shí)中心O轉(zhuǎn)動(dòng),其對(duì)轉(zhuǎn)軸O之動(dòng)量矩為根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理,得所以

（2）但因O軸瞬時(shí)中心,故

（3）RC將(3)式代入(2)中,得力的沖量:用來(lái)度量在一段時(shí)間內(nèi)的積累的效果通常定義為任意力在微小時(shí)間間隔內(nèi)的元沖量

22.2沖量將定義為力在時(shí)間間隔內(nèi)的沖量，并用表示，力系的沖量：將作用于質(zhì)點(diǎn)上各力的沖量的矢量和定義為力系的沖量。即力系的沖量為交換求和與積分的順序，并將力系的主矢代入得表明力系的沖量等于力系的主矢在同一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的沖量。由于內(nèi)力系和力偶系的主矢都為零，故這兩種力系的沖量也都為零。22.3動(dòng)量定理1) 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理的微分形式：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量不變時(shí)，牛頓第二定律可寫(xiě)為22.3.1動(dòng)量定理它又可以寫(xiě)為即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的微分等于作用于其上的合力的元沖量，稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式。2)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理的積分形式：

將式在時(shí)間至積分并將代入可得即質(zhì)點(diǎn)在至?xí)r間間隔內(nèi)動(dòng)量等于作用于其上的合力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量，稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式。22.3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)上質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力的合力分別為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量的微分等于作用于其上的外力系的主矢的元沖量，稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式表明根據(jù)將它們求矢量和，再交換求和與求微分的次序，并將式和代入得表明2）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式將上式在時(shí)間至內(nèi)積分得質(zhì)點(diǎn)系在至?xí)r間間隔內(nèi)動(dòng)量的改變量等于作用于其上的外力系的主矢在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量，稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式。PS盡管質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是它能夠引起質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的相互改變.

動(dòng)能定理的表達(dá)式都是矢量式.

它們可以向固連于慣性參考系的直角坐標(biāo)軸投影,得到相應(yīng)的投影式.22.3.3質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能守恒定律若質(zhì)點(diǎn)系的外力系的主矢則由式可得，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量K=常矢量;

若質(zhì)點(diǎn)系的外力系的主矢在某一個(gè)固連于慣性參考空間的直角坐標(biāo)軸，如軸上的投影,則由得質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該軸上的投影=常數(shù)這就稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律。表明對(duì)于不變質(zhì)點(diǎn)系，則M=常數(shù)。此時(shí)上式兩邊同除得質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積等于作用與其上外力系的主矢，稱為質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)定理。

22.4質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理22.4.1質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量表達(dá)式代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理得微分形式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理其實(shí)質(zhì)只能描述其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，且與這樣的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相同，該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，并受到一個(gè)大小和方向與該質(zhì)點(diǎn)系的外力系的主矢相同的力的作用。質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的這種運(yùn)動(dòng)不僅與質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力無(wú)關(guān)，而且與作用在其上個(gè)外力的作用點(diǎn)位置也無(wú)關(guān)。注意式中分別為第i個(gè)剛體的質(zhì)量和其質(zhì)心的加速度。若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)剛體組成，則由式或質(zhì)心矢徑公式知，其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可表示為設(shè)系統(tǒng)中各剛體的質(zhì)心在同一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的有限位移，則由上式及系統(tǒng)的質(zhì)心矢徑公式可得當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)剛體組成時(shí),若作用在其上的外力系主矢,且初始時(shí),系統(tǒng)的質(zhì)心速度為零，則根據(jù)式知,系統(tǒng)的質(zhì)心相對(duì)于某固定點(diǎn)O的矢徑

=常矢量22.4.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律于是有易知系統(tǒng)得質(zhì)心在該軸上的坐標(biāo)值若外力系的主矢在固連于慣性參考空間的直角坐標(biāo)軸，如軸上的投影,且初始時(shí)系統(tǒng)得質(zhì)心速度在該軸上的投影等于零，則由式在該軸上的投影式=常數(shù)于是有這個(gè)結(jié)論就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的守恒定律現(xiàn)假設(shè)各剛體對(duì)該軸得坐標(biāo)值同時(shí)產(chǎn)生有限改變量，則由上式及系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)公式可得把質(zhì)點(diǎn)D在某瞬時(shí)相對(duì)于空間某一固定點(diǎn)的矢徑與其動(dòng)量的叉積定義為該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)D的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩，記作22.5動(dòng)量矩22..5.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩若在O點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則式中i,j,k,分別為軸正向的單位矢量為點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為沿軸的投影。與定義力對(duì)軸的矩類(lèi)似，可定義動(dòng)量對(duì)軸的矩，又稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩，并且相應(yīng)的有以下結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定軸的動(dòng)量矩等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸上任意一點(diǎn)A的動(dòng)量矩在該軸上的投影。即式中為軸正向的單位矢量。

