工程數(shù)學(同名11658)

PAGEPAGE1《工程數(shù)學》1．設都是n階方陣，則下列命題正確的是(A)．A．2．向量組的秩是（B）．B.33．元線性方程組有解的充分必要條件是（A）．A.4.袋中有3個紅球，2個白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是（D）．D.9/255．設是來自正態(tài)總體的樣本，則（C）是無偏估計．C.6．若是對稱矩陣，則等式（B）成立．B.7．（D）．D.8．若（A）成立，則元線性方程組有唯一解．A.9.若條件（C）成立，則隨機事件，互為對立事件．C.且10．對來自正態(tài)總體（未知）的一個樣本，記，則下列各式中（C）不是統(tǒng)計量．C.11.設為矩陣，為矩陣，當為（B）矩陣時，乘積有意義．B.12.向量組的極大線性無關組是（A）．A．13.若線性方程組的增廣矩陣為，則當＝（D）時線性方程組有無窮多解．D．1/214.擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和為4”的概率是（C）.C.1/1215.在對單正態(tài)總體的假設檢驗問題中，檢驗法解決的問題是（B）．B.未知方差，檢驗均值16.若都是n階矩陣，則等式（B）成立．B.17.向量組的秩是（C）．C.318.設線性方程組有惟一解，則相應的齊次方程組（A）．A.只有0解19.設為隨機事件，下列等式成立的是（D）．D.1．設為三階可逆矩陣，且，則下式(B)成立．B．2．下列命題正確的是（C）．C．向量組,,O的秩至多是3．設，那么A的特征值是(D)D．-4，64．矩陣A適合條件（D）時，它的秩為r．D．A中線性無關的列有且最多達r列5．下列命題中不正確的是（D）．D．A的特征向量的線性組合仍為A的特征向量6.擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和為3”的概率是（B）．B．1/17．若事件與互斥，則下列等式中正確的是．A．8.若事件A，B滿足，則A與B一定（A）．A．不互斥9．設,是兩個相互獨立的事件，已知則（B）B．2/310．設是來自正態(tài)總體的樣本，則（B）是統(tǒng)計量．B．1.若，則（A）．A.32.已知2維向量組，則至多是（B）．B23.設為階矩陣，則下列等式成立的是（C）．C.4.若滿足（B），則與是相互獨立．B.5.若隨機變量的期望和方差分別為和，則等式（D）成立．D.1．設均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是()．A．2．方程組相容的充分必要條件是()，其中，．B．3．設矩陣的特征值為0，2，則3A的特征值為()．B．0，64.設A，B是兩事件，其中A，B互不相容，則下列等式中（）是不正確的．C.5．若隨機變量X與Y相互獨立，則方差=（）．D．6．設A是矩陣，是矩陣，且有意義，則是(B．)矩陣．7．若X1、X2是線性方程組AX=B的解，而是方程組AX=O的解，則（）是AX=B的解．A．8．設矩陣，則A的對應于特征值的一個特征向量=()C．1，1,09.下列事件運算關系正確的是（）．A．10．若隨機變量，則隨機變量（N2.,3））．D．11．設是來自正態(tài)總體的樣本，則（）是的無偏估計．C．12．對給定的正態(tài)總體的一個樣本，未知，求的置信區(qū)間，選用的樣本函數(shù)服從（）．B．t分布⒈設，則（D）．D.－6⒉若，則（A）．A.1/2⒊乘積矩陣中元素C.10⒋設均為階可逆矩陣，則下列運算關系正確的是（B）．B.⒌設均為階方陣，且，則下列等式正確的是（D）．D.⒍下列結論正確的是（A）．A.若是正交矩陣，則也是正交矩陣⒎矩陣的伴隨矩陣為（）．C.⒏方陣可逆的充分必要條件是（B）．B.⒐設均為階可逆矩陣，則（D）．D.⒑設均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是A.⒈用消元法得的解為（C）．C.⒉線性方程組（B）．B.有唯一解⒊向量組的秩為（A）．A.3⒋設向量組為，則（B）是極大無關組．B.