湖北省新高考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含部分解析）

2023年湖北新高考高一5月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間：2023年5月29日下午15；(刈-17:00試卷滿(mǎn)分：達(dá)。分

注意事項(xiàng)：

1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定的位置上。

2、回答選擇題時(shí)，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需要

改動(dòng)，先用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，

寫(xiě)在試卷上無(wú)效。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={ι∣l≤x<4),B=fr∣y=lιιɑa-?-3)],則ACB等于()

A.(3,4]B,(→O,-1)<√[1,-^O)C.(3,4)D.(^-1]^(4,+∞)

2.已知點(diǎn)P(1,2)在角ɑ的終邊上，那么cos2a的值是()

34

3747

A.——B.5C.——D.5

55

3.設(shè)/、m、n均為直線(xiàn)，其中m、n在平面a內(nèi)，則“‘上機(jī)且/J.〃”是，，/_La”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知IZiABC的三個(gè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若asinBcosC+csinBcosA=Bb,且a*

2

貝IJB=()

ππ1π5π

A.6B.3C.3D.6

5.在正方形ABCD中，已知AB=I,點(diǎn)P在射線(xiàn)CD上運(yùn)動(dòng)，則左，PB的取值范圍為()

33

A.[0,1]B,[1,÷∞)C.[4,ijD.[4,4-00)

6.已知復(fù)數(shù)Z的實(shí)部和虛部均為自然數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,那么滿(mǎn)足2^Z∣≤3的點(diǎn)Z的個(gè)數(shù)為

)

A.5B.6C.7D.8

7.已知三棱錐尸一A3。的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC,zXABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，EFJ_平面PAC,則球O的體積為（）

?Jβπy[βπy∕βτr

2"兀

A.8C.D.

<士則稱(chēng)f（X）是函數(shù)g（X）的k倍伸縮仿周期函數(shù)。設(shè)g（%）=Sm（不），

8.定義：若f(x)

￡

且f（X）是g（X）的2倍伸縮仿周期函數(shù)。若對(duì)于任意的“[1'機(jī)]，都有/U）2-',則實(shí)數(shù)nι的最大值

為（）

566488

A.12B.3C.3D.3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得O分。

9.若復(fù)數(shù)占、”2是關(guān)于X的方程Y+4x+5=°的兩個(gè)根，則下列說(shuō)法正確的是（）

AX1+x2=-4βxx+X2=-AicXlX2=5DX1X2=5i

10.已知一個(gè)矩形ABCD,用斜二測(cè)畫(huà)法得到其直觀(guān)圖A'B'C'。'的周長(zhǎng)為2,設(shè)A8=x,BC=y,下列

說(shuō)法正確的是（）

9

A.Xy的最大值為1B.X2y的最小值為4

17

C.巧+6的最大值為2

D.孫+jv+y的最大值為8

11.已知函數(shù)口λJ=Acusf2x+—1（A?>O,O<0<n）,若函數(shù)y=∣∕'（X）I的部分圖象如圖所示,

函數(shù)g（x）=Asin（Ar-0）,則下列結(jié)論不正確的是（)

A.將函數(shù)'=∕(χ)+ι的圖象向左平移i2個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)g(X)的圖象

_/X

B.函數(shù)?y一的圖象關(guān)于點(diǎn)I6J對(duì)稱(chēng)

πππ

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,2］上的單調(diào)遞減區(qū)間為［12,2］

7

D.若函數(shù)g(*+')("°)為偶函數(shù)，則。的最小值為“π

12.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2AD=2CD=2.將AACD沿著AC翻折，使得點(diǎn)D

到點(diǎn)p,且AP?I?8C0下列結(jié)論正確的是()

A.平面APC，平面ABC

B.二面角尸一AB-。的大小為45

C.三棱錐尸一MC的外接球的表面積為5π

√2?

D.點(diǎn)C到平面APB的距離為7

三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知,"卜逐，A=。?，且a〃A,則非零向量A的坐標(biāo)為。

14.在《九章算術(shù)》中，塹堵指底而為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐。如圖，在塹堵4BO—A與G中，ACLBCAAy=AB=2√2則當(dāng)塹堵

ABC-AiBlCi的體積最大時(shí)，陽(yáng)馬b.AACG的體積為。

AiBT

15.在aABC中，已知A8=2,AC=5,N84C=6°,P是AABC的外心，則NAPB的余弦值為

16.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)。這一天民間有吃粽子的習(xí)俗，據(jù)說(shuō)是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)詩(shī)人屈

π

原。粽子的形狀有多種。今有某種粽子類(lèi)似于由一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)2(如圖)而成。

如果粽子的餡可以看成是這個(gè)幾何體內(nèi)的一個(gè)球狀物，則粽子餡的最大體積為。

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)已知向量d=3q=4e∣，其中e∣=(1,0),02=(?！?

(1)若。_1b，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)若己與B的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

18.(12分)如圖，四邊形ABCD為正方形，EDJ_平面ABCD,FB/IED,AB=ED=IFB

(1)證明：EA〃平面BCF；

(2)證明：平面EAC_L平面FAC.

