2021年河北省高考數(shù)學真題試卷及答案

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型()填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.AB4,5x2x4AB（1.設(shè)集合，）22,33,44D.A.B.C.zziz2i2.（）6D.4A.6B.4C.3.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（A.2B.22C.4D.42）6fx7sinx4.下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）π22,π,,2A.B.C.D.22x2y2F1F2是橢圓C1的兩個焦點，點M在C1上，則的最大值為（25.A.13，：）94B.12C.9D.6sin1sin2sincostan2（6.若）622565Aa,b可以作曲線yD.55ex的兩條切線，則（7.若過點）A.ebaB.D.eabC.0aeb0bea8.有6234561事件“第一次取出的球的數(shù)字是“第二次取出的球的數(shù)字是2”“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨立C.乙與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立D.丙與丁相互獨立二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.x1x2xy1y，，，其中2y9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，nnyxci,nc(為非零常數(shù)，則（）iiA.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同P,PA0),sin，310.OP,，，12）OPOPAP1APA.C.B.D.12231212311.已知點Px5216上，點A0、B2，則（2y5）A.點P到直線的距離小于B.點P到直線的距離大于232C.當PBA最小時，32D.當PBA最大時，AA11P1ABC，12.在正三棱柱，其中111，則（）1△1PA.當B.當C.當D.當?shù)闹荛L為定值1時，三棱錐P1的體積為定值1AP時，有且僅有一個點P，使得121AB1P時，有且僅有一個點P，使得12三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)3x2xa是偶函數(shù)，則______.fxxa214.O為坐標原點，拋物線C：y2(p0)的焦點為，為Cx軸垂直，Q與2F上一點，PFPxPQOPC6為軸上一點，且的準線方程為的最小值為______.______.fx2x12lnx15.16.兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和的長方形紙，對折1次共可以得到10dm12dm，1240dm2，，三種規(guī)格的圖形，它們的，對折2次共可以得到S180dm22n4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______面積之和nSk______dm2.k1四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.n,a.n17.已知數(shù)列a11aa，n1nbanb1，b的通項公式；bn1，寫出，并求數(shù)列2n22）求20項和.an18.某學校組織“一帶一路”AB從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；2）為使累計得分期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.19.記ABC是內(nèi)角A，B，CaC.的對邊分別為a，b，c.b2acD1）證明：b；2.2AABD的中點，，O為20.如圖，在三棱錐中，平面.1）證明：；2是邊長為1EAD2EBCD的大小為，求三棱錐A的體積.F17,0F217,02M.的軌跡為C21.在平面直角坐標系1C的方程；中，已知點、1121xTQ兩條直線分別交于AB兩點和P，，2T在直線C2PQ求直線的斜率與直線的斜率之和.x1xfx22.已知函數(shù).1）討論的單調(diào)性；fx11a，bb，證明：.2e2為兩個不相等的正數(shù)，且baabaab2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型()填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.AB4,5x2x4AB（1.設(shè)集合，）22,33,44D.A.B.C.【答案】B【解析】AB【分析】利用交集的定義可求.AB2,3，【詳解】由題設(shè)有故選：B.zziz2i2.（）6D.4A.6【答案】C【解析】B.4C.【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.zzi2i2i6iz2i【詳解】因為z2i故選：3.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A.2224D.42【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.lll2，解得l22.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則l2故選：6fx7sinx4.下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）π22,π,,2A.D.22【答案】A【解析】2kx2kkZ，利用賦值法可得出結(jié)論.