2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 7-1 基本立體圖形、空間幾何體的表面積與體積 學(xué)案

第七章立體幾何

第一節(jié)基本立體圖形、空間幾何體的表面積與體積

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述

現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)2知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用

公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題?3.能用斜二測(cè)法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱

柱及其簡(jiǎn)單組合體)的直觀圖.

必備知識(shí)夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

D1SP'

S

圖形?S

AB_________ABAB

底面互相一且_多邊形互相一

側(cè)棱一相交于但不一定相等延長(zhǎng)線交于

側(cè)面形狀______________,,,

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

I

I

I

圖形A

II

II

平行、相等且相交于

母線延長(zhǎng)線交于一

于底面

令鐘的一

軸截面全等的令等的_---

側(cè)面展開圖

2.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用畫法來(lái)畫，其規(guī)則是：

(1)“斜”：直觀圖中，V軸、y軸的夾角為45?；?35。.

(2)“二測(cè)"：圖形中平行于X軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的

線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的.

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

名稱_______________________mg__________________________

側(cè)面展開圖

S=_______

側(cè)面積公式SHttM=____Sm∣βM=____

4.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積

表面積體積

柱體（棱柱和圓柱）S表而就=S?i+2S?________Y=________

錐體（棱錐和麗廠

S喪面積=Sw÷5κ________V=________

v=∕s上+S下+小上S下）〃

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S襲面稅=S?(+5t?,÷Sτ

球_______________S=_______________________V=________

［常用結(jié)論］

1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論

（1）一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

（2）底面面積及高都相等的兩個(gè)同類兒何體的體積相等.

2.直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：

S直觀圖="s原圖形.

4

夯實(shí)雙基

1.思考辨析（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（）

（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（）

（3）用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.（）

（4）菱形的直觀圖仍是菱形.（）

2.（教材改編）已知圓錐的表面積等于⑵cπ?,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的

半徑為（）

A.1cmB.2cm

3

c?3cmd?Ξcm

3.（教材改編）如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱

錐的體積與剩下的幾何體體積的比為.

4.（易錯(cuò)）如圖，長(zhǎng)方體ABC。-AEC。中被截去一部分，其中EFG〃BC.則

剩下的幾何體是（）

A.棱臺(tái)B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

5.（易錯(cuò)）圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)12cm,寬8Cm的矩形,則這個(gè)圓柱的體積為

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一基本立體圖形

角度一結(jié)構(gòu)特征

例1下列命題正確的是（）

A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

C.正六棱錐的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)一定不相等

D.棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形

［聽課記錄］............................................................................

題后師說

辨別空間幾何體的兩種方法

鞏固訓(xùn)練1

下列說法正確的是（）

A.圓錐的底面是圓面，側(cè)面是曲面

B.用一張扇形的紙片可以卷成一個(gè)圓錐

C.一個(gè)物體上、下兩個(gè)面是相等的圓面，那么它一定是一個(gè)圓柱

D.圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線可能相交也可能不相交

角度二直觀圖

例2[2022?河南新鄉(xiāng)期末]在直角坐標(biāo)系中水平放置的直角梯形OABC如圖所示.已知。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2√2,O),B(2√2,2),C(0,6).在用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖中，四邊形

O'4'B'C的面積為()

A.4B.4√2C.8D.8√2

［聽課記錄］................

題后師說

用斜二測(cè)畫法畫幾何體的直觀圖，掌握線段的方向、長(zhǎng)度兩要素的變化規(guī)律即可；幾何

體的直觀圖和原幾何體的關(guān)系(形狀和數(shù)量關(guān)系)是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練2

[2023?河北張家口期末]如圖所示，矩形。35C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,

其中。A'=3,σc,=ι,則原圖形是()

A.面積為6√Σ的矩形

B.面積為平的矩形

C.面積為6√Σ的菱形

D.面積為平的菱形

角度三展開圖

例3[2023?廣東佛山期末]如圖，某圓柱的高為g,底面圓的半徑為√I,則在此圓柱側(cè)

面上，從圓柱的左下點(diǎn)A到右上點(diǎn)B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為.

［聽課記錄1

題后師說

多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開

圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀.

鞏固訓(xùn)練3

［2023?河北石家莊二中模擬］已知圓錐的底面半徑為百，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則

該圓錐的母線長(zhǎng)為()

A.3B.2√3

C.6D.4√3

角度四截面問題

例4［2023?遼寧錦州期末］已知正方體A88-4BιC∣Q∣,棱長(zhǎng)為2,E為棱BBl的中點(diǎn),

則經(jīng)過A∣,D,E三點(diǎn)的正方體的截面面積為()

A.-B.3√2

2

［聽課記錄］............................................................................

題后師說

(1)求解與截面有關(guān)問題的關(guān)鍵是確定截面的形狀，并從幾何體中獲取相關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)行

計(jì)算.

(2)作多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連

成截線，從而得到截面.

