（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第八篇《第47講　平面與平面垂直》理（含解析） 蘇教版

A級基礎(chǔ)達標演練(時間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題：①若m⊥n，n?α，則m⊥α；②若m⊥α，n∥m，則n⊥α；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β，其中正確的是________(填序號)．答案②2．(2011·山東省實驗中學模擬)已知a，b，l是不同的直線，α，β是不重合的平面，有下列命題：①若a⊥β，α⊥β，則a∥α；②若a∥α，a⊥b，則b⊥α；③若a∥b，l⊥α，則l⊥b；④α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.以上命題正確的個數(shù)是________．解析①a?α也成立；②不正確；③l與a，b沒有任何關(guān)系；④顯然不正確．答案03．(2011·鹽城調(diào)研)已知命題：“若x⊥y，y∥z，則x⊥z”成立，那么字母x，y，z在空間所表示的幾何圖形有可能是：①都是直線；②都是平面；③x，y是直線，z是平面；④x，z是平面，y是直線．上述判斷中，正確的有________(填序號)．解析對于③，當x⊥y，y∥z時，只能確定直線x垂直于平面z中的一條直線(該直線與y平行)，不符合線面垂直的條件．答案①②④4．(2011·南通調(diào)研)設(shè)α，β是空間兩個不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：________(填序號)．解析因為當n⊥β，m⊥α時，平面α及β所成的二面角與直線m，n所成的角相等或互補，所以若m⊥n，則α⊥β，從而由①③④?②；同理若α⊥β，則m⊥n，從而由②③④?①.答案①③④?②或②③④?①5．(2011·山東省日照調(diào)研)已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出四個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l∥m，則α⊥β其中真命題的序號是________．解析由l⊥α，α∥β，得l⊥β，所以①正確；②與③不正確；由l∥m，l⊥α，得m⊥α，又m?β，所以α⊥β，即④正確．答案②④6．(2011·山東省濟寧模擬)已知a、b為直線，α、β為平面．在下列四個命題中，①若a⊥α，b⊥α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a⊥α，a⊥β，則α∥β；④若b∥α，b∥β，則α∥β.正確命題的序號是________．解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知①真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知②假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知③真；易知④假．答案①③7．(2011·山東省青島模擬)已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，則α∥β是l⊥m的__________________條件．解析若l⊥α，α∥β，則l⊥β，又m?β，所以l⊥m，充分性成立．反之不成立，故α∥β是l⊥m的充分不必要條件．答案充分不必要二、解答題(每小題15分，共45分)8．(2011·鹽城調(diào)研)在如圖所示的多面體中，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2，四邊形ABDC是菱形．(1)求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2)求該多面體的體積．解(1)由正三棱柱ABC-A1B1C1，得BB1⊥AD，而四邊形ABDC是菱形，所以AD⊥BC.又BB1、BC?平面BB1C1C，且BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BCC1B1.則由AD?平面ADC1，得平面ADC1⊥平面BCC1B1.(2)因為正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V1＝S△ABC×AA1＝2eq\r(3)，四棱錐D-B1C1CB的體積為V2＝eq\f(1,3)S四邊形BCC1B1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD))＝eq\f(4\r(3),3)，所以該多面體的體積為V＝eq\f(10\r(3),3).9．(2011·蘇北四市調(diào)研)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E為AB中點，過E作EF⊥CD，垂足為F，如圖①，將此梯形沿EF折成一個直二面角A-EF-C，如圖②.(1)求證：BF∥平面ACD；(2)求多面體ADFCBE的體積．圖①圖②解(1)連接EC，交BF于點O，取AC中點P，連結(jié)PO，PD，可得PO∥AE，且PO＝eq\f(1,2)AE，而DF∥AE，且DF＝eq\f(1,2)AE，所以DF∥PO，且DF＝PO，所以四邊形DPOF為平行四邊形，所以FO∥PD，即BF∥PD，又PD?平面ACD，BF?平面ACD，所以BF∥平面ACD.(2)二面角A-EF-C為直二面角，且AE⊥EF，所以AE⊥平面BCFE，又BC?平面BCFE，所以AE⊥BC，又BC⊥BE，BE∩AE＝E，所以BC⊥平面AEB，所以BC是三棱柱C-ABE的高，同理可證CF是四棱錐C-AEFD的高，所以多面體ADFCBE的體積V＝VC-ABE＋VC-AEFD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝eq\f(10,3).10．(2011·南通調(diào)研)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中．(1)若BB1＝BC，B1C⊥A1B，求證：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)設(shè)D是BC的中點，E是A1C1上的一點，且A1B∥平面B1DE，求eq\f(A1E,EC1)的值．解(1)因為BB1＝BC，所以側(cè)面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.又因為B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以BC1⊥平面A1BC1.又B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.(2)設(shè)B1D交BC1于點F，連接EF，則平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.因為A1B∥平面B1DE，A1B?平面A1BC1，所以A1B∥EF.所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(BF,FC1).