【分析】解不等式【詳解】因為函數(shù)2622ysinx2k,2kkZ，的單調(diào)遞增區(qū)間為2fx7sinx對于函數(shù)kZ，2kx2k62622kx2kkZ，3333的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，k0fx,取，可得函數(shù)33,,,則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；2332k1，可得函數(shù)fx的一個單調(diào)遞增區(qū)間為,取，33,233233,,,,2,且，選項均不滿足條件.233故選：A.【點睛】方法點睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成yAφ形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把xyAφysinx看作一個整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把5.A.13化為正數(shù)．x2y2FF2是橢圓C1的兩個焦點，點M在C1上，則的最大值為（2，：）194B.12C.9D.6【答案】C【解析】a6【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式12212即可得到答案．122ab4a6，1222【詳解】由題，229（當且僅當3211212故選：C．【點睛】本題關(guān)鍵在于正確理解能夠想到求最值的方法，即通過基本不等式放縮得到．sin1sin2sincostan2（6.若）622565A.B.C.D.55【答案】C【解析】tan2【分析】將式子進行齊次化處理，代入【詳解】將式子進行齊次化處理得：即可得到結(jié)果．sin222sinsin12sinsinsinsinsintan2422．sin221tan2145故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用過齊次化處理，可以避開了這一討論．tan2sin,cos的值，可能還需要分象限討論其正負，通，求出a,b可以作曲線yex的兩條切線，則（7.若過點）A.ebaB.D.eabC.0aeb0bea【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果yexPte,tyexye，x【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得extyettx1te，tyexyet所以，曲線P處的切線方程為由題意可知，點a,b在直線tyex1tettb1teta1tet上，可得，tftate.tfta1te令當taft00ft，此時函數(shù)單調(diào)遞增，ft，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當ta所以，ftfaea，ftyb與曲線的圖象有兩個交點，則bfteyfta，由題意可知，直線ft的圖象如下圖所示：當ta1ft0ta1ft0，作出函數(shù)yb與曲線yft的圖象有兩個交點.由圖可知，當0bea時，直線故選：D.【點睛】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題常用且有效的方法8.有6234561事件“第一次取出的球的數(shù)字是“第二次取出的球的數(shù)字是2”“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨立C.乙與丙相互獨立【答案】BB.甲與丁相互獨立D.丙與丁相互獨立【解析】【分析】根據(jù)獨立事件概率關(guān)系逐一判斷11561P)，P)，P)，P)，，【詳解】66363661P)0P)P，P)P)P，361P)P)P，P)0P)P，36故選：B,BP()P(B)P(AB)是否成立【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應(yīng)概率，再判斷二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.x1x2xy1yy9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中n2nyxci,nc(為非零常數(shù)，則（）iiA.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】E(y)E(x)c、D(y)D(x)AC利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷、D的正誤.【詳解】A：E(y)E(xc)E(x)c且c0，故平均數(shù)不相同，錯誤；xyxc，顯然不相同，錯誤；ii：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為i：(y)(x)c)(x)，故方差相同，正確；xD：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為yy(c)(c)，故極差相同，正確；故選：P,PA0),sin，310.OP,，，12）OPOPAP1APAD.122132123【答案】AC【解析】【分析】A、B寫出OP，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；、D根據(jù)向量1212的坐標，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：,sin)，,sin)，所以||21sin21，12|)2()1||||，正確；2122AP2sin)：APsin)，，所以1|AP(cos2sin222cos1sin2cos)4sin22|sin|，122|2sin22|sin||AP|,|AP|不一定相等，錯誤；2122：由題意得：1cos()0))，3cossin(sin))，正確；12D：由題意得：10sincos，1)(sin))23cos2sinsinsinsincossin2cos2sin22)，錯誤；故選：AC11.已知點Px5216上，點A0、B2y5，則（2）A.