人教版六年級數(shù)學(xué)下冊第五單元數(shù)學(xué)廣角大單元教學(xué)設(shè)計

人教版六年級數(shù)學(xué)下冊第五單元數(shù)學(xué)廣角大單元教學(xué)設(shè)計

第五單元數(shù)學(xué)廣角-鴿巢問題單元解讀

一、鏈接課標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“學(xué)段目標(biāo)”的“第

二學(xué)段”中提出：“會獨立思考，體會一些數(shù)學(xué)的基本思想”“在觀

察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理

的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果”“經(jīng)歷與他人合

作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程”。同時也提出：

“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢”“結(jié)合實際情境，體驗發(fā)

現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程”“通過應(yīng)用和反思，進(jìn)一步

理解所用的知識和方法，了解所學(xué)知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)

驗”。

二、單元目標(biāo)

本單元的總體目標(biāo)是：1.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測、實驗、推理

等活動,經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的過程,初步了解“鴿巢原理”，會用

“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。

2.提高學(xué)生解決簡單的實際問題的能力。

3.通過“鴿巢原理”的靈活應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的魅力。

本單元的教學(xué)重、難點是初步了解“鴿巢原理”，培養(yǎng)學(xué)生的“模

型思想”。

三、內(nèi)容分析

“數(shù)學(xué)廣角”這一單元,向?qū)W生滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本單

元教材通過幾個直觀例子,借助實際操作,向?qū)W生介紹“鴿巢問題”，使

學(xué)生在理解“鴿巢問題”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上,對一些簡單的實際問

題加以“模型化”，會用“鴿巢問題”加以解決。例1:描述“鴿巢原理”

的最簡單的情況。著重探討為什么這樣的結(jié)論是成立的。教材呈現(xiàn)了

兩種思考方法:第一種方法是用操作的方法,羅列所有的方法,通過完

全歸納的方法看到在這四種情況都是滿足結(jié)論的;還可以是說理的方

式,先放3支,在每個筆筒里放1支,這時剩下1支。剩下的1支不管放

入哪一個筆筒中,這時都會有一個筆筒里有2支鉛筆。這種方法比第

一種方法更為抽象,更具有一般性。

通過本例的教學(xué)，使學(xué)生感知這類問題的基本結(jié)構(gòu),掌握兩種思

考的方法——枚舉和假設(shè),理解問題中關(guān)鍵詞語“總有”和“至少”的

含義,形成對“鴿巢原理”的初步認(rèn)識。

例2：本例描述“鴿巢原理”更為一般的形式,即“把多于(是正整

數(shù))個物體任意分放進(jìn)個空抽屜里,那么一定有一個鴿巢中放進(jìn)了至少

(+1)個物體”。教材首先探究把7本書放進(jìn)3個抽屜里,總有一個鴿巢

里至少放進(jìn)3本書的情形。當(dāng)數(shù)據(jù)變得越來越大時,如果還用完全歸

納的方法把所有的情形羅列出來的話,對于學(xué)生來說是有困難的。這

時需要學(xué)生用到“反證法”這樣一種思想,即如果所有的鴿巢最多放2

本,那么3個抽屜里最多放6本書,可是題目中是7本書,還剩1本書,

怎么辦?這就使學(xué)生明白只要放到任意一個抽屜里即可,總有一個抽

屜里至少放進(jìn)3本書。通過這樣的方式,實際上學(xué)生是在經(jīng)歷“反證

法”的這樣一個過程。

例3:跟之前教材的編排是一樣的,是鴿巢原理的一個逆向的應(yīng)用。要

解決這個問題,可以把兩種“顏色”看成兩個“抽屜”，“同色”就意味

著“同一個抽屜”。這樣,就可以把“摸球問題”轉(zhuǎn)化為“抽屜問題”。

教材通過學(xué)生的對話,指出了可以通過先猜測再驗證的方法來解決問

題,也反映了學(xué)生在解決這個問題時可能會遇到的困難。很多學(xué)生誤

以為要摸5次才可以摸出球,這可以讓學(xué)生通過實驗來驗證。

重難點分析:第一,要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。因為“鴿巢原理”

