2022屆高考仿真模擬考試數(shù)學(xué)(理)沖刺卷3

數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足zi=3-5i,則Z的虛部為（）

A.3B.3C.5D.5

2.已知集合力={12,3,4},B={）|y=2x-3,xea},則集合ACI8的真子集個(gè)數(shù)為

（）

A.1B.8C.4D.3

3若數(shù)列｛4卜茜足一!...-~d（neN*.d為常數(shù)），則稱數(shù)列J｝為“調(diào)和數(shù)列”,己知

/JClCln

“+1n11.[j

數(shù)列｛x｝為“調(diào)和數(shù)列"，且_+J_+…+1_=200,則_1+2（）

nxxxxx

1220516

A.15B.20C.25D.30

4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出攵的值為（）

A.3B.4C.5D.6

6.若點(diǎn)G是“13c的重心，c分別是N6AC,ZABC,NAC3的對(duì)邊，且

a函+人麗+^c,覺(jué)=0.則N8AC等于（）

3

A.90°B.60°C.45°D.30°

7.1904年，瑞典數(shù)學(xué)家柯克構(gòu)造了一種曲線，取一個(gè)正三角形，在每個(gè)邊以中間的1

3

部分為一邊，向外凸出作一個(gè)正三角形，再把原來(lái)邊上中間的1部分擦掉，就成了一

3

個(gè)很像雪花的六角星，如圖所示.現(xiàn)在向圓中均勻的散落1000粒豆子，則落在六角星

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

中的豆子數(shù)約為（）（兀=3,四a1.732）

2a/

8.已知a=j2（“"^+5sinx）dx,且〃?=二則展開(kāi)式2-11（1-0，中x的系數(shù)為

-2"兀IX2）

A.12B.-12C.4D.-4

9.如圖，在三棱錐P-ABC中，PAL平面ABC,ABLBC,AD1BP,PA=AC,

若三棱錐P-43C外接球的表面積為即，則三棱錐P-AC。體積的最大值為

（）

A.這B.1C.亞D.理

3244

10.已知直線/：x-2）」2=0,圓c：（x-11+（y-2>=3,圓心為點(diǎn)C.點(diǎn)尸為直線/

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形PACB面積

的最小值為（）

A.而B(niǎo).#C.23D.2番

11已知雙曲線E-&1（a>0,〃>0）的左右頂點(diǎn)分別是A,B,右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在

。2Z72

過(guò)F且垂直于X軸的直線/上，當(dāng)aABP的外接圓面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)P恰好在雙曲線

上，則該雙曲線的漸近線方程為（）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

4y=±^^xB.y=+^^_xC.y=±xD.y=±^2x

32

E在AA8C中，a/,c分別是角A,8,C的對(duì)邊，若碎+拄=2019c2,則

2tanA-tanB,，八“

tanC(tan4+tanB)的為()

A.2018B.1C.0D.2019

二、填空題

fx-y>0

B已知X,y滿足約束條件|x+y41,則Z=3x+y的最小值為_(kāi)_____.

[y+1>0

14.已知可導(dǎo)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?0,+s),滿足礦(x)—2/(x)<0,且八2)=4,則不

等式/(2，)>4,的解集是.

5過(guò)拋物線。：理=2〃*(2>0)的焦點(diǎn)/的直線/與(7相交于48兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)

在準(zhǔn)線上的射影分別為M,N,-g='_%*=口，則—包?

工S.p

AFMMFN

6已知數(shù)列｛。卜茜足：4=1,a-4，〃，.?.,〃｝C?wN)記數(shù)列｛"｝的前〃

n1n+1n12nn

項(xiàng)和為S,若對(duì)所有滿足條件的列數(shù)｛a｝,S的最大值為M,最小值為加，則

nn10

M+m=_□.

三、解答題

V已知向量訊=(cosx,sinx),4=Qosx,JScosx),xeR,設(shè)函數(shù)/())=7.,_[

2'

⑴求函數(shù)f(x)的解析式及最小正周期：

⑵設(shè)〃也c分別是AABC三個(gè)內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊，若/(4)=1,/7+。=2應(yīng)，AA8C的面

積為L(zhǎng),求a的值.

2

8已知多面體A8CDEF如圖所示，其中四邊形A8FE為矩形，四邊形COEF為直角

梯形，NDEF=NCFE=90°,NAED=60。，點(diǎn)M在線段CF上.

