2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.下列各角中，與2023。角終邊相同的是()

A.-223oB.2230C.-1470D.147°

2.已知力=(一2,1),方=(3,2)，則。(五+石)=()

A.1B.2C.3D.4

3.在A4BC中，若48=3,BC=4,AC=5,則比.而=()

A.-16B.16C.9D.0

4.已知以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為始邊的角ɑ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,-2),則COS(兀+

α)=()

A.一"B.紅IC.D.∏

5555

5.若COS(B—$=?,則S仇2。=()

?-IB.YC--1D?I

6.已知函數(shù)/⑶=ASin(3x+,)(A>0,3>0,Iwl<方的圖象如圖所示，則/(0)=()

A.?B.孕C.√-3D.0

7.已知點(diǎn)。是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若非零向量而與向量(市矗i+市盤目共線，則()

A.?OAB=?OACB.OA+OB+OC=0

C.?OB?=?OC?D.AO-BC=0

8.已知函數(shù)f(x)=，?SinX-COSX的定義域?yàn)閇α,b],值域?yàn)閇—1,2],則b—α的取值范圍是

()

A.ζ,π]B.[≡,?]C.生等D.母,爭(zhēng)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列四個(gè)式子中，計(jì)算正確的是()

A.CoSG+1)=sinlB.sin(ττ÷2)=-sin2

C.=√-3D.sin640cosl90-cos64°sinl9°=?

10.將函數(shù)f(x)=COSX的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象

向左平移金個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g(χ)的圖象，則()

A.g(^)=?B.g(κ)的最小正周期為兀

C.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)6,0)對(duì)稱D?g(x)在［0,，上單調(diào)遞減

11.已知非零向量蒼，B滿足IZ—4肉=2,則下列結(jié)論正確的是()

A.若為，b共線,則I五∣+4∣b∣=2

B.若五1b>則片+16片=4

C.若看+16片=6,則I五+4方|=4

D.a-h≥—?

4

12.己知函數(shù)/(X)=e∣x+4∣sinax,若存在實(shí)數(shù)3使得f(x+t)是奇函數(shù)，則cos2α的值可能

為()

A.-1B.0C.?D.空

三'填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知扇形的面積為4,圓心角的弧度數(shù)是2,則該扇形的半徑為.

14.己知|初=3,向量方在行上的投影向量為一:五，則五下=.

15.已知函數(shù)/(x)=sin(3x+勺(3>0),若/(x+9為偶函數(shù)，f。)在區(qū)間(以答)內(nèi)單調(diào),

則ω的最大值為.

16.己知I函∣=6,IOfitI=3.若對(duì)Vt6R,恒旬65-t瓦r∣≥I荏I，且點(diǎn)M滿足麗=

l^δE+^OA,N為Oa的中點(diǎn)，貝IJl而I=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知α,0為銳角，Sinα=」」，CoS(Tr—。)=-%.

(I)求sin2α的值；

(2)求cos(α-6)的值.

18.(本小題12.0分)

已知向量落E滿足五=(C,1),(α-K)?(α+K)=-5>a-b=3√3?

(1)求向量方與石的夾角的大??；

(2)求的值.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=-2sinx+Cos2X+α+4,且/(］)=4.

(1)求實(shí)數(shù)ɑ的值；

(2)若Xev,篇,求函數(shù)AX)的值域.

20.(本小題12.0分)

在AABC中，CA=2,AB=3,?BAC=y,。為BC的三等分點(diǎn)(靠近C點(diǎn)).

⑴求荷?麗的值；

(2)若點(diǎn)P滿足而=求麗?正的最小值，并求此時(shí)的人

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=sin(2ωx+^)(ω>0)的最小正周期為兀.

(1)求3的值并求函數(shù)f(%)在［―兀,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)W(X)=f(x-今，已知函數(shù)g(x)=202(χ)一3(p(χ)+2α-1在生芻上存在零點(diǎn)，求實(shí)

數(shù)ɑ的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

己知圓。的半徑為2,圓。與正△4BC的各邊相切，動(dòng)點(diǎn)Q在圓。上，點(diǎn)P滿足布+而=2而.

⑴求同2+而2+近2的值；

(2)若存在X,ye(0,+∞),使得而=X兩+y而，求x+y的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?023°-223。=5X360。，所以角2023。與角223。的終邊相同;

因?yàn)?023。一(一223。)=2246不是360。的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同；

因?yàn)?023。一(一147。)=2170。不是360。的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同；

因?yàn)?023。-147°=1876。不是360。的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同.

故選:B.

根據(jù)終邊相同的角相差360。的整數(shù)倍可得結(jié)果.

本題主要考查了終邊相同角的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)榉?(—2,1),b=(3,2),

所以為?(Z+B)=(-2,1)-(1,3)=-2+3=1.

