高一平面向量講義

/平面向量講義§2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念1．向量：既有，又有的量叫向量．2．向量的幾何表示：以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量記作．3．向量的有關(guān)概念：(1)零向量：長度為的向量叫做零向量，記作．(2)單位向量：長度為的向量叫做單位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共線向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共線向量．①記法：向量a平行于b，記作．②規(guī)定：零向量與平行．考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念例1判斷下列命題是否正確，并說明理由．①若a≠b，則a一定不與b共線；②若\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，則A、B、C、D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③在平行四邊形中，一定有\(zhòng)o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))；④若向量a與任一向量b平行，則a＝0；⑤若a＝b，b＝c，則a＝c；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.變式訓(xùn)練1判斷下列命題是否正確，并說明理由．(1)若向量a與b同向，且>，則a>b；(2)若向量＝，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)對于任意＝，且a與b的方向相同，則a＝b；(4)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反．考點(diǎn)二向量的表示方法例2一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50°走了200到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))；(2)求\o(,\s\6(→))|.考點(diǎn)三相等向量與共線向量例3如圖所示，O是正六邊形的中心，且\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，\o(,\s\6(→))＝c.(1)與a的模相等的向量有多少個(gè)？(2)與a的長度相等，方向相反的向量有哪些？(3)與a共線的向量有哪些？(4)請一一列出與a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的線性運(yùn)算1．向量的加法法則(1)三角形法則如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，則向量叫做a與b的和(或和向量)，記作，即a＋b＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝.上述求兩個(gè)向量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則．對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝＋＝.(2)平行四邊形法則如圖所示，已知兩個(gè)不共線向量a，b，作\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，則O、A、B三點(diǎn)不共線，以，為鄰邊作，則對角線上的向量＝a＋b，這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則．2．向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝.3.相反向量(1)定義：如果兩個(gè)向量長度，而方向，則稱這兩個(gè)向量是相反向量．(2)性質(zhì)：①對于相反向量有：a＋(－a)＝.②若a，b互為相反向量，則a＝，a＋b＝.③零向量的相反向量仍是．4.向量的減法(1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的．(2)作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，則向量a－b＝.如圖所示．(3)幾何意義：如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為，被減向量的終點(diǎn)為的向量．例如：\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝.5．向量數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)，這種運(yùn)算叫做向量的，記作，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λ＝.(2)λa(a≠0)的方向\b\\{\\(\a\4\\1(當(dāng)時(shí)，與a方向相同,當(dāng)時(shí)，與a方向相反))；特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，0a＝或λ0＝.6．向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1)λ(μa)＝.(2)(λ＋μ)a＝.(3)λ(a＋b)＝.特別地，有(－λ)a＝＝；λ(a－b)＝.7．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使．8．向量的線性運(yùn)算向量的、、運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝.考點(diǎn)一運(yùn)用向量加法法則作和向量例1如圖所示，已知向量a、b，求作向量a＋b.變式訓(xùn)練1如圖所示，已知向量a、b、c，試作和向量a＋b＋c.考點(diǎn)二運(yùn)用向量加減法法則化簡向量例2化簡：（1）\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))；(2)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))；(3)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)).（4）(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))－(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))．(5)(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))－(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))；（6）(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))－(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))．變式訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形中，O是和的交點(diǎn)．(1)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝；(2)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝；(3)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝；(4)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝.變式訓(xùn)練3如圖所示，O是平行四邊形的對角線、的交點(diǎn)，設(shè)\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，\o(,\s\6(→))＝c，求證：b＋c－a＝\o(,\s\6(→)).考點(diǎn)三向量的共線例3設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝－e1＋2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝\f(1,2)變式訓(xùn)練4已知△的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，且\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，則()A．P在△內(nèi)部B．P在△外部C．P在邊上或其延長線上D．P在邊上考點(diǎn)四：三點(diǎn)共線例4兩個(gè)非零向量a、b不共線．(1)若\o(B,\s\6(→))＝a＋b，\o(C,\s\6(→))＝2a＋8b，\o(D,\s\6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)求實(shí)數(shù)k使＋b與2a＋共線．變式訓(xùn)練5已知向量a、b，且\o(,\s\6(→))＝a＋2b，\o(,\s\6(→))＝－5a＋6b，\o(,\s\6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D變式訓(xùn)練6已知平面內(nèi)O，A，B，C四點(diǎn)，其中A，B，C三點(diǎn)共線，且\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))，則x＋y＝.§2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則對于這一平面內(nèi)的向量a，實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝.(2)基底：把的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)向量的一組基底．2.兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個(gè)和b，作\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，則＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a與b的夾角．①范圍：向量a與b的夾角的范圍是．②當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與.③當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與.(2)垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作．3．平面向量的坐標(biāo)表示(1)向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y使得a＝，則叫作向量a的坐標(biāo)，叫作向量的坐標(biāo)表示．(3)向量坐標(biāo)的求法：在平面直角坐標(biāo)系中，若A(x，y)，則\o(,\s\6(→))＝，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則\o(,\s\6(→))＝.4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝，即兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝，即兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．5．兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)當(dāng)a∥b時(shí)，有．