高考數(shù)學中與初中數(shù)學相關的知識點

高考數(shù)學中與初中數(shù)學相關的知識點

寧海中學數(shù)學組

-'一元二次方程

1.一兀二次方程的一般形式：awO時，ax2+bx+c=0叫一兀二次方程的一般形式,研究一

元二次方程的有關問題時，多數(shù)習題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、b、

c;其中a、b,、c可能是具體數(shù)，也可能是含待定字母或特定式子的代數(shù)式.

2.一元二次方程的解法:一元二次方程的四種解法要求靈活運用-其中直接開平方法雖然

簡單，但是適用范圍較?。还椒m然適用范圍大，但計算較繁-易發(fā)生計算錯誤；因

式分解法適用范圍較大?且計算簡便，是首選方法；配方法使用較少.

3.一元二次方程根的判別式:當ax2+bx+c=0(aw0)時-△=b2-4ac叫一元二次方程根的判

別式.請注意以下等價命題：

△>0<=>有兩個不等的實根；A=0<=>有兩個相等的實根；

△<0<=>無實根；A20<=>有兩個實根(等或不等).

4.一元二次方程的根系關系：當ax，bx+c=O(awO)時，如A20■有下列公式：

5?當ax2+bx+c=0(awO)時，有以下等價命題：

2

(以下等價關系要求會用公式々+x,=_B,XM=￡；A=b-4ac分析,不要求背記)

aa

(1)兩根互為相反數(shù)-P=o且ANOb=0且ANO;

a

(2)兩根互為倒數(shù)￡=1且A202=(:且420;

a

(3)兩根異號-<0a'c異號；

a

6?幾個常見轉(zhuǎn)化：

二'解三角形

全等三角形的識別(1)如果兩個三角形的三條邊分別對應相等，則這兩個三角形全等。

簡記(邊邊邊或SSS)(2)如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應相等?則這個三角形

全等。簡記為(邊角邊SAS)(3)如果兩個三角形的兩個角及其夾邊分別對應相等?則

這兩個三角形全等-簡記為(角邊角ASA)(4)如果兩個三角形的斜邊及一條直角邊分

別對應相等?則這兩個直角三角形全等。簡記為(HL)

1.三角函數(shù)的定義：在RtAABC中，如NC=90°，則

tar)A=%=2;

鄰b

2?余角三角函數(shù)關系-----"正余互化公式"如NA+NB=90°,則:

sinA=cosB;cosA=sinB;

3.同角三角函數(shù)關系：

sin2A+cos2A=1;tanA=?^A

cosA

4.函數(shù)的增減性：在銳角的條件下，正弦?正切函數(shù)隨角的增大，函數(shù)值增大；余弦函數(shù)

隨角的增大?函數(shù)值反而減小.

5?特殊角的三角函數(shù)值：如圖：這是兩個特殊的直角三角形?通過設k,它可以推出特殊

角的直角三角函數(shù)

值?要熟練記憶它們.

NA0°30°45°6906.函數(shù)值隨取值范圍：在0°90°時.

0°o正弦函數(shù)值范圍五余弦函數(shù)值范圍：io；

B

sinA0242731正切函數(shù)值地圍而一無窮大；

222A

7.解直角三甲央唬于直角三角形中的五個元

素-可以"矢匕品三"，但"知二"中至少應

COS1旦10

2

2CKB

A該有一個是邊.

tan0后1石不存8.關于直角三角形的兩個公式：RfABC中:

~T

A在若NC=90。，

9?坡度：i=l:m=h/l=tana;坡角:a.

10.方位角：北偏西30\北

11?仰角與俯角十常蔽心脆水平線

南偏東7c

12-解斜三角形：已知"SAWSSS""ASA""AAS"條件的任意三角形都可以經(jīng)過"斜

化直"求出其余的邊和角.

13?解符合"SSA"條件的三角形：若三角形存在且符合"SSA"條件，則可分三種情況:

(1)zA>90°?圖形唯一可解；(2)NA<90°，NA的對邊大于或等于它的已知鄰邊?

圖形唯一可解;(3)zA<90°?NA的對邊小于它的已知鄰邊，圖形分兩類可解.

14-解三角形的基本思路：

（1）"斜化直?一般化特殊"------加輔助線的依據(jù)；

（2）合理設"輔助元k”,并利用k進一步轉(zhuǎn)化是分析三角形問題的常用方法-----轉(zhuǎn)化

思想；

（3）三角函數(shù)的定義?幾何定理，公式-相似形等都存在著大量的相等關系?利用其列方

程（或方程組）是解決數(shù)學問題的常用方法------方程思想.