在生活中的變式是多樣的,在解決這些問題的過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)

生明確什么是抽屜原理中的“物體”，什么是“鴿巢”，讓學(xué)生把這些

具體問題模型化成一個“鴿巢問題”。第二,在例1中給出具體的問題

（4支鉛筆放到3個筆筒里）,讓學(xué)生在探究的過程中,逐漸找到一般的

規(guī)律。本單元的教學(xué)重難點是初步了解“鴿巢原理”,培養(yǎng)學(xué)生的“模

型思想”。

四、課時安排

第一課時：鴿巢原理（一）

第二課時：鴿巢原理（二）

第五單元第1課時鴿巢原理（一）教學(xué)設(shè)計

教學(xué)流程

學(xué)校授課班級授課教師

1.初步了解“鴿巢問題”的基本形式，理解關(guān)鍵詞語“總有”；切“至少”的含義。

學(xué)習(xí)目標(biāo)2.經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，會運用“鴿巢原理”解決一1些簡單的實際問題。

3.體會“鴿巢問題”的廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)探究意識。

重點經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，初步理解“鴿巢原理”的含義。

難點掌握運用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題的方法。

興趣是學(xué)習(xí)最好的老師。所以在本節(jié)課設(shè)計了用撲克游戲來導(dǎo)入新課。這樣設(shè)計使學(xué)

生在生動、活潑的數(shù)學(xué)活動中主動參與、主動實踐、主動思考、主動探索、主動創(chuàng)造；使

學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)情感得到充分的發(fā)展，從而達(dá)到動智與動情

學(xué)情分析的完美結(jié)合，全面提高學(xué)生的整體素質(zhì)。通過直觀例子，借助實際操作，引導(dǎo)學(xué)生探究“鴿

巢問題”，初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明''的過程，并有意識的培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想”。為學(xué)生營造寬

松自由的學(xué)習(xí)氛圍和學(xué)習(xí)空間，能讓學(xué)生自己動腦解決一些實際問題，從而更好的理解鴿

巢問題。在教學(xué)過程中能夠及時地去發(fā)現(xiàn)并認(rèn)可學(xué)生思維中閃亮的火花。

核心素養(yǎng)增強對邏輯推理、模型思想的體驗，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。

教學(xué)輔助教學(xué)課件、學(xué)習(xí)任務(wù)單、（若有教具等教師自行增加）

情境導(dǎo)入一引“探究”

教師談話導(dǎo)入：同學(xué)們，我們來做一個小游戲。

出示一副撲克牌。

先請5位同學(xué)上臺，取出大王和小王，還剩下52張牌，5位同學(xué)上來，每人隨意抽一張，

不管怎么抽，至少有2張牌是同花色的。同學(xué)們相信嗎？

魔術(shù)師洗牌，5位同學(xué)抽牌，魔術(shù)師亮牌，全班同學(xué)統(tǒng)計。

揭示結(jié)果：一副牌有4種花色。先“分配”4張，每種花色各1張，剩下的1張無論是哪種

花色，總有一種花色至少有2張。

其實在這里隱藏著一個數(shù)學(xué)原理，這就是我們今天學(xué)的新內(nèi)容。

學(xué)習(xí)任務(wù)一：經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，初步理解“鴿巢原理”的含義。

【設(shè)計意圖：鼓勵學(xué)生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎(chǔ)上，學(xué)生意

識到了要考慮最少的情況，從而引出假設(shè)法滲透平均分的思想。讓學(xué)生在這個連續(xù)的過程中

初步感知方法的優(yōu)化，發(fā)展了學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。】

新知探究一習(xí)“方法”

1.教學(xué)例1

課件出示例題1情境圖

I彳把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，不管怎

一‘么放，總有1個筆筒里至少有2支鉛

筆。你知道這是為什么嗎？

（1）操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律：通過把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，可以發(fā)現(xiàn)：不管怎么放，總有1鴿

筆筒里至少有2支鉛筆.