⒌與分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則（D）．D.秩秩⒍若某個線性方程組相應的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A）．可能無解⒎以下結論正確的是（D）．D.齊次線性方程組一定有解⒏若向量組線性相關，則向量組內（A）可被該向量組內其余向量線性表出．A.至少有一個向量9．設A，Ｂ為階矩陣，既是Ａ又是Ｂ的特征值，既是Ａ又是Ｂ的屬于的特征向量，則結論（）成立．Ｄ．是A+B的屬于的特征向量10．設Ａ，Ｂ，Ｐ為階矩陣，若等式（Ｃ）成立，則稱Ａ和Ｂ相似．Ｃ．⒈為兩個事件，則（B）成立．B.⒉如果（C）成立，則事件與互為對立事件．C.且⒊10張獎券中含有3張中獎的獎券，每人購買1張，則前3個購買者中恰有1人中獎的概率為（D）．D.4.對于事件，命題（C）是正確的．C.如果對立，則對立⒌某隨機試驗的成功率為,則在3次重復試驗中至少失敗1次的概率為（D）．D.6.設隨機變量，且，則參數(shù)與分別是（A）．A.6,0.87.設為連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)，則對任意的，（A）．A.8.在下列函數(shù)中可以作為分布密度函數(shù)的是（B）．B.9.設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為，分布函數(shù)為，則對任意的區(qū)間，則（D）．D.10.設為隨機變量，，當（C）時，有．C.⒈設是來自正態(tài)總體（均未知）的樣本，則（A）是統(tǒng)計量．A.⒉設是來自正態(tài)總體（均未知）的樣本，則統(tǒng)計量（D）不是的無偏估計D.二、填空題（每小題3分，共15分）1．設均為3階方陣，，則-18．2．設為n階方陣，若存在數(shù)和非零n維向量，使得，則稱為的特征值．3設隨機變量，則a=0.3．4．設為隨機變量，已知，此時27．5．設是未知參數(shù)的一個無偏估計量，則有．6．設均為3階方陣，，則8．7．設為n階方陣，若存在數(shù)和非零n維向量，使得，則稱為相應于特征值的特征向量．8．若，則0.3．9．如果隨機變量的期望，，那么20．10．不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量．11.設均為3階矩陣，且，則-8．12.設，．213.設是三個事件，那么發(fā)生，但至少有一個不發(fā)生的事件表示為.⒏若為正交矩陣，則0．⒐矩陣的秩為2．⒑設是兩個可逆矩陣，則．⒈當1時，齊次線性方程組有非零解．⒉向量組線性相關．⒊向量組的秩３．⒋設齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則這個方程組有無窮多解，且系數(shù)列向量是線性相關的．⒌向量組的極大線性無關組是．⒍向量組的秩與矩陣的秩相同．⒎設線性方程組中有5個未知量，且秩，則其基礎解系中線性無關的解向量有2個．⒏設線性方程組有解，是它的一個特解，且的基礎解系為，則的通解為．9．若是Ａ的特征值，則是方程的根．10．若矩陣Ａ滿足，則稱Ａ為正交矩陣．⒈從數(shù)字1,2,3,4,5中任取3個，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為2/5．2.已知，則當事件互不相容時，0.8，0.3．3.為兩個事件，且，則．4.已知，則．5.若事件相互獨立，且，則．6.已知，則當事件相互獨立時，0.65，0.3．7.設隨機變量，則的分布函數(shù)．8.若，則6．9.若，則．10.稱為二維隨機變量的協(xié)方差．1．統(tǒng)計量就是不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)．2．參數(shù)估計的兩種方法是點估計和區(qū)間估計．常用的參數(shù)點估計有矩估計法和最大似然估兩種方法．3．比較估計量好壞的兩個重要標準是無偏性，有效性．4．設是來自正態(tài)總體（已知）的樣本值，按給定的顯著性水平檢驗，需選取統(tǒng)計量．5．