質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩式一個(gè)定位矢量而質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩是一個(gè)代數(shù)量

注意22.5.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

1）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某個(gè)固定點(diǎn)、某固定軸的動(dòng)量矩。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于某一固定點(diǎn)O的矢徑為，動(dòng)量為。將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)o得動(dòng)量矩的矢量和定義為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩。用表示，即

與力系對(duì)不同兩點(diǎn)的主矩關(guān)系類(lèi)似，質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同的兩固定點(diǎn)O,A得動(dòng)量矩的關(guān)系為將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定軸的動(dòng)量矩的代數(shù)和為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩用表示(式中為系統(tǒng)的動(dòng)量)即:BAO

例22.2圖示無(wú)重細(xì)桿長(zhǎng)為L(zhǎng),兩端各固連一個(gè)質(zhì)量為m的小球A和B,在桿的中點(diǎn)O受固定鉸支座約束;桿的角速度為,轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針,求系統(tǒng)對(duì)O的動(dòng)量矩.解:的大小為

的方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲?）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩設(shè)在慣性參考系中有任意一動(dòng)點(diǎn)A，其速度為現(xiàn)以A為原點(diǎn)建立平動(dòng)直角坐標(biāo)系設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于A的矢徑為相對(duì)于平動(dòng)直角坐標(biāo)系的相對(duì)速度為將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)量對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的矩的矢量和定義為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)量矩，用表示，質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度為則由復(fù)合運(yùn)動(dòng)的知識(shí)知，即將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)量對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的矩的矢量和定義為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的相對(duì)動(dòng)量矩用表示即將代入并由可得

這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)動(dòng)量矩的關(guān)系式當(dāng)A取質(zhì)心時(shí)

質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C相對(duì)于A的矢徑公式質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的絕對(duì)動(dòng)量矩與相對(duì)動(dòng)量矩相等22.5.3剛體的動(dòng)量矩(1)平動(dòng)剛體:

平動(dòng)剛體對(duì)任意固定點(diǎn)A的動(dòng)量矩為將平動(dòng)剛體的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時(shí)對(duì)A的動(dòng)量矩(2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體:

根據(jù)代入各相關(guān)式子所得,結(jié)果說(shuō)明定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸上任意一點(diǎn)的動(dòng)量矩方向一般不沿轉(zhuǎn)軸(3)一般平面運(yùn)動(dòng)剛體:

22.6動(dòng)量矩定理

22.6.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)D對(duì)固定點(diǎn)O的矢徑r,作用在其上的合力為F,將該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得因則由牛頓第二定律知故右端第二項(xiàng)為合力F對(duì)O點(diǎn)的矩.質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間得一階導(dǎo)數(shù)等于作用在其上的合力對(duì)同一點(diǎn)的矩,稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理.表明于是22.6.2質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理1)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理即知,質(zhì)點(diǎn)系中有表明對(duì)各質(zhì)點(diǎn)求和,交換求和與求導(dǎo)的關(guān)系

內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn),它們對(duì)同一點(diǎn)的動(dòng)量矩的矢量和為零即得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定點(diǎn)得動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在其上外力系對(duì)同一點(diǎn)的主矩,稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)得動(dòng)量矩定理.