故選：A.

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出結(jié)果.

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由AB=3,BC=4,AC=5,

貝∣*B2+DC2=4￠2,所以4B1BC,

所以能■AC=BC■(AB+BC)=BC-AB+BC2=^BC2=16-

故選:B.

根據(jù)題意得到4B1BC,再根據(jù)數(shù)量積和向量的加法法則即可求解.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橐栽c(diǎn)為頂點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為始邊的角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,-2),

1√~5

所以c。Sa=/2=可，

J/+(-2)2

貝IJCoS(Tr+α)=-cosa=—?-

故選：C.

由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義可求CoSa的值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求即可求解.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：因?yàn)镃OS(O-力=2,

所以COSG-9)=?->

所以sin20=COS(>2。)=cos[2(≡-0)]=2cos2ζ-θ)-1=2×∣-1=-∣.

故選：C.

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式可求出結(jié)果.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式及二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由圖象知，函數(shù)的最小正周期7=4停一(一割=4兀，

即3=翥=g,4=，？，由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法則代入印,、「?)知，

√-3sin(∣×?+φ)=√-^3,E∣J∣×^-+φ=^+2kπ,keZ,因?yàn)镮Wl<],解得9=看,

所以f(x)=√^^3sin(jx+ξ),!fl∣J∕(0)=?.

故選:B.

根據(jù)三角函數(shù)的圖象，利用最值、周期、特殊點(diǎn)確定4、3、0的值，即可得出結(jié)論.

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：???—+」)?麗=g就+”“=-|宿+質(zhì)I=0,

Cjj

ι∣4B∣cosB?AC?cosC?AB?COSB?AC?COSC

BC1(溫ZSB+∣?sP'

又而與^?AS?cosB卡湛2sC)共線'

則同1阮，即方?瓦f=o.

故48C均無(wú)法判斷，。正確.

故選：D.

由題意得(市總+τ?J).布=°，可得布?品=0,即可得出答案.

?AB?cosB?AC?cosC

本題考查平面向量的基本定理，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解:f(x)=y∕~3sinx-cosx=2sin(%-^),

由一l≤f(%)≤2,得一≤sin(%-*)≤1,

解得2∕cτr-?≤%-2≤2∕C7Γ+M(∕C∈Z),

即2∕c7τ≤X≤2/OT+與(keZ),

所以(b—cOmax=2kττ+?—2kτt=?(fc∈Z),

2kπ+^--2kπ2π

S-a)min=2=算∕c6Z)，

所以b-α的取值范圍是有,爭(zhēng).

故選：D.

化簡(jiǎn)函數(shù)/(無(wú))，根據(jù)一1≤f(x)≤2求X的取值范圍，由此求得b-a的最大、最小值.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4：cos(≡+l)=-sinl,故4錯(cuò)誤；

對(duì)于B：sin(π+2)=-sin2,故B正確；

對(duì)于C：tan85°~tan25°an(850-25o)=tan60o=y∕~3,故C正確；

l÷tan85tan25=t、7

對(duì)于。：Sin64。CoSl9。-COS64。Sinl9。=sin(64o-19o)=sin45o=?，故癡正確.

故選：BCD.

利用誘導(dǎo)公式判斷4、B,利用差角公式判斷C、D.

本題主要考查了和差角公式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：將函數(shù)/(X)=c。SX的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的右縱坐標(biāo)不變得到y(tǒng)=cos2x,

將y=COS2x向左平移起個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=cos2(x+?)=cos(2x+看)，

即g(x)=∞s(2x+,

所以照)=cos(2X看+》=COSl=0,故A錯(cuò)誤；

g(x)的最小正周期7=:=兀，故8正確；

g(ξ)=cos(2XΞ+Ξ)=cos?=所以函數(shù)不關(guān)于《,0)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；

由％∈[0,≡],貝⑵+含有等，因?yàn)閥=COSX在生等上單調(diào)遞減，

所以g(x)在[0,：]上單調(diào)遞減，故。正確.

故選：BD.

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出g(x)的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

本題考查了三角函數(shù)的圖像變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于4,由4=I4一4方『=五2一8五彳+16方2,4=(∣α∣+4∣fa∣)2=∣α∣2+8∣α∣?

∣h∣+16∣K∣2,

所以當(dāng)日,石同向時(shí)，-Sab=-8∣α∣?∣K∣-此時(shí)間+4∣E∣≠2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若五J.石，則日不=0，∣α-46∣=2>兩邊平方得為？_8己?B+16產(chǎn)=方？+16,=4，

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,由I五一49∣2+I方+4]|2=2(S2+16,)=12,則|丘+4]=8,即I方+4石I=2√^2>

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

2??