假設檢驗中的顯著性水平為事件（u為臨界值）發(fā)生的概率．三、（每小題16分，共64分）A1．設矩陣，且有，求．解：利用初等行變換得即由矩陣乘法和轉置運算得2.設矩陣，求．解：利用初等行變換得即由矩陣乘法得3.已知，其中，求．解：利用初等行變換得即由矩陣乘法運算得4.設矩陣，是3階單位矩陣，且有，求．1.解：由矩陣減法運算得利用初等行變換得即由矩陣乘法運算得5．設矩陣，求（1）；（2）．（1）=（2）因為=所以=．6．設矩陣，解矩陣方程．解：因為，得所以．7設矩陣，求（1），（2）．解1）（2）利用初等行變換得即89．設矩陣，求：（1）；（2）．解：（1）因為所以．（2）因為所以．10．已知矩陣方程，其中，，求．解：因為，且即所以11．設向量組，，，，求這個向量組的秩以及它的一個極大線性無關組．解：因為（）=所以，r()=3．它的一個極大線性無關組是（或）．1⒉設，求．解：13寫出4階行列式中元素的代數(shù)余子式，并求其值．：14求矩陣的秩．解15．用消元法解線性方程組方程組解為A2．求線性方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形方程組的一般解為（其中為自由未知量）令=0，得到方程的一個特解.方程組相應的齊方程的一般解為（其中為自由未知量）令=1，得到方程的一個基礎解系.于是，方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）2.當取何值時，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此可知當時，方程組無解。當時，方程組有解?！?分此時齊次方程組化為分別令及，得齊次方程組的一個基礎解系令，得非齊次方程組的一個特解由此得原方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）……16分3.求線性方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形方程組的一般解為（其中為自由未知量）令=0，得到方程的一個特解.方程組相應的齊次方程的一般解為（其中為自由未知量）令=1，得到方程的一個基礎解系.于是，方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）4.求線性方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形此時相應齊次方程組的一般解為是自由未知量令，得齊次方程組的一個基礎解系令，得非齊次方程組的一個特解由此得原方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）5．設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換，得求此齊次線性方程組的一個基礎解系和通解．因為得一般解：（其是自由元）令，得；令，得．所以，是方程組的一個基礎解系．方程組的通解為：，其中是任意常數(shù)．6．設齊次線性方程組，為何值時方程組有非零解？在有非零解時，解：因為A=時，，所以方程組有非零解．方程組的一般解為：，其中為自由元．令=1得X1=，則方程組的基礎解系為{X1}．通解為k1X1，其中k1為任意常數(shù)．求出通解．7.當取何值時，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此可知當時，方程組無解。當時，方程組有解?！?分此時相應齊次方程組的一般解為是自由未知量）分別令及，得齊次方程組的一個基礎解系令，得非齊次方程組的一個特解由此得原方程組的全部解為8.k為何值時，線性方程組．9．求齊次線性方程組的通解．解：A=一般解為，其中x2，x4是自由元令x2=1，x4=0，得X1=；x2=0，x4=3，得X2=所以原方程組的一個基礎解系為{X1，X2}．原方程組的通解為：，其中k1，k2是任意常數(shù)．10．設有線性方程組 為何值時，方程組有唯一解?或有無窮多解?解：］ 當且時，，方程組有唯一解當時，，方程組有無窮多解11．判斷向量能否由向量組線性表出，若能，寫出一種表出方式．