例22.3圖示均質(zhì)圓輪A和B的質(zhì)量均為m,半徑都為r在輪A上作用一力偶矩為的主動(dòng)力偶并通過(guò)不可伸長(zhǎng)的,質(zhì)量可不計(jì)的柔繩帶動(dòng)輪B在與水平段繩平行的水平地面上作純滾動(dòng),繩與輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng).試求圓輪B中心的加速度及圓輪B與地面間的摩擦力.BA解：即需求加速度，又要求約束反力的問(wèn)題，受力分析很關(guān)鍵，純滾動(dòng)的摩擦力屬靜摩擦力，其方向依賴于主動(dòng)力，一般可先假定其指向。動(dòng)量矩定理經(jīng)常與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理聯(lián)合使用。若列寫(xiě)的獨(dú)立動(dòng)力學(xué)方程個(gè)數(shù)比其中未知量個(gè)數(shù)少，則一般可補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系是方程封閉。其具體解題過(guò)程為：1，取圓輪B為研究對(duì)象，其受力分析如圖Nmg由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得到由對(duì)定點(diǎn)A的動(dòng)量矩定理由知得到于是化為2，取圓輪A為研究對(duì)象,其受力分析如圖。Amg由對(duì)定點(diǎn)A的動(dòng)量矩定理3，以上方程含有5個(gè)未知量，補(bǔ)充以下兩個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系4，聯(lián)立以上幾個(gè)方程，可以得PS2)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理A的主矩外力系對(duì)動(dòng)點(diǎn)A為移動(dòng)點(diǎn),C為剛體的質(zhì)心這就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式.對(duì)于動(dòng)點(diǎn)A,一般不成立.但是有三種例外.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)其質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上外力系對(duì)質(zhì)心的主矩,稱為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理.這說(shuō)明(1)動(dòng)點(diǎn)A就取質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心,因變?yōu)?2)當(dāng)時(shí)變?yōu)?/p>

此時(shí)=常矢量,即平動(dòng)坐標(biāo)系也是一個(gè)慣性參考系這說(shuō)明(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A取為剛體的速度瞬心P的時(shí)候,將兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù),并將代入得得剛體對(duì)其速度瞬心得動(dòng)量矩定理,其形式與剛體對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理相同.將代入注意

(1)若利用動(dòng)量矩定理來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,一般是對(duì)定點(diǎn)或質(zhì)心來(lái)列寫(xiě)動(dòng)量矩方程,這樣比較方便.(2)在動(dòng)力學(xué)中,必須將剛體運(yùn)動(dòng)和它所受的力聯(lián)系起來(lái).考慮到質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可將剛體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與外力聯(lián)系起來(lái),相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理又可將質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)和外力系對(duì)質(zhì)心的主矩聯(lián)系起來(lái).

因此在動(dòng)力學(xué)中,將一般平面運(yùn)動(dòng)的剛體的基點(diǎn)選在質(zhì)心上是方便的.剛體運(yùn)動(dòng)所受的力質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)外力質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)外力系對(duì)質(zhì)心的主矩相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理圖示例22.4圖示均質(zhì)細(xì)桿AB質(zhì)量為m,長(zhǎng)為L(zhǎng),其B端面與光滑水平面接觸,初始時(shí)桿與前垂線的夾角為.試求桿無(wú)初速度釋放的瞬間,水平面對(duì)桿的約束反力.xyCBoA

解:(1)對(duì)桿進(jìn)行受力分析如圖(2)建立圖示直角坐標(biāo)系用,且初始時(shí),則

,即質(zhì)心沿鉛垂線運(yùn)動(dòng),于是

(1)

對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù),將初瞬時(shí),代入得(2)(3)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(4)由對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

(5)聯(lián)立(2)(3)(4)解得(4)(3)轉(zhuǎn)向如圖所示4.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律作用于其上的外力系對(duì)O點(diǎn)的主矩為零,即,質(zhì)點(diǎn)系得動(dòng)量矩守恒定律作用于其上的外力系對(duì)某一固定直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸的矩為零,即,xyCBOA規(guī)定轉(zhuǎn)角順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?2.5圓柱體的質(zhì)量是,在其中部繞以細(xì)繩,繩的一端固定不動(dòng).圓柱體解開(kāi)繩子而下墜,其初速度為零.求當(dāng)圓柱體的軸降落了高度時(shí),這軸的速度和繩子的張力.解:

研究圓柱體.在當(dāng)解開(kāi)繩子它下落時(shí),作平面運(yùn)動(dòng).其上作用有繩子的張力和重力

AhB以圓柱體重心下落的起始位置為原點(diǎn),選靜止坐標(biāo)系如圖.由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程,可有

(1)(2)