對(duì)于D,由4=|1一43|2=五2一8五不+163≥8∣α∣-∣K∣-8α?K≥-16α?fa>得Z?b≥一下

故選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

當(dāng)五，石同向時(shí)即可判斷力；根據(jù)胃，石，有五不=0，再對(duì)I方-4石|=2兩邊平方即可判斷B；根據(jù)

?a-4b?2+?a+4b?2=2(α2+16?2)=12>求解即可判斷C：對(duì)14一4石|=2兩邊平方，再結(jié)

合基本不等式，絕對(duì)值不等式即可判斷D.

本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】AB

【解析】解:根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=eW據(jù)譏αx,

由/(X+t)是奇函數(shù)可得的/"(X+t)=-/(-X+t),

x+t+4

所以e∣x+"4∣si∏α(x+t)=e∣∣sin(αx+at)

-x+t+4x+t+4

=—e∣∣sinα(-%+t)=e∣^∣sin(ax—at),

即e∣x+t+4∣sin(ax+at)=e∣-z+t+4∣sin(ax-at),

所以t+4=0,at=kπ,k€Z,

所以t=-4,a=-塔,ke.Z,

cos2a=cos(-?)=eos(?),

故當(dāng)々=1時(shí)，cos2a=COSl=θ,

當(dāng)k=2時(shí)，cos2a=cosπ=—1,

當(dāng)k=3時(shí)，cos2a=eos?=0,

當(dāng)k=4時(shí),cos2a=cos2π=1,

根據(jù)周期性可知COS2Q的可能取值為0、1、-1.

故選：AB.

根據(jù)題意可得/(%+t)=—/(—%+亡)，即e∣"+*+4∣sin(a%+at)=el^x+t+4lsin(a%—aC),所以t=—4、

a=—”，k∈Z,討論即可得解.

4

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和奇函數(shù)的定義，屬于中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：依題意知扇形的面積為S=4,圓心角a=2,設(shè)半徑為r,

由S=gr2α,得4=gx2r2,解得「=2.

故答案為：2.

根據(jù)扇形的面積公式列式可求出結(jié)果.

本題考查了扇形的面積公式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】一6

【解析】解：設(shè)向量方茫的夾角為。，

???向量方在2方向上的投影向量為-|日，

∣ay∣bI?cos0-=-∣α,即嚕史=一|,

??a?b=?a??bICOSe=3×(-2)=-6?

故答案為：—6.

設(shè)向量日花的夾角為。，根據(jù)投影向量的概念，再結(jié)合數(shù)量積的概念，即可得出答案.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】4

【解析】解：由函數(shù)/(x)=sin(ωx+∣)(ω>0),函數(shù)f(X+》為偶函數(shù)，則+今=f(-x+今,

故直線X=稱為函數(shù)/(x)圖像的一條對(duì)稱軸，

所以+?=m+k兀，kEZ>則3=1+3∕C,/c∈Z.

?OZ

兀

T7九

兀π

即

又

一>

>一4

---T-r--=-<ω-<

2123ω4

4,

又3=l+3k,/C∈Z,所以3max=%故3的取大值為4.

由題意，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，求得3的最大值.

本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題.

16.【答案】yΓ~3

【解析】解：因?yàn)镮uIT笳I=JU/_2t而?而+好癥2=

J?0A?2-2tOA?OE+t2?OE?2

=√36-2tOΛ?OF+9t2>

?AE?=?OE-OA?=JOA2-2OA-OE+OE2=J?OA?2-2OA-OE+?OE?2

=√36-2OA-OE+9>

因?yàn)閷?duì)VteR,恒有I瓦？-t灰I≥I南

所以√36-2t列?瓦f+9t2≥√36-2就屈+9對(duì)VtθR恒成立，

即(一2t+2)0A0E+9t2-9≥0對(duì)VteR恒成立，

即弼-2t函?瓦r+2成?布-9≥0對(duì)VteR恒成立，

所以4=(-2OA-OE)2-4X9(20/i?OE-9)≤0-

即(。4?OE-9)2≤0，所以。/?OE=9,

12

又MN=ON-OM=楙04—60E+[04)6--3-OF

2

所以I而I=?^δA-1OEI=J（那一I函2=JΣOAQE+IOE=

J^?0A?2-IOA-OE+1?0E?2=yΓ3.

故答案為：√3.

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到J36-2t蘇?屈+9t2≥J36-2次?屈+9對(duì)Vt∈R恒成立，即可

得到9t2-2tr?δ?+251?瓦f-9≥0對(duì)VteR恒成立，根據(jù)4WO求出市?笳，再根據(jù)麗=

^OA-,曲及數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算可得.

O?