其中解：向量能否由向量組線性表出，當且僅當方程組有解這里 方程組無解 不能由向量線性表出12．計算下列向量組的秩，并且（1）判斷該向量組是否線性相關解：該向量組線性相關13．求齊次線性方程組的一個基礎解系．解： 方程組的一般解為令，得基礎解系14．求下列線性方程組的全部解．解：方程組一般解為令，，這里，為任意常數(shù)，得方程組通解A3．設，試求:(1)；(2)．（已知）解：1(22.設，試求：(1)；(2)（已知）解：(1)(23..設，求和.（其中,）解：設==4.設，試求⑴；⑵．（已知）解：⑵5．某射手射擊一次命中靶心的概率是0.8，該射手連續(xù)射擊5次，求：（1）命中靶心的概率；（2）至少4次命中靶心的概率．解：射手連續(xù)射擊5次，命中靶心的次數(shù)（1）設：“命中靶心”，則．（2）設：“至少4次命中靶心”，則．6．設是兩個隨機事件，已知，，，求：（1）；（2）．解（1）===（27．設隨機變量X的密度函數(shù)為，求：(1)k；(2)E(X)，D(X)．解：（1）因為1====3k，所以k=(2)E(X)===E()==D(X)=E()-=8．設隨機變量X~N（8，4）．求和．(，，)．解：因為X~N（8，4），則~N（0，1）．所以======0.383．==.9.設，試求⑴；⑵．（已知）解：⑴⑵‘10.假設A,B為兩件事件，己知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|)=0.4,求P(A+B)解：P()=P()P(B|)=0.50.4=0.2．P(AB)=P(B)－P(B)=0.6－0.2=0.4P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.7。11．設隨機變量．（1）求；（2）若，求k的值．（已知）．解：（1）＝1－=1－＝1－（）=2（1－）＝0.045．（2）＝1－＝1－即k－4=-1.5，k＝2.5．12．罐中有12顆圍棋子，其中8顆白子，4顆黑子．若從中任取3顆，求：（1）取到3顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（2）取到3顆棋子顏色相同的概率．解：設=“取到3顆棋子中至少有一顆黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B=“取到3顆棋子顏色相同”，則（1）．（2）．13．設隨機變量X~N（3，4）．求：（1）P（1<X<7）；（2）使P（X<a）=0.9成立的常數(shù)a．(，，)．解：（1）P（1<X<7）====0.9973+0.8413–1=0.8386（2）因為P（X<a）===0.9所以，a=3+=5.5614．從正態(tài)總體N（，9）中抽取容量為64的樣本，計算樣本均值得=21，求的置信度為95%的置信區(qū)間．(已知)解：已知，n=64，且~因為=21，，且所以，置信度為95%的的置信區(qū)間為：．15.設為三個事件，試用的運算分別表示下列事件：⑴中至少有一個發(fā)生；⑵中只有一個發(fā)生；⑶中至多有一個發(fā)生；⑷中至少有兩個發(fā)生；⑸中不多于兩個發(fā)生；⑹中只有發(fā)生．解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)16.袋中有3個紅球，2個白球，現(xiàn)從中隨機抽取2個球，求下列事件的概率：⑴2球恰好同色；⑵2球中至少有1紅球．解:設=“2球恰好同色”，=“2球中至少有1紅球”17.加工某種零件需要兩道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品則此零件為次品；如果第一道工序出正品，則由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出來的零件是正品的概率．解：設“第i道工序出正品”（i=1,2）18.市場供應的熱水瓶中，甲廠產品占50%，乙廠產品占30%，丙廠產品占20%，甲、乙、丙廠產品的合格率分別為90%,85%,80%，求買到一個熱水瓶是合格品的概率．解：設19.