專題04軌跡方程的求法（講義）教師版

專題04軌跡方程的求法1.動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題解題策略一般有以下幾種：直譯法：一般步驟為：①建系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)點(diǎn),設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)；③列式,列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式；④代換,依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)；⑤證明,證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.(2)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；(4)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程．2.解軌跡問(wèn)題注意：（1）求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說(shuō)明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).題型【一】、定義法求曲線的軌跡方程定義法：定義法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。例1、（2022上·安徽蕪湖·高二校考期末）已知、，若，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義求出、，即可求出，從而得到橢圓方程.【詳解】因?yàn)?、且，由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且、，解得，，所以點(diǎn)的軌跡方程是.故選：B例2、（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系分析可得，結(jié)合橢圓的定義分析求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；因?yàn)?，可知圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，顯然圓心不能與點(diǎn)重合，設(shè)圓的半徑為，由題意可知：，則，可知點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)除外），且，可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.1．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【答案】C【分析】根據(jù)方程表示的幾何意義結(jié)合拋物線定義，即可判斷出答案.【詳解】方程變形為，表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，故選：C.2．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期中）已知圓，為圓內(nèi)一點(diǎn)，將圓折起使得圓周過(guò)點(diǎn)（如圖），然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續(xù)下去將會(huì)得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】記點(diǎn)關(guān)于折痕的對(duì)稱點(diǎn)為A，折痕相交于點(diǎn)，分析的值，結(jié)合橢圓定義可解.【詳解】由題知，，記點(diǎn)關(guān)于折痕的對(duì)稱點(diǎn)為A，折痕相交于點(diǎn)，則點(diǎn)A在圓周上，折痕為線段的垂直平分線，如圖所示：則有，可知，所以點(diǎn)的軌跡是以為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)軸，焦距，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，即折痕圍成輪廊的圓錐曲線的方程為.故選：.3．（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，若動(dòng)圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切．(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)直線l與（1）中軌跡C相交于A，B兩點(diǎn)，若Q為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．【答案】(1)(2).【分析】（1）利用兩圓內(nèi)外切的充要條件可求出動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離，再運(yùn)用橢圓的定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，最后對(duì)軌跡上的特殊點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)，去除不符題意的點(diǎn)即得；（2）利用橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題運(yùn)用“點(diǎn)差法”即可求出弦的斜率即得直線方程.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，動(dòng)圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切，，且，于是，

動(dòng)圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，故，，橢圓方程為

又因當(dāng)M點(diǎn)為橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，動(dòng)圓M不存在，故不合題意舍去，故動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為；（2）設(shè)，由題意，顯然，則有，，兩式作差可得，即有，又Q為線段AB的中點(diǎn)，則有，代入即得直線l的斜率為，

直線l的方程為，整理可得直線l的方程為.4．（2023上·重慶黔江·高二重慶市黔江中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓P以點(diǎn)P為圓心，且與圓外切，與圓內(nèi)切.(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)為軌跡C上任意一點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切可得動(dòng)圓圓心滿足的幾何性質(zhì)，再根據(jù)橢圓的定義可得的軌跡方程.（2）根據(jù)點(diǎn)中x,y的關(guān)系，代入消去x，轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次函數(shù)求最值.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，由題意有，，消r得到：，動(dòng)圓圓心P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，故，，故軌跡的方程為：.（2）因?yàn)辄c(diǎn)為（1）所求軌跡上任意一點(diǎn)，則，且，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值為.題型【二】、直接法求曲線的軌跡方程直直接法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。例3、（2023上·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若的長(zhǎng)為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)，即得答案；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合題意列式計(jì)算，求得k的值，即可得答案.