因點(diǎn)為瞬心,故將此值代入(1)式中,得所以

(3)將(3)式代入(2)中,則或

由此得到根據(jù)初始條件,當(dāng)時(shí)

因之

所以(5)

再將(5)式進(jìn)行積分,并考慮到將(6)式得入(5)中,即得圓柱體的軸下落時(shí)的速度為繩子的張力為

有

故

(6)

2.這里考慮到圓柱體沿繩滾而不滑的運(yùn)動(dòng)條件，建立了補(bǔ)充方程

1.在解平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，質(zhì)心加速度的正向與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度的正向，必須規(guī)定一致，否則出現(xiàn)正負(fù)號(hào)上的麻煩。

小結(jié)

例22.6位于鉛垂平面的均質(zhì)桿AB和BD,長(zhǎng)度均為L(zhǎng)重量都是P.桿AB的A端預(yù)固定絞支座連接.B端與桿BD鉸連.桿BD的D端與可沿鉛垂滑槽滑動(dòng)的滑塊D絞接.今用一細(xì)繩將B點(diǎn)拉住,使桿AB和BD位于同一直線上,該直線與水平面間的夾角為,系統(tǒng)保持平衡,如圖各處摩擦和滑塊D的質(zhì)量與大小略去不計(jì)。試求（1）剪斷繩子瞬時(shí),滑槽相對(duì)于滑塊

D的反力（2）桿AB運(yùn)動(dòng)至水平位置時(shí),桿AB

的角速度解

1)求剪斷繩子后滑槽對(duì)滑塊D的反力設(shè)AB桿有瞬鐘向角加速度，BD桿有逆鐘向角加速度由于初瞬時(shí)兩桿角速度和均等于零，所以BD桿作平面運(yùn)動(dòng)，以B點(diǎn)為基點(diǎn)分析D點(diǎn)的加速度。其中DBA將上式分別沿DB和垂直于DB方向投影，可得求得即D點(diǎn)為該瞬時(shí)加速度瞬心所以BD桿質(zhì)心C的加速度ABDBDCP取BD為研究對(duì)象，受力如圖。BD桿作平面運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有取AB為研究對(duì)象，受力如圖。AB桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有考慮到由以上幾式解得剪斷繩子瞬時(shí)時(shí)，AB桿和BD桿的角加速度以及滑塊D處反力分別為BAP2）求桿AB運(yùn)動(dòng)至水平位置時(shí)的角速度取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，利用動(dòng)能定理求解。因?yàn)橄到y(tǒng)在初瞬時(shí)，AB桿與BD桿的角速度均為零，且BD桿的質(zhì)心速度也為零。而當(dāng)AB桿運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)，若設(shè)AB桿的角速度為，此時(shí)BD桿為瞬時(shí)平動(dòng)。所以系統(tǒng)在這一過(guò)程的初動(dòng)能和末動(dòng)能為系統(tǒng)在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中重力所作的功根據(jù)動(dòng)能定理有解得桿AB運(yùn)動(dòng)至水平位置時(shí)，桿AB角速度順鐘向CBAa

例22.7兩根均質(zhì)桿AD,BD質(zhì)量都是M,長(zhǎng)度都為L(zhǎng)用光滑的鉸鏈D連接并放在光滑水平面上，如圖所示。開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)靜止于鉛直面內(nèi)，且桿對(duì)水平面的傾角是。求兩桿運(yùn)動(dòng)到與水平面成傾角時(shí)鉸銷(xiāo)D的速度和加速度，并求水平面的支反力。DAB解：系統(tǒng)由于質(zhì)量分布和受力對(duì)稱，以及所給的初始條件，將保留在原鉛直平面內(nèi)它的位置用角確定。

取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。應(yīng)用動(dòng)能定理的積分形式求速度，用動(dòng)量定理或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求反力。yxDOAB(1)求速度和加速度由于對(duì)稱，在系統(tǒng)的鉛垂平面內(nèi)取固定坐標(biāo)系Oxy，在系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，系統(tǒng)的初速度等于零，因此系統(tǒng)的質(zhì)心C在水平方向的位置守恒，即C將沿鉛垂線下降因而鉸銷(xiāo)D也沿鉛垂線下降。同時(shí)桿端A,B只能沿著x軸按反方向分開(kāi)。所以兩