鞏固訓(xùn)練4

［2023?河南鄭州模擬］用一個(gè)平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是()

①等邊三角形②直角梯形③菱形④五邊形

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

題型二空間幾何體的表面積

例5(1)如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為“，沿圖1中對(duì)角面將它分割成兩個(gè)部分，拼成如圖

2的四棱柱，則該四棱柱的全面積為()

A.(8+2√2)a2B.(2+4√2)02

C.(4+2√2)a2D.(6~4√2)02

(2)［2023?湖北騰云聯(lián)盟］已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為2,下底面邊長(zhǎng)4,高為3,則其表

面積為()

A.36B.12√10+20

C.12√13+20D.48

(3)［2023?遼寧沈陽(yáng)二中模擬］半徑為3的金屬球在機(jī)床上通過切割，加工成一個(gè)底面半

徑為2√Σ的圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為.

［聽課記滎J....................................................................................................................................................................................

題后師說

求解幾何體表面積的策略

鞏固訓(xùn)練5

(I)已知圓臺(tái)上底面的半徑為1,下底面的半徑為2,高為VL則該圓臺(tái)的側(cè)面積為()

A.V2πB.√3πC.3√2πD.3√3π

(2)[2023?遼寧協(xié)作體]已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2,側(cè)面有兩個(gè)是等腰直角三角形,

底面等腰三角形底上的高為遙，則這個(gè)三棱錐的表面積為()

A.4+3√3+√15B.4+√3+2√15

C.4+√3+√15D.4+2√3+√15

(3)[2O23?山東濰坊期末]已知圓錐的高為1,軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面

積為.

題型三空間幾何體的體積

例6(1)若一個(gè)圓臺(tái)的高為百，母線長(zhǎng)為2,側(cè)面積為6π,則該圓臺(tái)的體積為()

A卑B.旭

33

C.5V3πD.7√3π

(2)[2023?重慶模擬]如圖，四邊形ABC。中，AB=AD=CD=I,BA±AD,BDYCD,將

四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A-BC。,使平面平面BCD,則四面體A1-BCD

的體積為()

⑶

如圖中的多面體的底面是邊長(zhǎng)為“的正方形，上面的棱平行于底面，其長(zhǎng)為2“，其余

的棱長(zhǎng)都是α已知"=6√Σ則這個(gè)多面體的體積是.

［聽課記錄］

題后師說

求空間幾何體的體積的三種方法

鞏固訓(xùn)練6

(l)［2023?江蘇南通模擬］已知圓錐的軸截面是斜邊為的直角三角形,該圓錐的體積為

)

C.√3πD.3V3π

(2)［2023?浙江麗水期末］《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如

下的問題：“今有芻費(fèi)，下廣三丈，袤六丈，上袤四丈，無(wú)廣，高一丈.問積幾何？”意思

為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬Ao=3丈，長(zhǎng)AB=6丈，上棱

EF=4丈,E/與平面平行，EF與平面48CO的距離為1丈，則它的體積是()

A.8立方丈B.6立方丈

C.5立方丈D.4立方丈

(3)

如圖，已知三棱柱ABC-A∣B∣G的體積為匕點(diǎn)用，N分別為棱A4∣,CCl的中點(diǎn)，則

棱錐B-AMNC的體積為

第七章立體幾何

第一節(jié)基本立體圖形、空間幾何體的表面積與體積

必備知識(shí)?夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.(1)平行全等平行平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形

(2)垂直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)

2.斜二測(cè)一半

3.2πr∕πrlπ(r+r,)/

4.S底由為底/4π∕?2?3

夯實(shí)雙基?

1.答案：(I)X(2)×(3)×(4)×

2.解析：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,母線長(zhǎng)為/,

Y側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，

π∕=2πr<=^∕=2r,

??,圓錐的表面積為12π,

πr÷πr∕=3πr2=12π,Λr=2,

故圓錐的底面半徑為2cm.

答案：B

3.解析：設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為α,b,c,它截出棱錐的體積為?=i×∣×

-a×-b×-C=—abc,剩下的幾何體的體積Vi=abc——abc=—abe,所以V∣:L=I：47.

222484848

答案:1?47

4.解析：根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.

故選C.

答案：C

5.解析：當(dāng)圓柱的高為8cm時(shí)，r=gcm,V=π×φ2×8=^cm3；當(dāng)圓柱的高為

12Cm時(shí)，r=?cm,V=π×(^)2×12=^cm3.

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析:

有兩個(gè)面平行，其余各面有相鄰的公共邊且都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱，

如圖所示，A、B都錯(cuò)；

對(duì)C,正六棱錐的底面為正六邊形，其底面最長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)度為底面邊長(zhǎng)的兩倍，又該

對(duì)角線和相交的兩條側(cè)棱要構(gòu)成三角形，故側(cè)棱一定大于底面邊長(zhǎng)，C對(duì)；

對(duì)D,棱柱的側(cè)面不一定是全等的平行四邊形，D錯(cuò).

故選C.

答案:C

鞏固訓(xùn)練1解析：對(duì)于A,由圓錐的性質(zhì)知：圓錐的底面為圓面，側(cè)面為曲面，A正

對(duì)于B,一張扇形的紙片只能卷出圓錐的側(cè)面，不包含底面，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若兩個(gè)相等的圓面不平行，則該幾何體不是圓柱，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,圓臺(tái)是由平行于圓錐底面的平面截圓錐所得，則任意兩條母線的延長(zhǎng)線必然相

交于一點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

故選A.