又因為eq\f(BF,FC1)＝eq\f(BD,B1C1)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(1,2).B級綜合創(chuàng)新備選(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．(2011·山東省臨沂模擬)已知三條不重合的直線m，n，l兩個不重合的平面α，β，有下列命題①若l∥α，m∥β，且α∥β，則l∥m；②若l⊥α，m⊥β，且l∥m，則α∥β；③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，則n⊥α，其中真命題的序號是________．解析①不正確．②由條件，可得l⊥α，l⊥β，所以α∥β，②正確．③不正確．④由面面垂直的性質(zhì)知正確．答案②④2．已知α，β表示兩個不同的平面，a，b表示兩條不同的直線，則：①a∥α，b∥α；②a∥α，b∥β，α∥β；③α⊥β，a⊥α，b∥β；④a⊥α，b⊥β，α∥β，其中是a∥b的一個充分條件的為________．解析由a⊥α，b⊥β，α∥β，得a⊥α，b⊥α，所以a∥b，故應填④.答案④3．設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則對于下列條件：①a⊥c，b⊥c；②α⊥β，a?α，b?β；③a⊥α，b∥α；④a⊥α，b⊥α，其中是a⊥b的一個充分不必要條件的是________．解析若a⊥α，b∥α，則a⊥b，反之顯然不成立，故應填③.答案③4．如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC(端點除外)上一動點．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK＝t，則t的取值范圍是________．解析過K作KM⊥AF于M點，連結(jié)DM，易得DM⊥AF，與折前的圖形對比，可知由折前的圖形中D、M、K三點共線且DK⊥AF，于是由△DAK∽△FDA，得eq\f(AK,AD)＝eq\f(AD,DF)，所以eq\f(t,1)＝eq\f(1,DF)，所以t＝eq\f(1,DF).又DF∈(1,2)，故t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))5．如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點．有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是________(填上所有正確命題的序號)．解析因為PA?平面MOB，不可能PA∥平面MOB，故①錯誤；因為M、O分別為PB，AB的中點，所以MO∥PA，得MO∥面PAC，故②正確．又圓的直徑可知BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，在空間過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，所以O(shè)C不可能與平面PAC垂直，故③錯誤；由③可知BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故④正確．答案②④6．給出下列命題：①在空間里，垂直于同一平面的兩個平面平行；②設(shè)l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α；③已知α，β表示兩個不同平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的充要條件；④若點P到三角形三個頂點的距離相等，則點P在該三角形所在平面內(nèi)的射影是該三角形的外心；⑤a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行．其中正確的命題是________(只填序號)．解析①不正確．②正確．③既不充分又不必要．④由從同一點引出的斜線相等射影相等可知④正確．⑤不正確，故②④正確．答案②④二、解答題(每小題15分，共30分)7．(2011·蘇錫常鎮(zhèn)揚五市調(diào)研)在菱形ABCD中，∠A＝60°，線段AB的中點是E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，線段FC的中點是G.(1)證明：直線BG∥平面FDE；(2)判斷平面FEC和平面EBCD是否垂直，并證明你的結(jié)論．解(1)延長DE、CB相交于點H，連接HF.因為菱形ABCD，且E為AB的中點，所以BE∥CD，BE＝eq\f(1,2)CD.所以B為HC的中點．因為G為線段FC的中點，所以BG∥HF.因為GB?平面FDE，HF?平面FDE，所以直線BG∥平面FDE.(2)垂直．證明如下：由菱形ABCD及∠A＝60°，得△ABD是正三角形，因為E為AB的中點，所以AE⊥DE.所以FE⊥DE.因為平面FDE和平面EBCD垂直，且這兩個平面的交線是DE，F(xiàn)E在平面FDE內(nèi)，所以FE⊥平面EBCD.因為FE?平面FEC，所以平面FEC和平面EBCD垂直．8．(2011·南京模擬)如圖，在棱長均為4的三棱柱ABC-A1B1C1中，D、D1分別是BC和B1C1的中點．(1)求證：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱錐B1-ABC的體積．解(1)如圖，連接DD1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，因為D，D1分別是BC與B1C1的中點，所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD.所以四邊形B1BDD1為平行四邊形．所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又因為AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1.所以四邊形AA1D1D為平行四邊形．所以A1D1∥AD.又A1D1?平面AB1D，AD?平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D.(2)法一在△ABC中，因為AB＝AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC.因為平面ABC⊥平面B1C1CB，交線為BC，AD?平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱錐A-B1BC的高．在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2eq\r(3).在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以△B1BC的面積S△B1BC＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).所以三棱錐B1-ABC的體積，即三棱錐A-B1BC的體積V＝eq\f(1,3)×S△B1BC·AD＝eq\f(1,3)×4eq\r(3)×2eq\r(3)＝8.法二在△B1BC中，因為B1B＝BC，∠B1BC＝60