(1)求證：A?！ㄆ矫鍮FC；

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

⑵若AE=2,EF=ED=3fFC=69且，求二面角B-MO-E的余弦值.

17

9已知函數(shù)/(x)=元3-2a心+a2x(aeR)在x=2處取得極小值.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)/(X)在區(qū)間［單］上的最大值與最小值.

D已知橢圓C:三+二=1(“>0力>0)過(guò)點(diǎn)(2,-1),離心率為立,拋物線y2=-16x

。2。22

的準(zhǔn)線/交X軸于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作直線交橢圓C于M,N.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)設(shè)P,。是直線/上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，問(wèn)：直線P歷與QN的交點(diǎn)是否在一條

定直線上？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

2已知函數(shù)/(x)=x-eai(aeR).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性

(2)若函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(M),求證：—+ln/(x)>0(x>0).

xex

已知。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足兩+2兩+3優(yōu)10\延長(zhǎng)A。交8c于點(diǎn)。.記

AB=a?AC=b-

(1)試用Z板表示南；

、網(wǎng)

(2)求T---1?

23.已知函數(shù)/(尤)=才-嚇2〃,g(x)=*+l］.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，解不等式/(工)-g(x)W3；

(2)當(dāng)XER時(shí)，f(x)+gG)24恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

I.A

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為z=-5-3i,結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

【詳解】

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得z=字=當(dāng)孚=-5-3「

?1x(-0

所以復(fù)數(shù)z的虛部為-3.

故選:A.

2.D

【解析】

【分析】

先求出集合B中的元素，在求出AflB,最后求出集合AflB的真子集個(gè)數(shù)即可

【詳解】

因?yàn)榧螦={1,2,3,4},B={y|y=2x-3,xeA},

所以8={-1,1,3,5},則An3={l,3},

所以集合AC|B的真子集個(gè)數(shù)為22-1=3.

故選：D

3.B

【解析】

【分析】

根據(jù)給定定義可得數(shù)列，是等差數(shù)列,

再利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算作答.

[XJ

n

【詳解】

因數(shù)列｛xj為“調(diào)和數(shù)列”，則"eN*,1-J=°且，為常數(shù)，因此數(shù)列是等差數(shù)

列，

11

+11

則有111TFh11解得_+__=20,

_+_+???+—=120.20=10(+)=200xx

xxx2xx120

1220120

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

所^―1—+--=20.

XXXX

516120

故選：B

4.B

【解析】

【分析】

執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，逐次計(jì)算，結(jié)合判定條件，即可求解.

【詳解】

執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，可得：

運(yùn)行第1次，r=log23,k=2；

運(yùn)行第2次，T=log3-log4=log4=2,k=3；

232

運(yùn)行第3次，7=log3Jog4Jog5=log5,此時(shí)滿足判定條件，輸出％=4.

2342

故選：B.

5.A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合選項(xiàng)即可判定，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)y=x|%|的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且f(-x)=-x|-x|=-x|l=-/(x),所以函數(shù)y=MM為奇函數(shù),排除B、C；

又由當(dāng)x=l時(shí)，可得y=i,所以只有選項(xiàng)A適合.

故選：A.

6.D

【解析】

由點(diǎn)G是“3C的重心可得質(zhì)+誕+五=0，即質(zhì)=-工-南，代入

一/一中可得S-a)G2+jc-aGC=Q,由皺四不共線可得

+bGB+^cGC=0I—I

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

b-a=O

,石，即可求得的關(guān)系，進(jìn)而利用余弦定理求解即可

--c-a=0

I3

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)G是AABC的重心，所以方+&+3?=0,

所以m=-淳-五,

（3、

代入aGA?+_.+c查=。可得S-“）旗+/c-aGC.=O,

hGB~3-

因?yàn)镚E,GC?不共線，所以

即［”一"，所以C0S/B4C=仇+'2一_:通，故N8AC=30。，

c=il3a2bc2

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算，考查利用余弦定理求角

7.A

【解析】

【分析】

設(shè)原正三角形邊長(zhǎng)為3a,則由正弦定理求出正三角形外接圓半徑，根據(jù)

S

S5=S,“‘+3S—M，落在六角星中的概率=「/，從而求得結(jié)果..