(2)當(dāng)a∥b且x2y2≠0時(shí)，有．即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例．6．若\o(P1P,\s\6(→))＝λ\o(2,\s\6(→))，則P與P1、P2三點(diǎn)共線．當(dāng)λ∈時(shí)，P位于線段P1P2的內(nèi)部，特別地λ＝1時(shí)，P為線段P1P2的中點(diǎn)；當(dāng)λ∈時(shí)，P位于線段P1P2的延長線上；當(dāng)λ∈時(shí)，P位于線段P1P2的反向延長線上．考點(diǎn)一對基底概念的理解例1如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則下列說法中不正確的是()①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(λ，μ)有無窮多個(gè)；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②變式訓(xùn)練1設(shè)e1、e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是．(寫出所有滿足條件的序號)考點(diǎn)二用基底表示向量例2如圖，梯形中，∥，且＝2，M、N分別是和的中點(diǎn)，若\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b試用a，b表示\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→)).變式訓(xùn)練2如圖，已知△中，D為的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為的三等分點(diǎn)，若\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，用a，b表示\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→)).考點(diǎn)三平面向量基本定理的應(yīng)用例3如圖所示，在△中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且＝2，與相交于點(diǎn)P，求證：∶＝4∶1.變式訓(xùn)練3如圖所示，已知△中，點(diǎn)C是以A為中點(diǎn)的點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，\o(,\s\6(→))＝2\o(,\s\6(→))，和交于點(diǎn)E，設(shè)\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b.(1)用a和b表示向量\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))；(2)若\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．考點(diǎn)四平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4已知平面上三點(diǎn)A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))；(2)\o(,\s\6(→))＋2\o(,\s\6(→))；(3)\o(,\s\6(→))－\f(1,2)\o(,\s\6(→)).變式訓(xùn)練4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)\f(1,2)a－\f(1,3)b.考點(diǎn)五平面向量的坐標(biāo)表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，試用a，b表示c.變式訓(xùn)練5設(shè)i、j分別是與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐標(biāo)．考點(diǎn)六平面向量坐標(biāo)的應(yīng)用例6已知?的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練6已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)七平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？變式訓(xùn)練7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷\o(,\s\6(→))與\o(,\s\6(→))是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？考點(diǎn)八平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例8已知點(diǎn)A(3，－4)與點(diǎn)B(－1,2)，點(diǎn)P在直線上，且\o(,\s\6(→))|＝2\o(,\s\6(→))|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練8已知點(diǎn)A(1，－2)，若向量\o(,\s\6(→))與a＝(2,3)同向，\o(,\s\6(→))|＝2\r(13)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．考點(diǎn)九利用共線向量求直線的交點(diǎn)例9如圖，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求與的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線上，且\o(,\s\6(→))＝\f(1,2)\o(,\s\6(→))，連接，點(diǎn)E在上，且\o(,\s\6(→))＝\f(1,4)\o(,\s\6(→))，求E點(diǎn)坐標(biāo)．§2.4平面向量的數(shù)量積1．平面向量數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝θ，其中θ是a與b的夾角．(2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為．(3)投影：設(shè)兩個(gè)非零向量a、b的夾角為θ，則向量a在b方向的投影是，向量b在a方向上的投影是．2．?dāng)?shù)量積的幾何意義a·b的幾何意義是數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a的方向上的投影的乘積．3．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝(交換律)；(2)(λa)·b＝＝(結(jié)合律)；(3)(a＋b)·c＝(分配律)．4．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝.即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于．5．兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?.6．平面向量的模(1)向量模公式：設(shè)a＝(x1，y1)，則＝.(2)兩點(diǎn)間距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則\o(,\s\6(→))|＝.7．向量的夾角公式設(shè)兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則θ＝＝.考點(diǎn)一求兩向量的數(shù)量積例1已知＝4，＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積．變式訓(xùn)練1已知正三角形的邊長為1，求：(1)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))；(2)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))；(3)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→)).考點(diǎn)二求向量的模長例2已知＝＝5，向量a與b的夾角為\f(π,3)，求＋，－.變式訓(xùn)練2已知＝＝1，|3a－2＝3，求|3a＋.考點(diǎn)三向量的夾角或垂直問題例3設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60°，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角．變式訓(xùn)練3已知＝5，＝4，且a與b的夾角為60°，則當(dāng)k為何值時(shí)，向量－b與a＋2b垂直？考點(diǎn)四向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4已知a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐標(biāo)；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.變式訓(xùn)練4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，則(a·b)·c＝；a·(b·c)＝.考點(diǎn)五向量的夾角問題例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角．變式訓(xùn)練5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，求λ的取值范圍．考點(diǎn)六向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例6已知在△中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，為邊上的高，求\o(,\s\6(→))|與點(diǎn)D的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練6以原點(diǎn)和A(5,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角△，∠B＝90°，求點(diǎn)B和\o(,\s\6(→))的坐標(biāo)．§2.5平面向量應(yīng)用舉例1．向量方法在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a∥b(b≠0)??.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：a⊥b??.(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式θ＝＝.(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：＝.2．力向量力向量與前面學(xué)過的自由向量有區(qū)別．(1)相同點(diǎn)：力和向量都既要考慮又要考慮．(2)不同點(diǎn)：向量與無關(guān)，力和有關(guān)，大小和方向相同的兩個(gè)力，如果不同，則它們是不相等的．3．向量方法在物理中的應(yīng)用(1)力、速度、加速度、位移都是．(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的運(yùn)算，運(yùn)動的疊加亦用到向量的合成．(3)動量mν是．(4)功即是力F與所產(chǎn)生位移s的．考點(diǎn)一三角形問題例1點(diǎn)O是三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，則點(diǎn)O是△的()A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn)D．三條高的交點(diǎn)變式訓(xùn)練1在△中，已知A(4,1)