點P到直線的距離小于點P到直線的距離大于23232當PBA最小時，D.當PBA最大時，【答案】ACD【解析】P到直線AB選項的正誤；分析可知，當PBA最大或最小時，PBM相切，利用勾股定理可判斷選項的正誤.2y5216的圓心為M5【詳解】圓x5的方程為，半徑為4，xy1，x2y40425254111154，M到直線的距離為22255551155P到直線的距離的最小值為42410AB選項錯如下圖所示：MMP、，可知，當PBA最大或最小時，PB相切，連接052252432，，22正確.故選：l與半徑為圓rCC到直線的距離為dC上一點P到直線lldr,dr.的距離的取值范圍是AA11P1ABC，12.在正三棱柱，其中111，則（）A.當1△1P的周長為定值1時，三棱錐P1當當D.當?shù)捏w積為定值12AP1時，有且僅有一個點P，使得12AB11P時，有且僅有一個點P，使得【答案】BD【解析】【分析】對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；P點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；，考慮借助向量平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點的個數(shù)；D，考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點的個數(shù)．【詳解】1B易知，點P在矩形1=PCC，1A1，即此時△1PA11錯誤；1時，BCP點軌跡為線段11BCBC//BC//，1111=1111A1A1，則有P到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．1212，BC中點分別為，HQ11131B,0，以P點軌跡為線段A,P0,，，122312AP,0,1,00或1H,Q則，，，所以均滿足，故12C錯誤；121，1中點為．M,ND，所以P點1121233131AB,,1，Py,A0,0,y,軌跡為線段，001222223111y0y，此時P與重合，故正確．DN004222故選：BD．【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內(nèi)．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)3x2xa是偶函數(shù)，則______.fxxa2【答案】1【解析】a【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因為3x2xfxx3a2xx2，，fxxa2為偶函數(shù)，故，fxfxfxa12，整理得到+2x=03a2x2xx3a2x2xxx時故a1，故答案為：114.O為坐標原點，拋物線C：y2(p0)的焦點為，為Cx軸垂直，Q與2F上一點，PFPxPQOPC6為軸上一點，且的準線方程為______.3x【答案】【解析】2Qp【分析】先用坐標表示，再根據(jù)向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結(jié)果.P(,p)Q(6,0),PQ(6,p)pp【詳解】不妨設(shè)22p32PQOP6p20Qp0p3Cx的準線方程為，所以23x故答案為：2【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.fx2x12lnx15.的最小值為______.【答案】1【解析】1212)0xx1x1f(x)(0,【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導數(shù)研究的單調(diào)性，即可求f(x)最小值.f(x)|2x1|2lnx(0,)，【詳解】由題設(shè)知：定義域為10xf(x)12x2lnxf(x)，此時單調(diào)遞減；212f(x)20f(x)當x1f(x)2x12lnx，此時f(x)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；2x2當x1又f(x)在各分段的界點處連續(xù)，f(x)f(x)2x12lnxf(x)20，此時x0x1單調(diào)遞減，x1f(x)單調(diào)遞增；f(x)f1∴故答案為：1.16.兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和的長方形紙，對折1次共可以得到10dm12dm，1240dm2，，三種規(guī)格的圖形，它們的，對折2次共可以得到S180dm22n4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______面積之和nSk______dm2.k13n【答案】【解析】(1).5(2).42nS）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.n54523dmdm6dm5dm10dm，，，1）對折4次可得到如下規(guī)格：，2320dmdm54n1S2S3S4S5，，Sn2）由題意可得，，，4，1232n1120212031204120n1設(shè)SL，021222n12120n120n1112021203則Sn1，2212222n1211n1n11111n1兩式作差得S22n12n2n22212120n3120120n1360360，n12n2n2240n315n3因此，S720720.n2n4215n3故答案為：5；720.42n【點睛】方法點睛：數(shù)列求和常用方法：1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；b是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；nnba2）對于3）對于結(jié)構(gòu)，其中nnab結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；nn11111是等差數(shù)列，公差為a結(jié)構(gòu)，其中，利用裂dd04）對于nnan1nn1dan1n項相消法求和.