六角星大三角形小二角形D

【詳解】

設(shè)原正三角形邊長(zhǎng)為3。，

則由正弦定理得也=2/?,即氏=火"，

sin60°

所以正三角形外接圓半徑為了“，則S=兀/=3s,

圓

又由題意得凸出來(lái)的小正三角形邊長(zhǎng)為。，

貝|JS=S+35

六角星大三角形小三角形

=3a-3a^+3X2.Q.〃,回=3戶72,

2222

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

則鼠*=逑竺=直°0.577,

S3。2冗n

圓

所以落在六角星中的豆子數(shù)約為1000x0.577=

577.故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)面積型幾何概型的問(wèn)題，正確解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的概

率公式以及圖形的面積公式.

8.D

【解析】

【分析】

求定積分得到。的值，可得加的值，再把按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，可得

[2-」_）（1-辦“中x的系數(shù).

\X2）

【詳解】

Va=l（^4-X2+5sinx）^=l-7t-22-5COSJ^2=2兀，且m=2=4,

2-2兀

則展開(kāi)式,2-1=-2-1、（1-J=<2-1^-（1-4X+6^-4.X3+X4）,

【）IJI娟

故含x的系數(shù)為-8+4=-4,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性

質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

【分析】

設(shè)AB=a,BC=b,由三棱錐P-ABC外接球的表面積為8n，可得出必+枕=4.根據(jù)等體

積法得丫-v-y-（）,利用基本不等式可求得三棱錐P-ACZ）體積

iCDSCaABC3（2成+J

的最大值.

【詳解】

設(shè)AB=",BC=b,由三棱錐尸-ABC外接球的表面積為8兀，得外接球的半徑/?=夜.又

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

PAABC,AB1BC,

所以AB2+BC2+4尸2=AC2+A尸2=2A尸2=(2R)2=8,所以4P=2,所以必+加=4.

=

因?yàn)镻4_L平面ABC,AD_LPB)所以(<過(guò)。作DE_LAB，

，4+42

垂足為E,則QEJ_平面ABC,

BD

所以DE//PA,所以竺=一，所以DE=2w,所以

PABP4+a2

V=V-V=\s(P4_￡>E)J"卜―2壯4ab4ab

P-ACOP-ABCD-ABC3AACD6I4+〃2J3t4+02J3^〃2+加J

4_&2ab廠

還一T，當(dāng)且僅當(dāng)b=q，即“=攣，b=時(shí)，"=”成立，所以三

棱錐P-ACD體積的最大值為亞.

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)計(jì)算，等體積法的運(yùn)用，屬于較難題.

10.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意判斷出直線/與圓C相離，再將四邊形PAC8面積表示為卷/|PC|2-3,然后根據(jù)

點(diǎn)到直線的距離公式求出|PCp有，即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意可得C（1,2）,半徑為由,

?直線/：x-2y-2=0,

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

1-4-21LL

點(diǎn)c到直線/的距離為'.1=非>格，即直線/與圓C相離,

52+22

???點(diǎn)P為直線1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,

???四邊形PACB面積為S=2S=7忸4=炳JPC"3,

PACB△/MC

V圓心C到直線/的距離為有,

?.?|PC|N有，即|PC|2N5,則四邊形PAC8面積最小為

故選：B.

11.C

【解析】

【分析】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(c,y)()，>0),由于|A同為定值，由正弦定理可知當(dāng)sinNAPB取得最大

00

值時(shí)，AAPB的外接圓面積取得最小值，也等價(jià)于tan/APB取得最大值，利用兩角的正

tanNAPB=tan(ZAPF-NBPF)=a

切公式知、…歷，再利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代

y十

°"

入雙曲線計(jì)算得到答案.

【詳解】

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(c,y)()；>o),由于|A回為定值，由正弦定理

可知當(dāng)sin4P8取得最大值時(shí)，△APB的外接圓面積取得最小值，也等價(jià)于取

得最大值，

a4-rc—a

??tanZAPF=,tan/BPF=__,

a+cc-a

y2(i2aa

萬(wàn)，

%%°>o十。，

當(dāng)且僅當(dāng)y=枕6>°)，即當(dāng)y=人時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)NAPB最大，此時(shí)的外

07o02PB

0

接圓面積取最小值，

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(C,6),代入21=1,可得邑2,即空法"=2,即—=1.