（2）理解關(guān)鍵詞的含義：“總有”和“至少”是指把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，不管怎么

放，一定有1個筆筒里的鉛筆數(shù)大于或等于2支。

（3）探究證明。

方法一：用“枚舉法”證明。

方法二：用“分解法”證明。把4分解成3個數(shù)。

由圖可知，把4分解成3個數(shù)，與枚舉法相似，也有4中情況，每一種情況分得的3個數(shù)

中，至少有1個數(shù)是不小于2的數(shù)。

方法三：用“假設(shè)法”證明。

通過以上幾種方法證明都可以發(fā)現(xiàn)：把4只鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，無論怎么放，總有1個筆

筒里至少放進(jìn)2只鉛筆。

（4）認(rèn)識“鴿巢問題”

像上面的問題就是“鴿巢問題”，也叫“抽屜問題”。在這里，4支鉛筆是要分放的物體,

就相當(dāng)于4只“鴿子”，“3個筆筒”就相當(dāng)于3個“鴿巢”或“抽屜”，把此問題用“鴿

巢問題”的語言描述就是把4只鴿子放進(jìn)3個籠子，總有1個籠子里至少有2只鴿子。

小結(jié)：只要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多，就總有1個筆筒里至少放2支鉛筆。

（5）歸納總結(jié)：

鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進(jìn)n個抽屜里（m>n,且n是非零自然數(shù)），那么

一定有一個抽屜里至少放進(jìn)了放進(jìn)了2個物體。

學(xué)習(xí)任務(wù)二：掌握運用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題的方法。

【設(shè)計意圖：通過對不同具體情況的判斷，有“枚舉法''到"假設(shè)法”，再到“平均分法”，初步

建立“物體”“抽屜”的模型，發(fā)現(xiàn)簡單的抽屜原理：至少數(shù)=商+1。讓學(xué)生體會平常事中也有

數(shù)學(xué)原理，有探究的成就感，激發(fā)對數(shù)學(xué)的熱情?！?/p>

1.課件出示例2。

把7本書放進(jìn)3個抽屜，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進(jìn)3本書。

為什么?

引導(dǎo)學(xué)生觀察，獲取數(shù)學(xué)信息。然后小組合作，用自己喜歡的方法解決問題。

方法一：用數(shù)的分解法證明。

把7分解成3個數(shù)的和。把7本書放進(jìn)3個抽屜里，共有如下8種情況：

7、0、0；6、1、0；5、2、0；5、1、1；4、3、0；4、2、1；3、3、1；3、2、2。由此可知，

每種情況分得的3個數(shù)中，至少有1個數(shù)不小于3,也就是每種放法中最大的數(shù)中“最小”

的數(shù)是3,即總有1個抽屜至少放進(jìn)3本書。

方法二：用假設(shè)法證明。

把7本書平均分成3份，7÷3=2（本）...1（本），若每個抽屜放2本，則還剩1本。如

果把剩下的這1本書放進(jìn)任意1個抽屜中，那么這個抽屜里就有3本書。

得出結(jié)論：7本書放進(jìn)3個抽屜中，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進(jìn)3本書。

歸納總結(jié)：綜合上面兩種情況，要把a本書放進(jìn)3個抽屜里，如果a+3=b（本）……1（本）

或a÷3=b（本）...2（本），那么一定有1個抽屜里至少放進(jìn)（b+1）本書。

2.總結(jié)“鴿巢原理”（二）。

把多于kn個物體任意分別放進(jìn)n個空抽屜（k是正整數(shù)，n是非零自然數(shù)），那么一定有一

個抽屜中至少放進(jìn)了（k+l）個物體。

學(xué)習(xí)任務(wù)三：達(dá)標(biāo)練習(xí)，鞏固成果

【設(shè)計意圖：分層次的鞏固練習(xí)有助于對學(xué)生知識掌握和能力發(fā)展進(jìn)行評價。研究的問題來

源于生活，還要回歸生活，練習(xí)均源于學(xué)生身邊，由淺入深，學(xué)生用抽屜原理解決具體問題

進(jìn)行建模，讓學(xué)生體會抽屜的形式是多種多樣的。讓學(xué)生體會‘‘抽屜”不一定是看得見、摸得

著的?！?/p>

達(dá)標(biāo)練習(xí)…活“應(yīng)用”