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，得，化簡(jiǎn)得，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）軌跡C為圓心為，半徑為2的圓，由于直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，故到的距離為，則，解得，此時(shí)，滿足直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，故直線的方程為或，即或.例4、（2021上·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)S是圓上任意一點(diǎn)，過(guò)S作x軸的垂線，垂足為H，點(diǎn)T滿足，記點(diǎn)T的軌跡為C．(1)求軌跡C的方程；(2)設(shè)軌跡C與x軸的交點(diǎn)分別為，，與y軸正半軸的交點(diǎn)為B，M是軌跡C上任意一點(diǎn)，且M不在坐標(biāo)軸上．若直線與直線交于點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn)Q．試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)為等腰三角形，理由見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系得到，代入中，求出軌跡方程；（2）先得到，設(shè)直線方程為，聯(lián)立求出，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立求出，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)得到，并求出，得出的形狀.【詳解】（1）設(shè)，則，設(shè)，因?yàn)?，則，故，，將代入中，得，軌跡C的方程為；（2）為等腰三角形，理由如下：由（1）可知，，設(shè)，則，則，，故，設(shè)直線方程為，直線方程為，聯(lián)立與，可得，，故，直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立與，可得，，故，可以得到，且，則，又因?yàn)?，故，其中，故，故，綜上，為等腰三角形.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：圓錐曲線中點(diǎn)弦相關(guān)結(jié)論及其推廣：橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，其中原點(diǎn)為，則，推廣：已知橢圓的兩頂點(diǎn)分別為，則橢圓上一點(diǎn)（除兩點(diǎn)），滿足；雙曲線與直線相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，其中原點(diǎn)為，則，推廣：已知雙曲線的兩頂點(diǎn)分別為，則雙曲線上一點(diǎn)（除兩點(diǎn)），滿足.1．（2023上·福建泉州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線，，動(dòng)點(diǎn)滿足，且到和的距離之積為.(1)求的軌跡的方程；(2)已知，過(guò)的動(dòng)直線與交于不同兩點(diǎn)，，若線段上有一點(diǎn)滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，化簡(jiǎn)后得到軌跡方程；（2）直線斜率不存在時(shí)，不合要求，設(shè)出的方程為，聯(lián)立，根據(jù)根的判別式得到的取值范圍，并設(shè)，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)得到方程，分三種情況考慮，表達(dá)出，求出三種情況下的取值范圍或最值，得到答案.【詳解】（1）到的距離為，又，化簡(jiǎn)得，即；（2）當(dāng)過(guò)的直線斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，舍去，故直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，則，解得，設(shè)，，，則，由得，，當(dāng)，即，解得，此時(shí)分別位于雙曲線兩支上，故，故，即，因?yàn)?，所以，此時(shí)，即兩點(diǎn)重合，因?yàn)椋詾槎ㄖ?；?dāng)，即時(shí)，如圖所示，此時(shí)分別位于雙曲線右支上，故，故，即，因?yàn)椋?，解得，，故，令，因?yàn)?，所以，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)分別位于雙曲線左支上，故，故，即，同理可得，令，因?yàn)?，所以，，則，令，，則在恒成立，故在單調(diào)遞增，，因?yàn)?，所以，綜上，因?yàn)榍遥缘淖钚≈禐?【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．題型【三】、參數(shù)法求曲線的軌跡方程參數(shù)法：參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），進(jìn)而通過(guò)消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。例5、（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二雅禮中學(xué)校考期中）如圖，設(shè)P是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影，Q點(diǎn)滿足（）．(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；(2)若，設(shè)點(diǎn)，A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線l過(guò)點(diǎn)且與曲線C交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，設(shè)直線AM與直線BN交于點(diǎn)T，設(shè)直線AM的斜率為，直線BN的斜率為．（i）求證：為定值；（ii）求證：存在兩條定直線、，使得點(diǎn)T到直線、的距離之積為定值．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用給定的向量關(guān)系，借助坐標(biāo)代換法求出軌跡方程.（2）（i）求出曲線C的方程，并分別與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量共線計(jì)算即得；（ii）由（i）的結(jié)論求出點(diǎn)的軌跡方程，借助反比例函數(shù)圖象確定直線、即可計(jì)算得解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，，由，得，，由P是上的動(dòng)點(diǎn)，得，即有，整理得，所以點(diǎn)Q的軌跡C的方程為.（2）（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，曲線C的方程為，顯然點(diǎn)，在曲線C上，設(shè)，直線方程為，直線方程為，由，消去y得，則，，由，消去y得，則，，令點(diǎn)為，，而點(diǎn)共線，即有，，整理得，，化簡(jiǎn)得，即，觀察圖形知，直線的斜率同號(hào)，即，于是，即，所以為定值為定值3.（ii）設(shè)，則，由（i）知，即，整理得，顯然函數(shù)的圖象是函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位而得，函數(shù)的圖象是以x軸、y軸為漸近線的雙曲線，因此函數(shù)的圖象，即點(diǎn)的軌跡是以直線為漸近線的雙曲線，此雙曲線上任意點(diǎn)到直線的距離分別為，顯然，令直線分別為，所以存在兩條定直線、，使得點(diǎn)T到直線、的距離之積為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．