19.(12分)在A(yíng)ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知”=0。=3,且26=C。NBAC的

平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)Eo

(1)求角C；

(2)求AABE的面積。

20.(12分)如圖所示，四棱錐尸―A6CD的底面為直角梯形，DC=2AB,ZDAB=ZADC=90,PB±

底面ABCD,PB=AB=AD

(1)求證：PDJ_BC.

(2)線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)E,使得平面PAD，平面PDE?若存在，求直線(xiàn)PE與平面PAD所成角的正弦

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

f(x]=cos%12√3sinx÷cosX)-sin2x

21.(12分)已知‘'''

/(x)=Jsin4x+包

⑴若求I6

L2,的值;

π

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移12個(gè)單位得到函數(shù)y="(χ)的圖象，若函數(shù)

y=〃(x)+A(sιnx+cos力+5在》?自上有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

22.(12分)函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)＞=∕(x)為奇函數(shù)，有

同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)＞=∕(*)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)

y=f(χ+αi為奇函數(shù)。已知函數(shù)〃力"+加+灰+1

(1)若函數(shù)＞=∕(χ)的對(duì)稱(chēng)中心為(-1,2),求函數(shù)y=∕(?v)的解析式。

(2)由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元〃(〃eN*)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(X)在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一

次因式的乘積。進(jìn)而，一元n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì))。如設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程

外廠(chǎng)+平+%=0(生。°),在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為札2則方程生廠(chǎng)+e+&=°可變形為

2

a2(x-x∣)(x-x2)=0展開(kāi)彳曰<x,%-a2(^xlx2^x+a,xix2=0

X1+X2=--

〃2

4=-6Z2(X1+X2)

X1X2=—

則有[aO=^2x?x2即~a2

類(lèi)比上述推理方法可得實(shí)系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系

①若Q=°,方程/（*）=2在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為為、2占，當(dāng)此［°』時(shí)，求d+W+x；的最大值;

L-1-+-1-

②若a=—3,/7=-2,函數(shù)N="”的零點(diǎn)分別為斗、23求入：后W的值。

高一數(shù)學(xué)參考答案

1-5：CABBD6-8：CDB

9.AC10.BCD11.CD12.ACD

12.ACD

A.在A(yíng)ABC中，AB=2fBC=AD=I,NA8C=60,由余弦定理可得

AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cos60=3-AB2=AC2+BC2?BClAC

9??，??O

,.?BC±AP,APCAC=A,.?.BC,平面APC,；BCU平面ABC,，平面APCJ_平面ABC,故A對(duì)。

B.取AC的中點(diǎn)E點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E點(diǎn)作所，AB于點(diǎn)F,；PA=PC,，PE,AC,

：平面APC_L平面ABC,平面APCn平面ABC=AC,,PEL平面ABC,

又?.?￡FJ_AB,.?.NPFE是二面角P-AB-C的平面角，在RtaPFE中,

PE=-,EF=—,tanNPFE=—=—

24EF3,故B錯(cuò)。

C.在RtaABC中，取AB的中點(diǎn)O',過(guò)。'點(diǎn)作PE的平行直線(xiàn)，

則三棱錐P-ABC的外接球的球心O在這條直線(xiàn)上，設(shè)外接球O的半徑為R,則

R2=-

算得4,故外接球。的表面積為5π,故C對(duì)。

,z_1cD/7_l√3l-√3

-

?>-Λβc—WSΔΛSCPE--×—×---

D.由PE，平面ABC,?32212

3

cosZΛ4B=-,

在aPAB中，PA=LPB=&43=2,由余弦定理得4

sinZPAB?—,S=-PA-ABsinZPAB=—_

4SPΛB24。設(shè)點(diǎn)C到平面APB的距離為d,由v％"AB-vVprsc

√21

d

可得7。故D對(duì)。

8√213

付乃

15,^19108-44

13.(-2,-4)14.316.

壯-吟§j26

I3I3

17.⑴k=6(5分)(2)（10分）

18.證明：(1)在正方形ABCD中，ADHBC,

又由ADU平面ADE,BCa平面ADE,

故BC//平面ADEo

VFBIIEDt同理可證FB//平面ADE,

又,：BCCBF=B,BC,BFU平面BCF,

，平面ADE〃平面BCF,?。?！?。。…。4分

又：EAu平面EAD,

EA//平面BCF?。。。。。。。。6分

(2)如圖，連接BD交Ae于O,連接OE。OF,設(shè)AB=ED=2FB=2,則A3=AD=AC=2

由EDJ_平面ABCD,ACU平面ABCD,

所以ED_LAC,又Aej_3￡>,且EDCBD=D,ED,BDU平面BDEF,

所以ACJ_平面BDEF,

又0E,OFU平面BDEF,所以ACJ_0E,AClOF,

所以NEOF是二面角E-AC一尸的平面角，。。.。。。。。9分

在三角形EOF中，OF=^°b'+FB'=

2222

OE=√0Z>+ED=√6,EF=y∣BD+(ED-FB)=3,

所以E尸=°爐+°尸，所以O(shè)E,°F,-11分

二面角E-AC-F是直二面角，即證平面EACL平面FAC?。。。。。。。12分

19解(1)Vsin2B=sing?2sin3cosB=SiHa

=2oosB=吧^=E=WncosB=-?