一、課堂練習(xí)

1.隨意找13位老師，他們中至少有2個人的屬相相同。為什么？

2.5只鴿子飛進(jìn)了3個鴿籠，總有1個鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。為什么？

二、學(xué)以致用

3.小明表演撲克牌“魔術(shù)”。一副撲克牌，取出大小王，還剩52張牌，9人每人隨意抽1張，

至少有3張牌是相同的花色。你理解這個撲克牌“魔術(shù)”的道理嗎？

4.張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

三、拓展提升

5.給1個正方體木塊的6個面分別涂上藍(lán)、黃兩種顏色，不論怎么涂至少有3個面涂的顏色

相同。為什么？

【作業(yè)設(shè)計】

作業(yè)布置…拓“延伸”

1.完成《分層作業(yè)》。

【板書設(shè)計】

鴿巢原理

總有一個筆筒中至少有2根鉛筆

至少數(shù)=商+1

物體個數(shù)抽屜數(shù)

小棒數(shù)杯子數(shù)過程至少數(shù)

32(3,0)(1,2)2

43(4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,1,1)2

545÷4=1........11+1=22

第五單元第2課時鴿巢原理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

學(xué)校授課班級授課教師

L在了解簡單的“鴿巢問題”的基礎(chǔ)上，使學(xué)生會用此原理解決簡單的實際問題。

2.能進(jìn)一步理解“鴿巢原理”，運用“鴿巢原理”進(jìn)行逆向思維。

學(xué)習(xí)目標(biāo)

3.在解決問題的過程中，感受“抽屜原理”在日常生活中的各種應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)知識與

日常生活的緊密聯(lián)系。

~t57在了解簡單的“鴿巢問題”的基礎(chǔ)上，會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。

難點能進(jìn)一步理解“鴿巢原理”，運用“鴿巢原理”進(jìn)行逆向思維。

興趣是學(xué)習(xí)最好的老師。所以在本節(jié)課設(shè)計了用撲克游戲來導(dǎo)入新課。這樣設(shè)計使學(xué)生

在生動、活潑的數(shù)學(xué)活動中主動參與、主動實踐、主動思考、主動探索、主動創(chuàng)造；使

學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)情感得到充分的發(fā)展，從而達(dá)到動智與動

學(xué)情分析情的完美結(jié)合，全面提高學(xué)生的整體素質(zhì)。通過直觀例子，借助實際操作，引導(dǎo)學(xué)生探

究“鴿巢問題”，初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明''的過程，并有意識的培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想為學(xué)

生營造寬松自由的學(xué)習(xí)氛圍和學(xué)習(xí)空間，能讓學(xué)生自己動腦解決一些實際問題，從而更

好的理解鴿巢問題。在教學(xué)過程中能夠及時地去發(fā)現(xiàn)并認(rèn)可學(xué)生思維中閃亮的火花。

核心素養(yǎng)體會“鴿巢原理”中的邏輯推理思想和模型思想。

教學(xué)輔助教學(xué)課件、學(xué)習(xí)任務(wù)單、（若有教具等教師自行增加）。

教學(xué)流程

情境導(dǎo)入一引“探究”

教師談話導(dǎo)入：同學(xué)們，我們來通過閱讀回答下列問題。

1.把10支鉛筆放進(jìn)三個鉛筆盒里，總有一個鉛筆盒里至少裝著（）支鉛筆。

提問：你是怎么想的？生獨立思考后解決問題。

（至少數(shù)：商+1算式：10÷3=3...13+1=4）

2.11只鴿子飛進(jìn)了4個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進(jìn)了3只鴿子。為什么？

