隨機事件及其概率

*《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》主講：譚玉順*第一章隨機事件與隨機變量隨機現(xiàn)象隨機試驗隨機事件及其概率條件概率與獨立性隨機變量隨機變量分布*

在一定條件下，必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象。

例1在平面上給一個三角形，則三個內(nèi)角之和為180度。（一）．隨機現(xiàn)象1.2隨機事件及其概率一、隨機事件與樣本空間*

高等數(shù)學(xué)是研究確定性現(xiàn)象，主要研究函數(shù)注：本課程主要工具是微積分，如極限，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)，級數(shù)，定積分，二重積分等例2在一個大氣壓下，沒有加熱到100度不會沸騰。*

在一定條件下，可能出現(xiàn)這個結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣結(jié)果，而且不能事先確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象。例3拋一枚硬幣。例4從一工廠的某種產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn)品，觀察次品個數(shù)。

隨機現(xiàn)象又分為個別隨機現(xiàn)象和大量性隨機現(xiàn)象。

個別隨機現(xiàn)象：原則上不會在不變的條件下重復(fù)出現(xiàn)。例如歷史事件（辛亥革命）。*

大量性隨機現(xiàn)象：可以在完全相同的條件下重復(fù)出現(xiàn)。例如拋硬幣。

概率論只研究大量性隨機現(xiàn)象在完全相同的條件下重復(fù)出現(xiàn)時所表現(xiàn)出來的規(guī)律性。問題：隨機現(xiàn)象難道還有規(guī)律性嗎？隨機現(xiàn)象所表現(xiàn)出來的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律。*概率論和數(shù)理統(tǒng)計的研究對象：

概率論和數(shù)理統(tǒng)計是研究（大量性）隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。概率論和數(shù)理統(tǒng)計的研究方法：

概率論研究方法是提出數(shù)學(xué)模型，然后研究它們的性質(zhì)，特點和規(guī)律性。

數(shù)理統(tǒng)計是以概率論的理論為基礎(chǔ)，利用對隨機現(xiàn)象的觀察所取得的數(shù)據(jù)資料來提出數(shù)學(xué)模型，并加以應(yīng)用。*（二）隨機試驗

觀察一定條件下發(fā)生的隨機現(xiàn)象稱為隨機試驗。隨機試驗滿足下述條件：試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行；2.試驗之前能確定所有可能發(fā)生的結(jié)果，并且規(guī)定每次試驗有且僅有一個結(jié)果出現(xiàn)；3.試驗之前不能確定將會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。例1拋一枚硬幣。例2從一工廠的某種產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn)品。*E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；E5:記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重。隨機試驗的例子*（三）樣本空間試驗的每一個基本結(jié)果稱為一個樣本點,記為;實驗E的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為

,即

＝{1,2,…,n};.

由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件,

記為{}.

在概率論中討論一個隨機試驗時，首先要求明確它的樣本空間。

樣本空間可以根據(jù)隨機試驗的內(nèi)容來決定。但寫法不一定惟一。*鑒于寫出樣本空間的重要性，舉一些例子。例5拋一枚硬幣觀察正反面出現(xiàn)的情況。正面Heads

反面Tails例6拋二枚硬幣觀察它們正反面出現(xiàn)的況。*例7從一工廠的某種產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn)品，觀察次品個數(shù)。例8從包含兩件次品（記作）和三件正品（記作）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品。）和三件正品（記作）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品。**例9向某一目標發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點與目標的距離。例10向某一目標發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點的分布情況。*（四）．隨機事件例8從包含兩件次品（記作）和三件正品（記作）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品。）和三件正品（記作）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品，觀察次品個數(shù)。=“沒有抽到次品”*=“抽到一個次品”=“抽到兩個次品”注意：它們都是樣本空間的子集（樣本點組成的集合）。*樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件。常用表示隨機事件。規(guī)定：隨機事件A發(fā)生當且僅當隨機事件A