。2。2。2。2

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

所以雙曲線的漸近線方程為：y=

ix.故選：C

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查了求雙曲線漸近線方程，及利用基本不等式求最值，解題時(shí)先確定雙

,b

曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)一？°及漸近線之間的關(guān)系，求出的值即可，考查

a

學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題

12.A

【解析】

【分析】

由余弦定理02+62-02=2必8$(7，結(jié)合題設(shè)可得2018c2=2"cosC,利用同角三角函數(shù)

關(guān)系：2tanA-tanB_2abcosC,即得解.

tanC(tanA+tan8)c2

【詳解】

Q2+h2=2019C2,

...。2+枕_C2=2018a=2abCOSC

2018<?2=2?ftCOSC

2sinAsin8

2tanA-tanB_C0S/\'CUST?_2sinAsin8cosc_2abcosC=2018故選：A

tanC(tanA+tanfi)剛『鉗口剛1%1sinCsin(A+B)

【點(diǎn)睛】

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和兩角和的正弦公式、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技

能方法，屬于中檔題.

13.-4

【解析】

【分析】

畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線3x+y=0到可行域邊界位置來(lái)求得z的最小值.

【詳解】

畫出可行域如下圖所示,

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

由圖可知，當(dāng)2=38+y經(jīng)過(guò)4(-1,-1)時(shí)取得最小值為-3-1=-4.

故答案為：-4

14.

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=A2，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后，利用單調(diào)性解函數(shù)不等式.

X2

【詳解】

設(shè)g(x)=mi,則g'(x)^xf，M~2f(x\

X2x3

因?yàn)閤>0,xf'(x)-2f(x)<0,所以g'(x)<0,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

/(2')/(2)/G)/(2)()()

/(21)>4<,即----->1=-----,令2x=t,即---->-----,gt>g2,

414(24

所以/<2,2x<2,所以x<

1.故答案為：(e,1).

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)g(x)=△*，利用導(dǎo)數(shù)確實(shí)

X2

單調(diào)性，已知不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于g(x)的函數(shù)不等式，然后求解.

15.4

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

【解析】

【分析】

設(shè)NM4尸=0,AF=a,BF=b,可得S=la2Sin0,S=1枕sin。，

AMAF2ANBF2

(5)2=：MF2?NF2=〃2枚simO,可得—的值.

AAfNF4|1

【詳解】

解：如圖：

設(shè)NMAr=。，4尸=。，BF=b,

IT

由拋物線定義可得：AM=a,BN=b,NMFO+2NF0=ZMFA+4NFB=_,

2

在AAMF中，由余弦定理可得：A7F2=2a2(1-cos9),

同理：M尸2=2戊(1+COS0),

4/rcsin3tS—..￡?

故S=--fesmO,

2g/BF2

(S)2=lMFz-NF2=a2b2S'n2Q,

^MNF4

X(S)2

的一=-----------=4.

MSS

kMAF&NBF

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，屬于中檔題，注意余弦定理的靈活運(yùn)用.

16.1078

【解析】

根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)的最大值和最小值，進(jìn)而結(jié)合計(jì)算規(guī)律和等

差、等比數(shù)列的求和公式，求得S10的最大值和最小值，即可求解.

【詳解】

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

由題意，數(shù)列{“卜莆足：a=1,a-ae{a,a,q},

n1〃+1n12n

由〃-Q=a,可得。=2a=2；

21121

由a-〃e{a,a},可得。=a+a=3或a=2a=4；

321232132

由a-Qe{a,a,a},可得a=a+a=4或5；a=a+a=5或6；

43123431432

a=2a=6或8；

43

由a-ae{a,a,aya},可得a=a+a=5或6或7；

541234541

。=。+。=6或7或8；a=。+a=7或8或9或10或12；

542543

〃=2。=8或或9或10或12或16；

54

綜上可得S〔QI^J最大值A(chǔ)/=1+2+22+…29=［彳-=1023,

最小值為m=1+2+3+…10=^^^=55,

所以M+〃？=1078.

故答案為：1078

【點(diǎn)睛】

與數(shù)列的新定義有關(guān)的問(wèn)題的求解策略：

1、通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的

情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息

的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；

2、遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要

求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.