ItsB■3

Vc>b,?Be(0?7)

B-；,C-,。ooooooooooooooooS,分

(2)VA≡?,C=JB≡

；AACI+S?ABE=SIAIC

A1A1

2AC?AE?sin?+-AB?AE?sin—=~AC-AB-SinA

112cos2

?,一.,,

ABAC^AE

學(xué)=包,

S.lAE

>--√-I(-√-I--1-)=-*-√-S--s-√-3，

e?('Λ-ι)

S?ΛBE=?"°°12分

A

（1）證明：如圖所示，連接BD。

設(shè)PB=AB=AD=1，則8=2

V?ABD為等腰直角三角形

.?.AB=也

又NBOC=45,DC=2

.?.BC=√2

.?.BD工BC

又PBJ_平面BCD,尸3_LBC

???BC_L平面PBD

J_分

?,?BCPD??OOOOO4+√J

(2)方法一：空間向量法

如圖，以D為原點(diǎn)，DC方向?yàn)閄軸，D4方向?yàn)閥軸，8P方向?yàn)閆軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

PB=AB=AD=1，則8=2。

則各點(diǎn)坐標(biāo)為：D(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),P(1,1,1)-6分

假設(shè)存在，設(shè)BE=45C,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(I+】-Q+10)。

設(shè)“=(玉，M*1)和%=(々M，Z2)分別為平面pad和平面pde的法向量。

VDA^(010),AP=(1-0-1)

.佟巫=0即Iy=O

InT-AP=0tx?+z1=0

令“?,?≡-1°?,??=(l,0,-1)

VDP.=(Ill),DE=(λ+l-λ+l?O)

.(HtDP=0[χ+y≡+?=0

,pμπ3

??.DE=Ol(l+l)?+(-l+l)jra=O

8分

：平面PADj_平面PDE

?'?n~1∏7

、丸」

Λl+—=0：.3

λ→

42

.,.E(3,3,0)PE=(∣?-i?-l)

設(shè)直線(xiàn)PE與平面PAD夾角為θ,則:

??ra2√?

ln?lJ?11

2匹

所以，線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)E,使得平面PADL平面PDE,直線(xiàn)PE與平面PAD所成角的正弦值為“。

方法二：幾何法

假設(shè)存在，如圖，作BF_PD,垂足為F,連接EF

作FG-PD,垂足為F

?.?PD1BE,PDiBF

.?.PD_L平面FBE

."?FEIPD

又GF1PD

NGFE為二面角A一尸D-E的平面角。。。。。。。。。。。8分

ΛZ.GFE=90'

PB=1,BD=g,PD=6

在直角三角形PDB中，BP=PB?SinzDPB=f,PF=PByoszTPB=F

在直角三角形PAD中，AD=1,AP=。，PD=V3?GF=PF?IanzAPD=E

???作GGtIAB.垂足為G',PG=Tf=W=LAP

e?βzJkPD31

.?.GG,=-

1

設(shè)3E=x,XBG*≡?zGBE=135'

由余弦定理。BrF=G,B3+BEa-2G,B?M?∞135?=≡a+^*+∣

XGG'∕∕PB??GG,1G,E

：.GE3=GGTG,E*=xs+^x+∣

VEB1PD,EBILBD

，EB_L平面PDB

.?.EBlBF

.??EFr=EB:+BM=X：+三

??NGFE=9(Γ

...GF：+FE：=GE：

√∑

QEX=~~~

.*???X*+-?,X*+-~X+-解得：?OOOOOOOOO10分

■123

.??PE=嚀，EF=平

VEFVPD,平面PADJ_平面PDE

.,.EFJ_平面PAD

設(shè)直線(xiàn)PE與平面PAD夾角為仇貝∣J:sin6=,=ZE

PE1.XX

所以，線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)E,使得平面PAD，平面PDE,直線(xiàn)PE與平面PAD所成角的正弦值為乎…12

21.(1)Kx)=2#SmxCααt+αBSX-fh&="m??+<M2I

=2(苧rin2x+；cos2x)=2sin(2x+^

∕^(x)=工

若2,即疝⑵+：)=：

則iin(4x?中)=CM(?M+=CM2(2X+0=1—2dns^2x÷=1—2×ɑ)=g°OO5，分

(2)易知hθθ=2sin2χ,

根據(jù)題意，設(shè)t=Sinx+coot=<'2sin(x+j),

x∈θ,?

因?yàn)長(zhǎng)2」，所以：≤x+jWm

所以FWSm(X+Jw1,所以

所以原方程變?yōu)镮a+2(tc-l)+5=2t=+kt+3=0,l<t≤√∑,

令g(t)=2t：+kt+3,1≤t≤√2

Xe0,-

因?yàn)樵匠逃?個(gè)零點(diǎn)，而方程t=√7sin(x+在L2」至多兩個(gè)根,

所以且g(t)在l≤t<√2有兩個(gè)零點(diǎn)，。。。。。。。。。8