中有某一個樣本點出現(xiàn)。記作這樣集合論就和概率論聯(lián)系起來了。*

1.包含關(guān)系

“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為A

BA＝B

A

B且B

A.(五)

隨機事件之間的關(guān)系與運算*2.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記作ABn個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作*3.積事件

:A與B同時發(fā)生，記作

A

B＝ABn個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作

A1A2…An*4.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生.*5.互斥的事件：AB＝

*6.互逆的事件

A

B＝

,且AB＝

*運算律1、交換律：A

B＝B

A，AB＝BA2、結(jié)合律：(A

B)

C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，

(AB)

C＝(AC)(B

C)4、對偶(DeMorgan)律：*例11：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件：*二、概率的定義及其運算從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?事件A的概率應(yīng)具有何種性質(zhì)？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？*定義

事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).即

(一)頻率與概率*

歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。

實驗者

nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005*

頻率的性質(zhì):(1)0

fn(A)

1；(2)fn(

)＝1；fn(

)=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(A

B)＝fn(A)＋fn(B).實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值附近，可將此穩(wěn)定值可以反映事件A發(fā)生的可能性大小，作為事件A的概率。記作P(A).*(二）古典概型與概率一個隨機試驗的樣本空間為滿足以下性質(zhì)：（1）樣本點總數(shù)有限，即有限；（2）每個樣本點出現(xiàn)的概率相等，即稱滿足以上2個性質(zhì)的模型為古典概型。*

設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N()記樣本空間

中樣本點總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)：(1)0

P(A)

1；(2)P(

)＝1；P(

)=0(3)AB＝，則

P(A

B

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:*例12:有三個都是獨生子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則三個家庭中至少有一個男孩的概率是多少?解:設(shè)A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩N(

)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}*例13（摸求問題）設(shè)合中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從合中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-----取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5一般地，設(shè)合中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是*例14（分求問題）將3個球一個一個的隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒一般地，把n個球隨機地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：*某班級有n個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?N個人生日各不相同的概率*例15（分組問題）30名學(xué)生中有3名運動員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運動員;B:3名運動員集中在一組一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i組恰有ni個球(i=1,…m)，共有分法：*例16（抽樣檢驗）如果某批產(chǎn)品中有a件次品和b件正品，我們采用有放回抽樣和無放回抽樣n次，問剛好有k件次品的概率為多少？*（三）幾何概率基本思想：（１）如果一個隨機現(xiàn)象的樣本空間

充滿某個區(qū)域，其度量（長度、面積、體積等）大小可以用Ｓ

表示；（２）任意點落入度量相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的.譬如在樣本空間

中有一單位正方形Ａ和直角三角形Ｂ，而點落入?yún)^(qū)域Ａ和區(qū)域Ｂ是等可能的，因為這兩個區(qū)域面積相等；（３）若事件Ａ為

中的某個子區(qū)域，其度量大小可以用ＳＡ表示，則事件Ａ的概率為Ｐ（Ａ）＝ＳＡ／Ｓ

（=A的測度/的測度）*例17會面問題：甲乙兩人約定在周末８時到９時在某地會面，先到者等候２０分鐘，若對方仍未到達，則離去，求兩人能會面的概率。例18從［０，１］中隨機取兩個數(shù)，求其積不小于２／９其和不大于１的概率。*例19P11蒲豐投針問題（略）**(四)概率的公理化定義

注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義.*1.定義

若對隨機試驗E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)非負性:

P(A)≥0；(2)規(guī)范性:P(

)＝1； (3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A的概率。*2．一般概率的性質(zhì)性質(zhì)1：

性質(zhì)2：（有限可加性）設(shè)

兩兩互不相容，則

性質(zhì)3：*

性質(zhì)4

設(shè)則

推論：設(shè)則反之不成立。

推廣：

性質(zhì)5：（并定理）

推論：*推廣：*例２０某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時