本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)镾ina=修，α為銳角,

ffi^λcosa=一，

所以sin2α=2sinacosa=2×X等=

(2)因?yàn)镃oS(Tr—S)=-cosβ=-?`

又0為銳角，

所以CoSS=?,sin/?=?/1—cos2j5=

所以cos(α一夕)=cosacosβ+sinasinβ=WX1+X

?JLU?JLUJLU

【解析】(1)由已知先求出cosα,然后結(jié)合二倍角公式可求；

(2)由誘導(dǎo)公式先求出cos。，進(jìn)而可求sin0,再由兩角差的余弦公式即可求解.

本題主要考查了同角基本關(guān)系，和差角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由五=(C,1)得|刈=2,

由位-E)?位+W=-5W∣α∣2-]b?2=-5,得力I=3.

設(shè)向量五與石的夾角為。，

由方?方=得141-?b?cosθ=3/3，

4B3∕-3?Γ~3

倚COSne=云y=—>

因?yàn)閑∈[0,7T],所以8=茅

即向量方與方的夾角的大小為也

(2)∣√3α-K∣=J(√3α-h)2=J3∣α∣2-2√^3α?K+∣K|2

=√3×4-2√^×3√^+9=C?

【解析】(1)根據(jù)平面向量的夾角公式可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)Iq為一Bl=J(√^3a-b)2=J3|碼2一2√3蒼小+歸|2可求出結(jié)果.

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)因?yàn)?(今=4,所以一2s譏?+cos2,+a+4=4,

所以-2+0+a=0,得a=2.

(2)由(I)知，/(x)=-2sinx+cos2%÷6=-sin2x—2sinx÷7=-(sinx+I)2+8,

設(shè)t=siτι%,因?yàn)椋ァ蔥―普],所以e∈[-^,1],

設(shè)g(￡)=-(t+1)2+8，t∈[―?,1],

11

+8-31-

2-5()znɑ4-4

當(dāng)t=1時(shí)，g(t')min=g⑴=4.

所以函數(shù)/(%)的值域?yàn)閇4,.

【解析】(1)由/(<=4可解得結(jié)果；

(2)換元為二次函數(shù)可求出結(jié)果.

本題主要考查三角函數(shù)最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可知，CD=1CBI(AB-AC),

所以彳b=而+方=就+g荏一；%?=:而+,幅

在△4BC中，CA=2,AB=3,Z.BAC=y,

所以近?BC=(?+1AC)-(AC-AB)-b?B?2+l?AC?2-??AC

?????

=-∣×9+∣×4-∣×3×2×cosy=∣.

(2)由題意可知，^PC=λ^AC,

因?yàn)槎?PC+CB=PC+AB-AC=AB+(<λ-l)AC>

又因?yàn)镃4=2,AB=3,NBAC=箏

所以而PC=[Λδ+(λ-1)ΛC]?λAC=λAB-AC+λ(λ-1)?AC\2

=λ∣?F∣∣^C∣cosy+λ(λ-1)∣^C∣2

=-3λ+4λ(Λ—1)=4?—7Λ—4(λ——)^——,

故兩?同的最小值一,，此時(shí)；I=[

【解析】(1)將而?瓦f化為希和配表示，利用松和配的長(zhǎng)度和夾角計(jì)算可得結(jié)果；

(2)用血、就表示麗.京，求出而?無(wú)關(guān)于;I的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)依題意可得芋=兀，得3=1,

所以f(%)=sin(2x÷≡),

令2kιτ-?≤2x+≤2kπ+](∕c∈Z),得kττ-≤x≤fcτr+"(fc∈Z),

(x?kπ-^≤x≤fcπ+ξ,fc∈Z}∩[-τr,π]={x?-π<x<-朗或一g≤x≤看或與≤x≤π},

所以函數(shù)/?(x)=sin(2x+[)在[一兀,捫上的單調(diào)遞增區(qū)間為[一兀,一強(qiáng)，[一杭],佟,兀].

(2)W(X)=((X-》=sin[2(x-^)+≡]=sin(2x-》

g(x)—2sin2(2x—?)—3sin(2x—^)+2α—1,

由函數(shù)9(%)在。幣上存在零點(diǎn)，得2Q=-2sm2(2x-?+3sm(2%-^)+1在。幣上有解，

。乙?DQ乙

令t=sin(2x一》由x∈*J‰-∣∈[0,y],貝∣Jt∈[0,1],

則y=-2t2+3t+1=-2(t-^)2+y∈[l,y]>

所以l≤2α≤],解得:≤α≤^,

oZlo

故α的取值范圍為旅,總

【解析】(1)根據(jù)周期公式求出3,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可求出結(jié)果；

(2)轉(zhuǎn)化為2α=-2sin2(2x+3sin(2x-勺+1在弓,芻上有解，換元令t=sin(2x-?,te

?。。乙?

[0,1],求出關(guān)于t的二次函數(shù)y=-2t2+3t+1的值域即得2α的取值范圍.

本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考