某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止．已知他每發(fā)命中的概率是，求所需設計次數(shù)的概率分布．解：……故X的概率分布是20設隨機變量的概率分布為試求．解：21.設隨機變量具有概率密度試求．解：22.設，求．解：23.設，計算⑴；⑵．解：24.設是獨立同分布的隨機變量，已知，設，求．解：A4．據(jù)資料分析，某廠生產的一批磚，其抗斷強度，今從這批磚中隨機地抽取了9塊，測得抗斷強度（單位：kg／cm2）的平均值為31.12，問這批磚的抗斷強度是否合格（）．解：零假設．由于已知，故選取樣本函數(shù)已知，經(jīng)計算得，由已知條件，故拒絕零假設，即這批磚的抗斷強度不合格。2某車間生產滾珠，已知滾珠直徑服從正態(tài)分布．今從一批產品里隨機取出9個，測得直徑平均值為15.1mm，若已知這批滾珠直徑的方差為，試找出滾珠直徑均值的置信度為0.95的置信區(qū)間．解：由于已知，故選取樣本函數(shù)…已知，經(jīng)計算得滾珠直徑均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為，又由已知條件，故此置信區(qū)間為3某一批零件重量，隨機抽取4個測得重量（單位：千克）為14.7,15.1,14.8,15.2可否認為這批零件的平均重量為15千克(已知)？解：零假設．由于已知，故選取樣本函數(shù)經(jīng)計算得，已知，故接受零假設，即可以認為這批零件的平均重量為15千克4某鋼廠生產了一批管材，每根標準直徑100mm，今對這批管材進行檢驗，隨機取出9根測得直徑的平均值為99.9mm，樣本標準差s=0.47，已知管材直徑服從正態(tài)分布，問這批管材的質量是否合格（檢驗顯著性水平，）解：零假設．由于未知，故選取樣本函數(shù)已知，經(jīng)計算得由已知條件，故接受零假設，即可以認為這批管材的質量是合格的。5.已知某種零件重量，采用新技術后，取了9個樣品，測得重量（單位：kg）的平均值為14.9，已知方差不變，問平均重量是否仍為15（）？解：零假設．由于已知，故選取樣本函數(shù)已知，經(jīng)計算得，由已知條件，故接受零假設，即零件平均重量仍為15．6．某切割機在正常工作時，切割的每段金屬棒長服從正態(tài)分布，且其平均長度為10.5cm，標準差為0.15cm.從一批產品中隨機地抽取4段進行測量，測得的結果如下：（單位：cm）10.4，10.6，10.1，10.4問：該機工作是否正常(,)？解：零假設.由于已知，故選取樣本函數(shù)～經(jīng)計算得，，由已知條件，且故接受零假設，即該機工作正常.7．設對總體得到一個容量為10的樣本值4.5,2.0,1.0,1.5,3.5,4.5,6.5,5.0,3.5,4.0試分別計算樣本均值和樣本方差．解：8．設總體的概率密度函數(shù)為試分別用矩估計法和最大似然估計法估計參數(shù)．解：提示教材第214頁例3矩估計：最大似然估計：9．測兩點之間的直線距離5次，測得距離的值為（單位：m）：108.5109.0110.0110.5112.0測量值可以認為是服從正態(tài)分布的，求與的估計值．并在⑴；⑵未知的情況下，分別求的置信度為0.95的置信區(qū)間．解：（1）當時，由1－α＝0.95，查表得：故所求置信區(qū)間為：（2）當未知時，用替代，查t(4,0.05)，得故所求置信區(qū)間為：10．設某產品的性能指標服從正態(tài)分布，從歷史資料已知，抽查10個樣品，求得均值為17，取顯著性水平，問原假設是否成立．解：，由，查表得：因為>1.96，所以拒絕11．某零件長度服從正態(tài)分布，過去的均值為20.0，現(xiàn)換了新材料，從產品中隨機抽取8個樣品，測得的長度為（單位：cm）：20.0,20.2,20.1,20.0,20.2,20.3,19.8,19.5問用新材料做的零件平均長度是否起了變化（）．解：由已知條件可求得：∵|T|<2.62∴接受H0即用新材料做的零件平均長度沒有變化。四、證明題（本題6分）1．設是階對稱矩陣，試證：也是對稱矩陣．證明：是同階矩陣，由矩陣的運算性質可知已知是對稱矩陣，故有，即由此可知也是對稱矩陣，證畢．2設