例6、（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，y軸同側(cè)的兩點(diǎn)P和Q分別在直線和上，且，記PQ的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解曲線C的方程為（2）將代入雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式求解面積的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】（1）由于點(diǎn)P和Q分別在直線和上，所以可設(shè)，，由，得，所以，根據(jù)點(diǎn)P，Q在y軸同側(cè)，得，所以．設(shè)，則于是得，即，故曲線C的方程為．（2）設(shè)，，把代入，得，故，，，所以，又點(diǎn)O到直線的距離，所以的面積令，則，令，則，因?yàn)?，所以，由，得，由，得，由，得，?dāng)且僅當(dāng)，即，即，即時(shí)等號(hào)成立，故面積的最小值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決解析幾何中與面積有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的一般步驟：一是求出面積的表達(dá)式（常用直接法或分割法）；二是明確自變量及自變量的限制條件（如方程根的判別式大于0等）；三是利用配方法、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等求出面積的最值或取值范圍．1．（2023上·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)m，n滿足.令，，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.(1)求E的方程，并說(shuō)明E是什么曲線；(2)過(guò)點(diǎn)作相互垂直的兩條直線和，和與E分別交于A、B和C、D，證明：.【答案】(1)，雙曲線(2)證明見解析【分析】（1）由題意消去后求解，（2）由條件設(shè)出和方程，與雙曲線方程聯(lián)立后由弦長(zhǎng)公式求解后證明．【詳解】（1）由題意知，故，所以E的方程為.由方程得，，所以E是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的等軸雙曲線.（2）證明：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，則AB為通徑，故；為x軸，此時(shí)為實(shí)軸長(zhǎng)，故，所以.當(dāng)直線不垂直x軸，設(shè)：，：，，與E聯(lián)立方程，消去x并整理得，因?yàn)榕cE交于兩點(diǎn)，故，此時(shí)，所以，同理，所以.2．（2024上·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）圓：與軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于兩點(diǎn)，是圓與軸垂直非直徑的弦，直線與直線交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角確定的直線稱為定向直線．是否存在不過(guò)點(diǎn)的定向直線，當(dāng)直線與軌跡交于時(shí)，；若存在，求直線的一個(gè)方向向量；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）設(shè)出后，表示出直線、的方程即可（2）先討論傾斜角為90°的情況，傾斜角不為90°時(shí)先設(shè)出直線方程，聯(lián)立后結(jié)合韋達(dá)定理和，運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算即可得解【詳解】（1）由題意得，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為所以軌跡的方程為題型【四】代入法（相關(guān)點(diǎn)法）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。例7、（2022上·甘肅隴南·高二?？计谀┮阎谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn).(1)若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；(2)過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，若的面積為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)與頂點(diǎn)坐標(biāo)可得橢圓方程，再利用相關(guān)點(diǎn)法可求得點(diǎn)的軌跡方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不成立，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而可表示面積，列方程即可解得.【詳解】（1）由已知得橢圓的短半軸，焦半距，則長(zhǎng)半軸，又橢圓的焦點(diǎn)軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，由，得，由點(diǎn)在橢圓上，即得，線段中點(diǎn)的軌跡方程是；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)，因此的面積，不成立；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)該直線方程為，聯(lián)立方程組，得，，則，，所以，又點(diǎn)到直線的距離，的面積，即，解得.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．例8、（2023上·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與直線交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)【分析】（1）由相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程即可；（2）先由特殊位置確定定點(diǎn)在軸上，設(shè)定點(diǎn)，由相切求出切點(diǎn)滿足的關(guān)系式，再由垂直的坐標(biāo)條件求解.【詳解】（1）設(shè)，則，由題意線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，知，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線方程為：，直線的方程為：，令，得，即，由得，因?yàn)樵趻佄锞€上，即，則，化簡(jiǎn)得，由題意知不重合，故，所以曲線的方程為（2）由（1）知曲線的方程為，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在特殊位置時(shí)，兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故要使得，則點(diǎn)在軸上．故設(shè)，曲線的方程為，求導(dǎo)得，所以切線的斜率，直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)，使得恒成立．1、雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，∴在已知雙曲線方程中，∴∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，∵存在，∴由三角形重心坐標(biāo)公式有，即?！撸唷Ｒ阎c(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有即所求重心的軌跡方程為：。題型【五】、交軌法交軌法：交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這種問(wèn)題通常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。例9、（2023上·北京·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線的傾斜角為，求直線的方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）由過(guò)動(dòng)點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，可得，繼而由可得，列式化簡(jiǎn)即可得到動(dòng)點(diǎn)的