新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修5習(xí)題第二章解三角形檢測

第二章檢測(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍,那么它的頂角的余弦值為()A.518 B.34 C.32解析:由題意,設(shè)底邊長為a,則腰長為2a,設(shè)頂角為θ,由余弦定理,得cosθ=(2答案:D2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2+c2b2=3ac,則角B的正切值為()A.33 B.3 C.33 D解析:由a2+c2b2=3ac,得cosB=a2∴sinB=12,∴tanB=sinBcosB答案:A3.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(3bc)·cosA=acosC,則cosA的值等于()A.32 B.33 C.34解析:由正弦定理,得3sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA,∴3sinBcosA=sin(A+C)=sinB.∵sinB≠0,∴3cosA=1.∴cosA=33答案:B4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,b=3,C=135°,則△ABC的面積等于()A.322 B.32 C.3 D.解析:△ABC的面積等于12absinC=12×2×3×答案:A5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,b=22,且三角形有兩解,則A的范圍是()A.0,π6C.0,π2解析:由題設(shè)知a>bsinA,∴sinA<ab∵a<b,∴0<A<π4,即A∈0,π4答案:B6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.不確定解析:∵asin∴sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,即sin(B+C)=sin2A,即sinA=1.∴A=π2.故選A答案:A7.已知△ABC的面積為32,AC=3,∠ABC=π3,則△ABC的周長等于(A.3+3 B.33C.2+3 D.3解析:由余弦定理,得b2=a2+c22accosB,即a2+c2ac=3.∵△ABC的面積為12acsinπ3=32∴a2+c2+2ac=9,∴a+c=3,即a+c+b=3+3,故選A.答案:A8.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(ba,ca).若p∥q,則C的大小為()A.π6 B.π3 C.π2解析:∵p∥q,∴(a+c)(ca)=b(ba).∴c2a2=b2ab,∴ab=b2+a2c2.由余弦定理,得cosC=a2∴C=π3答案:B9.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若acosA=bsinB,則sinAcosA+cos2B等于()A.12 B.12 C.1 D解析:由正弦定理,得asinA=b∴a=2RsinA,b=2RsinB,∴acosA=bsinB可化為sinAcosA=sin2B.∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.答案:D10.在△ABC中,B=60°,AC=3,則AB+2BC的最大值為()A.2 B.27 C.7 D.72解析:由正弦定理,得ABsin∴AB=2sinC,BC=2sinA.∵A+C=120°,∴AB+2BC=2sinC+4sin(120°C)=2(sinC+2sin120°cosC2cos120°sinC)=2(sinC+3cosC+sinC)=2(2sinC+3cosC)=27sin(C+α),其中tanα=32,α是第一象限角∵0°<C<120°,且α是第一象限角,∴AB+2BC有最大值27.答案:B11.如圖,l1,l2,l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線,l1與l2間的距離是1,l2與l3間的距離是2,等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在l1,l2,l3上,則△ABC的邊長是()A.23 B.4C.3174 D解析:如圖,設(shè)AB=a,則由已知,得AD=13a在△ABD中,由余弦定理,知cosA=12=A由S△ABC=12BD·3=3a24,代入①式,得a=221答案:D12.在△ABC中,A=60°,且最大邊長和最小邊長是方程x27x+11=0的兩個(gè)根,則第三邊的長為()A.2 B.3 C.4 D.5解析:由A=60°,不妨設(shè)△ABC中最大邊與最小邊分別為b,c,故b+c=7,bc=11.由余弦定理,得a2=b2+c22bccos60°=(b+c)23bc=723×11=16.∵a>0,∴a=4.答案:C二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,若cosB=45,a=10,△ABC的面積為42,則b+asinA的值等于答案:16214.已知△ABC的三邊長成公比為2的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為.

解析:依題意,設(shè)△ABC三邊長分別為a,2a,2a(a>0),則最大邊2a所對角的余弦值為a2+(答案:215.在Rt△ABC中,C=90°,且A,B,C所對的邊a,b,c滿足a+b=cx,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

解析:x=a=sinA+cosA=2sinA+∵A∈0,π2,∴π∴22<sinA+π4≤1,即x∈答案:(1,2]16.已知a,b,c是△ABC的三邊,S是△ABC的面積,若a=4,b=5,S=53,則c的值是.

解析:由題意得S=12absinC所以53=12×4×5sinC,即sin所以cosC=±12因?yàn)閏2=a2+b22abcosC,所以c2=42+522×4×5×12或c2=42+52+2×4×5×12.所以c=答案:21三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;(2)若C=2π3,求a(1)證明:由題意得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B.因?yàn)閟inB≠0,所以sinA+sinC=2sinB.由正弦定理,得a+c=2b,即a,b,c成等差數(shù)列.(2)解:由C=2π3,c=2ba及余弦定理,得(2ba)2=a2+b2+ab,即5ab3b2=0,所以18.(12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b+c)(ab+c)=ac.(1)求B的大小;(2)若sinAsinC=3-14,求解:(1)因?yàn)?a+b+c)(ab+c)=ac,所以a2+c2b2=ac.由余弦定理,得cosB=a2+c所以B=120°.(2)由(1)知A+C=60°,所以cos(AC)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=12+2×3故AC=30°或AC=30°,所以C=15°或C=45°.19.(12分)△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知cosB=33,sin(A+B)=69,ac=23,求sinA和c解:在△ABC中,由cosB=33,得sinB=6因?yàn)锳+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=69因?yàn)閟inC<sinB,所以C<B,可知C為銳角,所以cosC=53因此sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=63由asinA=csinC,可得a=又ac=23,所以c=1.20.(12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA,且B為鈍角.(1)證明:BA=π2(2)求sinA+sinC的取值范圍.(1)證明:由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=又B為鈍角,因此π2+A∈π2,π,故B=π2+A,(2)解:由(1)知,C=π(A+B)=π2A+π2=π22A>0,所以A∈0,π4,于是sinA+sinC=sinA+sinπ2-2A=sinA+cos因?yàn)?<A<π4,所以0<sinA<2因此22<2sin由此可知sinA+sinC的取值范圍是2221.(12分)某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度(如圖所示),A,B,C三地位于同一水平面上,在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射,觀測點(diǎn)A,B兩地相距100m,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚217s.在A地測得該儀器至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30°,求該儀器的垂直彈射高度CH(聲音的傳播速度為340m/s)解:由題意,設(shè)AC=xm,則BC=x217×340=(x40)m在△ABC中,由余弦定理,得BC2=BA2+CA22BA·CA·cos∠BAC,即(x40)2=x2+10000100x,解得x=420.在△ACH中,AC=420m,∠CAH=30°,∠ACH=90°,所以CH=AC·tan∠CAH=1403(m).答:該儀器的垂直彈射高度CH為1403m.22.(12分)如圖所示,某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動賽道.賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的圖像,且圖像的最高點(diǎn)為S(3,23);賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽運(yùn)動員的安全,限定∠MNP=120°.(1)求A,ω的值和M,P兩點(diǎn)間的距離;(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì),才能使折線段MNP最長?解:(1)由題意,得A=23,T4∵T=2πω,∴