17.(l)/(x)=sinj2.x,T=n

⑵4=點(diǎn)-1

【解析】

【分析】

(1)利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

f(x)=sin[2r+"],從而可求出其周期，

(2)由/(A)=1求出角A,然后利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理可求出”的值

⑴

因?yàn)??=(cosx,sinx),n=^coscosxxeR

所以/G)=m-ft-_=cos2x+JSsinxcosx-l

22

1+cos2xa.門1

=------------+—sm2x——

/2、22

=sin"2x+K'

I6j

所以fQ)最小正周期r=兀；

(2)

由(1)得f(4)=sin124+工1=1,

V0<A<7t,,.Ln<2A+"1371

石6<-T'

V2A+K=K,即4="，

626

由AA8C的面積S=2*sinA=1,得bc=2,

22

又b+c=2^/2^>

,/a2=t>2+c2-2/JCCOSA=(/2+c)2-2bc(1+cosA)=8-4x+圖=4-2點(diǎn)，

解得a=^3-1.

18.(1)證明見(jiàn)解析

⑵無(wú)

7

【解析】

【分析】

⑴在CF上取點(diǎn)N,使FN=ED,連接。N,BN,證明四邊形ADNB為平行四邊形即可推理

得證.

⑵根據(jù)給定條件證得平面BFC.?平面CDEE再作出二面角B-MD-E的平面角，利用相

關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算即得.(1)

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

在CF上取點(diǎn)N,使FN=ED,連接DN,BN,如圖,

在直角梯形C￡?EF中，NDEF=NCFE=90°,貝ljCF//OE,即FN//ED,于是得四邊形

OEFN為平行四邊形，

則有DV//E尸，DN=EF,而四邊形ABFE為矩形，仄而有AB//EF//DN,且AB=EF=DN,因

此得四邊形ADNB為平行四邊形，

則有AD//BN,而8Nu平面BFC,平面BFC,

所以A。//平面BFC.(2)

在直角梯形CDE/中，ZCFE=90°,HPEF'CCF,矩形A8EE中，EF；BF,而

BFcCF=F,8F,CFu平面BFC,

因此有EF..,平面BFC,又EFu平面CDEF,則有平面8FC：平面CDEF,過(guò)8作BG,:FC

于G,過(guò)G作于O,連B0,如圖，

平面BFCf)平面CDEF=FC,又BGu平面BFC,即得BG；平而CDEF,而DMu平面

CDEF,則BG,:DM,又G(T：DM,

BGcGO=G,BGO,則OM；平面8G。，而8。＜=平面8GO,即有

BO,:DM,

于是得NBOG是二面角8-MD-E的平面角，

30

在直角梯形COM中，EF=ED=3,FC=6,且FM=_,由⑴知，F(xiàn)N=ED=DN=3,

17

DN?:FC,

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

則MN=—，DM==巴’,于是得

SinNDMN=DN_176,

DM26

因AE〃8尸，ED//FC,NBFC,NAE￡>方向相同，則NBFC=NAEO=60。，又BF=AE=2,

13

則有8G=點(diǎn)，尸G=1,于是有GM=FM-FG=-,

因此，GO=GMsinNOMG=GMsinNDMN=1？x1=顯,在Rt^BOG中，

17262

Bo=史,則COSNBOG=￡￡=W=近，

2BOVl47

~2~

所以二面角B-MD-E的余弦值為五.

7

19.(1)a=2；(2)最小值為0,最大值為3.

【解析】

【分析】

①由函數(shù)/(尤)在x=2處取得極小值，單調(diào)尸(2)=0,求得4=2或。=6,根據(jù)函數(shù)極

值的概念，分別代入驗(yàn)證，即可求解;

0由(1)得到函數(shù)f(x)=x3-4x2+4x,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性，求得函數(shù)的最值.

【詳解】

(1)由題意,函數(shù)/(x)=心一2公2+〃2尤(〃WR),可得/⑴=3j2-4ar+〃2,

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在x=2處取得極小值，所以門2)=0,即〃2_8〃+12=0,

解得。=2或。=6,

f

???當(dāng)〃=2時(shí)?，可得f(x)=3x2—8x+4=(3x-2)(x-2),

2

當(dāng)xe(-8,_)時(shí)，/'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增：

3

2

當(dāng)xe(W，2)時(shí)，f'(x)<0,/G)單調(diào)遞減：

當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，/'G)>0,/(無(wú))單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/G)在x=2處取得極小值，符合題意.