答案：A

例2解析：

如圖，畫出直觀圖，過點(diǎn)4作ATLLO，C,垂足為D

因?yàn)镺'C'=[θC=3,∕C'O'A'=NB'A'x=45°,

所以。O'D=A'D=2,C'D=i=A'B',則4O=B'C=2,

故四邊形OgbC的面積為S=(I+；)X2=4.

故選A.

答案：A

鞏固訓(xùn)練2解析：

∕O'0'4'=45°,Oe=1,所以O(shè)77=√Σ,

故在原圖中，。。=2四，

OC=√OD2+CD2=√8∏=3,

所以四邊形OABC為菱形(如圖所示)，0A=3,

則面積為6√2.

故選C.

答案：C

例3解析：

如圖，將圓柱側(cè)面展開,

則在圓柱側(cè)面的展開圖上，最短路徑的長(zhǎng)度為AB=J(岳)2+(√i3)2=√13+3π2.

答案：√13+3π2

鞏固訓(xùn)練3解析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,由底面半徑為廠=百，側(cè)面展開圖為一個(gè)半

圓，

所以2πr=n∕,

所以該圓錐的母線長(zhǎng)為∕=2r=2√5.

故選B.

答案：B

例4解析：

nc

正方體ABCQ-4BlCIQl中，AQ〃平面CBBlC∣,

則平面AlDE與平面CBBlCl的唯一交線與AlO平行.

取BC中點(diǎn)F,連接EEDF,AiE,AiD,

則四邊形AQFE即為經(jīng)過A”D,E三點(diǎn)的正方體的截面.

梯形AQFE中，AlD∕∕EF,4O=2√Σ,EF=A↑E=DF=ν5,

則梯形的高為J(√5)2-=苧，

則梯形AiZ)FE的面積為*√Σ+2√Σ)x/=(

故選A.

答案：A

鞏固訓(xùn)練4解析：如圖，用一個(gè)平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是等邊三角形,

菱形，五邊形.

故選C.

正三角形菱形五邊形

答案:c

例5解析：(1)由題意，拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個(gè)截面，減少了原來(lái)

兩個(gè)正方形面，

由于截面為矩形，長(zhǎng)為應(yīng)”，寬為”,所以面積為√Σ42,

所以拼成的幾何體的表面積為4/+2e/=(4+2夜)/.

故選C.

(2)設(shè)正四棱臺(tái)上、下底面的中心為。，0∣,Co為側(cè)面上的斜高，

過C作CELOQ交邊OiD于點(diǎn)E,

所以。ιθ=3,OC=L0?D=2,

所以CD=√9T1=√1O,

22

所以正四棱臺(tái)的上、下底面的面積為：SI=2+4=20,

1

正四棱臺(tái)的側(cè)面積為：S2=^×√10×4=12√10,

則其表面積為：S=S∣+S2=20+12√IU.

故選B.

(3)要使圓柱的體積最大，即圓柱的高最大，___________

所以僅當(dāng)圓柱上下底面是金屬球的截面時(shí)高最大，為仁2卜-(2&)2=2,

所以側(cè)面積為S=2×2√2π×2=8√2π.

答案：(I)C(2)B(3)8√2π

鞏固訓(xùn)練5解析:(1)設(shè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為打，小高為〃，母線長(zhǎng)為/,則

22

∕=√(r2-r1)+h=√3,

因此圓臺(tái)的側(cè)面積S=JtS+rθ∕=3√可π.

故選D.

(2)結(jié)合題目邊長(zhǎng)關(guān)系，三棱錐如圖所示，AB=AC=AD=2,CE=√5,由題意AABC,

?ACD是等腰直角三角形，則fiC=CD=2√2,BE=J(2√?2-(√5)2=√3,βD=2√3,

AE-J22—(V3)=1,則表面積為SAABC+SA*CO+SAA8O+SABe￡>=：X2X2+:X2X2+

∣×2√?×1+∣×2√3X√5=4+√3+√15.

2故選C.2

(3)圓錐的高為1,軸截面是等腰直角三角形.

則圓錐的底面直徑為2,母線長(zhǎng)為√Σ,

故該圓錐的側(cè)面積為π∕√=√2π.

答案：(I)D(2)C⑶√∑n

例6解析：(1)設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為七下底面半徑為匕母線為/,

則圓臺(tái)的側(cè)面積S=π(r,+r)∕=6π,可得r,+r=3,

又因?yàn)閳A臺(tái)的高力為√5,可知r—，=J22-(√5)2=I,故有〃=],「=2,

圓臺(tái)的體積Vffl6=∣πΛ(r,2+∕?7?+r2)=iπ×√3X(l+2+4)=?.

故選B.

(2)由題意，平面AZOL平面28,平面A^β。n平面8C。=B￡>,

又BDLCD,C。U平面BCD,

所以CO_L平面A'BD,

因?yàn)锳