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.n,a.n17.已知數(shù)列a11aa，n1nbanb1，b的通項公式；bn1，寫出，并求數(shù)列2n22）求20項和.anbb5【答案】（1）【解析】.12n1n3，從而可求的通項.bn（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得項和為可化為，利用anSS2bbbb129S（1）的結(jié)果可求.baa12,baa1a2151212432aa2k11，2k12k2，又故2k22k3bn3即n1n3n1即2k2為等差數(shù)列，故n13n1n.bb2n（2）設(shè)項和為Saaaa，aSn123aaaa,aa1，1234S2a42102102910.2b29b31030012【點睛】方法點睛：對于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項的遞推關(guān)系或偶數(shù)項的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項公式、求和公式等來求解問題.18.某學校組織“一帶一路”AB從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（B【解析】1X似，找出先回答B(yǎng)類問題的數(shù)學期望，比較兩個期望的大小即可．）由題可知，X的所有可能取值為0，，．PX01；PX1；PX．X的分布列為X0P0.32（2）由（1）知，EX0．若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，，．；PY01PY1；．PXEY0．，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．19.記ABC是內(nèi)角A，B，CaC.的對邊分別為a，b，c.b2acD1）證明：BDb；227【答案】（）.【解析】b）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.bbBDb,AD,cosADB、cosCDB2）由題設(shè)，應(yīng)用余弦定理求33ba4211b2CDB，可得2a2，結(jié)合已知及余弦定理即可求.3【詳解】asinCsincbsinCsinc1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，sinCsinABCb2bac，∴b∴b，得證.bbBDb,AD,2）由題意知：，3b93b22b2b2b2c2c2b2a2a2999∴，同理，bb2bb2bb3333∵CDB，b2b2c2a211b299∴∴，整理得2a2c2bac，2b2b2333ba4211b2ab2213a2232a2，整理得a4a2b2b40，解得或，3b2a2c2b24a2由余弦定理知：，23b2ab22137ab2237ABC1不合題意；當當；627綜上，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，根據(jù)余弦定理及CDBa,b,c的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條.件及余弦定理求AABD，，O為20.如圖，在三棱錐中，平面的中點.1）證明：；2是邊長為1EAD2EBCD的大小為，求三棱錐A【答案】(1)詳見解析(2)【解析】的體積.36）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AO⊥平面BCD，即可證得結(jié)果；2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結(jié)果.）因為AB=AD,O為中點，所以AO因為平面ABD=⊥平面，ABD，AOBCD，BCD，所以AO(2)作EF⊥于作FM于M,連AOBCD，所以AOAO⊥EFEFD,EF⊥IF⊥，,⊥平面EFM⊥則EMF為二面角E-BC-D的平面角,4,為正三角形為直角三角形,11123)BE2ED,2232AO1EF=FM=3Q1113所以VS1133326【點睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法.F17,0F217,02M.的軌跡為C21.在平面直角坐標系1C的方程；中，已知點、1121xT的兩條直線分別交CQ于AB兩點和P，，2T在直線2PQ求直線的斜率與直線的斜率之和.y2【答案】（）x21x）0.16【解析】）利用雙曲線的定義可知軌跡C即可得出軌跡C的方程；1是以點F、Fa、b為左、右焦點雙曲線的右支，求出的值，1212的方程為、與T,tytkxAx,yBx,y1112222TATBPQkTPTQC的斜率為的2kk的值.12表達式，由化簡可得2FF2【詳解】因為，1212所以，軌跡C是以點F1F、為左、右焦點的雙曲線的右支，2x2y2設(shè)軌跡C的方程為1ab02a2，可得a1，ba4，2a2by2所以，軌跡C的方程為x21x；161,t，若過點TTC的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線無公共點，2）設(shè)點2121ytkxykxtk，11不妨直線的方程為1212ykxtk2111y并整理可得k2116x2ktkxtk160，消去1，11216x2y21212、Bx,y2且.Ax,y121122112ttk1xx由韋達定理可得，2，122xx11212t2116121k12111214TATB1k21121k21xx所以，設(shè)直線，122222t2k16121k22PQk2的斜率為，同理可得TPTQ，22tt21k2121k2221k，22k，整理可得12k22k1kkkk0k1k20k20即，顯然.1212PQ因此，直線與直線【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去