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

?.?當(dāng)。=6時(shí)，可得尸(X)=3X2_24X+36=3(X-2)(X-6),

當(dāng)xe(-8,2)時(shí)，r(x)>0,/G)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(2,6)時(shí)，/fG)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(6,+8)時(shí)，/,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(X)在x=2處取得極大值，不符合題意，

綜上可得，a=2.

(2)由(1)知，函數(shù)〃力=)-4m+4.且/(刈=3X2-81+4=(3%-2)(%-2)

因?yàn)榭傻卯?dāng)xe[1,2)時(shí)，r(x)<0,/(X)單調(diào)遞減：

當(dāng)xe(2,3]時(shí)，/'G)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)/G)取得最小值，最小值為/(x)=/(2)=0,

min

又由/(1)=1,/(3)=3,所以函數(shù)/G)最大值為/(3)=3,

所以函數(shù)的最小值為0,最大值為3.

20.(1)f_+==1；A(4,0)；(2)定直線x=2,理由見(jiàn)解析.

82

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意列出方程組，結(jié)合加=成-“，求得”,人的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

求得拋物線準(zhǔn)線方程，即可得A的坐標(biāo)；

(2)設(shè)P(4j),Q(4,-r),直線MN：x=my+4,M(x,y),N(x,y)聯(lián)立直線MN與橢

1122

圓的方程，求得y+y,yv,得到y(tǒng)+y=-機(jī)丫丫，再由直線尸M與QN的方程，求得交

12121212

點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】

f41

I---1----1

42b2

(1)由題意可得=〃2—C2解得〃2=8力2=2,

eJ=73

IZT

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

即橢圓C的方程為：

82

又由拋物線"=一16不，可得準(zhǔn)線方程為/:工=4,所以A(4,0).

(2)設(shè)尸(4j),Q(4,-t),MN:x=my+4,MG,y),NQ,y)

1122

x=my+4

由〈，整理得(％2+4)產(chǎn)+8my+8=O,

X2+4尹-8=0

所以y+y=—,yy

i2m2+4?2m2+4

y+y

貝I」y+y=-myyBP---^=-m,

1212書(shū)

直線PM為y-f='(x-4)即yt=yt(X一4)丁,

x-4my

ii

直線QN為y+f=)；+'G-4),即y+f=3+(-4)：,

x-4my

22

1*y+y)(

\(y-\-ty-八()

??????得：2=|T-—一i—即2/=一?——?--「。-4

磯yyJtnyy

所以2r=>!_?(-〃”)(x-4),解得:

x=2t

m

所以直線PM與QN的交點(diǎn)恒在定直線2上.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中求直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，通常需要聯(lián)立方程，得到二次方程后利用韋

達(dá)定理、結(jié)合題中條件(比如斜率關(guān)系，向量關(guān)系，距離關(guān)系，面積等)直接計(jì)算，即可

求出結(jié)果，運(yùn)算量較大.

21.(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

1

(1)當(dāng)。=0時(shí)，得到/⑴在R上單調(diào)遞增；當(dāng)。工0時(shí),，求得導(dǎo)數(shù)廣(幻="1々-。+_),

a

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

1+\nf(x)-1+Inx+x-l,1

(2)求得/(x)=x-e*-i,化簡(jiǎn)____,設(shè)g(x)=+lnx+x-l

x*exx*exxex

(x>0),求得/(x)=("xM『e，T),設(shè)〃(x)=x.ex-l,得到/i(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

X2-e”

得出當(dāng)xe(0，+8)時(shí)/?(x)在(0，l)上有唯一的零點(diǎn)，得出函數(shù)g(x)的單調(diào)性與最值，即可求

答案第15頁(yè)，共18頁(yè)

解.

【詳解】

(1)由題意，函數(shù)f(X)=X.eaxT的定義城為6，

X

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=_,函數(shù)f(x)在/?上單調(diào)遞增；

e

1

當(dāng)awO時(shí)，可得f'(x)=eaxi+ax-eax」=eax「a?(x+),

a

令f'(x)=0,得x=」，

a

???當(dāng)a<0時(shí)，在區(qū)間(-8,4)上f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

a

在區(qū)間(-L+8)上f'(X)<0,f(X)單調(diào)遞減，

a

?.?當(dāng)a>0時(shí)，在區(qū)間(-8,4)上f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

a

在區(qū)間(」，+8)上f'(x)>0,f(X)單調(diào)遞增，

a

(2)若函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),則f(l