（11÷4=2（個）....3（只）2+1=3（只））

分析：因為平均每個鴿籠都飛進(jìn)了2只鴿子，還剩下3只，不論怎么飛，總有1個鴿籠里至

少飛進(jìn)3只鴿子。

鴿巢原理：把多于kn個物體任意分放進(jìn)n個“鴿巢”中（k、n均是非O自然數(shù)）,總有一個“鴿

巢”中至少放進(jìn)（k+l）個物體。

今天這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)利用鴿巢原理解決問題。

學(xué)習(xí)任務(wù)一：會用“鴿巢原理”解決問題。

【設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要有大膽猜測與充分驗證的思維過程，本環(huán)節(jié)正是建立在這種數(shù)學(xué)

思維過程中，讓學(xué)生主動參與知識的形成過程，有效激發(fā)學(xué)生思維的靈活性。用分析推理

的方法讓學(xué)生得出正確的規(guī)律與結(jié)論是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要途徑之一，積極引導(dǎo)

學(xué)生去思考、去表達(dá)、去總結(jié)，全面提升其學(xué)習(xí)能力?！?/p>

新知探究一習(xí)“方法”

課件出示教科書P70例3。出示問題：盒子里有同樣大小的紅球和藍(lán)球各4個，要想摸出的

球大家來猜測一下答案是什么？

盒子里有同樣大小的紅球和藍(lán)球各4個.要想摸出的球一定有2個同

色的，至少要摸出幾個球？

,肯定有2個同色的，因為……

只摸2個球不能保證

是同色的，因為有兩

種顏色。那摸3個球

就能保證……

學(xué)生可能猜測出的答案有2個、3個、5個。

同學(xué)們對答案進(jìn)行了猜測，你們有什么方法能驗證自己的猜測是否正確？想一想，可以在小

組內(nèi)合作研究。

學(xué)生匯報交流，驗證答案，課件配合出示。

1：至少摸2個球就能保證是同色的。

驗證：球的顏色共有2種，如果只摸出2個球，會出現(xiàn)以上三種情況，如果摸出的2個球正

好是一紅一藍(lán)時就不滿足條件。

摸出5個球，肯定有2個是同色的。

,I

第一種情況：：第三種情況:

V.________C__)C__)OIoOO

!

‘第二種情況:[ol第四種情況：ooo

驗證：把紅、藍(lán)兩種顏色看成2個“抽屜”，因為5+2=2……1,所以摸出5個球時，至少有3

個球是同色的，摸出5個球不是最少的。

有兩種顏色。那摸3個球就能保證有2個同色的球。

第一種情況:~~ool［第二種情況：o

驗證：把紅、藍(lán)兩種顏色看成2個“抽屜”，因為3÷2=1……1,所以摸出3個球時，至少有2

個球是同色的。

通過大家的猜測和驗證，我們知道了只要摸出的球數(shù)比它們的顏色種數(shù)多1,就能保證有2

個球同色。為什么摸出2個和5個都不是正確答案呢？請大一定有2個同色的，至少要摸出

幾個球？家再和同桌互相說一說。

學(xué)習(xí)任務(wù)二：將實際問題抽象成鴿巢問題。

【設(shè)計意圖：用分析推理的方法讓學(xué)生得出正確的規(guī)律與結(jié)論是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要途徑之

一，積極引導(dǎo)學(xué)生去思考、去表達(dá)、去總結(jié)，全面提升其學(xué)習(xí)能力?！?/p>

課件出示教科書P70例3。出示問題：盒子里有同樣大小的紅球和藍(lán)球各4個，要想摸出的

球大家來猜測一下答案是什么？

分組討論：如何把這道題轉(zhuǎn)化為“鴿巢問題”？

這道題其實就是把摸出的球（鴿子）放在兩種顏色的“鴿巢”中，結(jié)論就是有一個顏色“鴿

巢”中至少有2個。

根據(jù)“鴿巢原理”（一），只要摸出的球的個數(shù)比它們的顏色種數(shù)多1,就能保證一定有2

個球是同色的，所以答案是至少要摸出3個球。

有兩種顏色，只要摸出的球比它們的顏色至少多1,就能保證有兩個球同色。

2.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用“鴿巢原理”解決問題的一般步驟。

（1）確定什么是鴿巢及有幾個鴿巢。

（2）確定分放的物體。

（3）用倒推的