三'四邊形

1?一般性質(zhì)（角）

⑴內(nèi)角和：360°

⑵順次連結(jié)各邊中點得平行四邊形。

推論1:順次連結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。

推論2:順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。

（3）外角和:360°

2?特殊四邊形

（1）平行四邊形、矩形、菱形、正方形才弟形、等腰梯形的定義'性質(zhì)和判定

（2）判定步驟：四邊形一平行四邊形一矩形一菱形----->正方形

（3）對角線的作用：

3?對稱圖形

⑴軸對稱（定義及性質(zhì)）；（2）中心對稱（定義及性質(zhì)）

4?有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2;②三角形、梯形的中位線定理；

③平行線間的距離處處相等。（如，找下圖中面積相等的三角形）

5?重要輔助線：①常連結(jié)四邊形的對角線;②梯形中常"平移一腰"、"平移對角線"、

"作高"、"連結(jié)頂點和對腰中點并延長與底邊相交"轉(zhuǎn)化為三角形。

6?作圖：任意等分線段。

四、相似形

-、相似三角形的判定和性質(zhì)（比例的有關性質(zhì)）：

涉及概念：①第四比例項②比例中項③比的前項、后項?比的內(nèi)項、外項④黃金分割等。

注意：①定理中"對應"二字的含義；②平行一相似（比例線段）一平行。

二、相似三角形性質(zhì)

1?對應線段…;2?對應周長...;3?對應面積…。

五、函數(shù)及其圖象

-函數(shù)基本概念

1.函數(shù)定義：設在某個變化過程中-有兩個變量x,、y,如對x的每一個值,y都有唯一的值

與它對應?則就說y是x的函數(shù)，x是自變量.

2.相同函數(shù)三個條件：(1)自變量范圍相同;(2)函數(shù)值范圍相同；(3)相同的自變量值

所對應的函數(shù)值也相同.

3.函數(shù)的確定：對于y=kx2(kwO),如x是自變量，這個函數(shù)是二次函數(shù)；如乂2是自變量?

這個函數(shù)是一次函數(shù)中的正比例函數(shù).一一+1+*

4.平面直角坐標系：一°|+-

(1)平面上點的坐標是一對有序?qū)崝?shù)■表示為：M(x,y)?x叫橫坐標?y叫縱坐標；

(2)一點，兩軸，(四半軸)?四象限?象限中點的坐標符號規(guī)律如右圖：

(3)x軸上的點縱坐標為0，y軸上的點橫坐標為0;即"x軸上的點縱為0-y軸上的點

橫為0";反之也

成立；

(4)象限角平分線上點M(x,y)的坐標特征：

x=y<=>M在一三象限角平分線上；x=-y<=>M在二四象限角平分線上.

(5)對稱兩點M(xi,yi),N(x2,y2)的坐標特征：

關于y軸對稱的兩點<=>橫相反，縱相同；y

P

關于x軸對稱的兩點<=>縱相反，橫相同；

JQ

關于原點對稱的兩點<=>橫、縱都相反.

5.坐標系中常用的距離幾個公式----"點求距"

(1)如圖，軸上兩點M、N之間的距離：MN=ki-X21=x大-x小，PQ=|yi-y21=y大-y小.

(2)如圖，象限上的點M(x,y):y

到y(tǒng)軸距離：61丫=岡；到x軸距離:dx=|y|;一言"

M(x,y)

(3)如圖，軸上的點M(0,y)'N(x,0)到原點的距離：

MO二|y|;NO=|x|.

(4)如圖，平面上任意兩點M(x2,y2)'N(x2,y2:TZ里的距離：

6.幾個直線方程：C。|、加

y軸<=>直線x=0;x軸<=>直線y=0；x=a丫

i,by=b

與y軸平行，距離為|a|的直線<=>直線x=a;------------、

與x軸平行?距離為|b|的直線<=>直線y=b.

、二次函數(shù)

1.二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c.(a^0)

2.今于二次函數(shù)的幾個概念：二次函數(shù)的圖象是拋物線-所以也叫拋物線y=ax2+bx+c;

拋物線關于對稱軸對稱且以對稱軸為界?一半圖象上坡，另一半圖象下坡；其中c叫二

次函數(shù)在y軸上的截距,即二次函數(shù)圖象必過(0，c)點.

3.y=ax?(awO)的特性：當y=ax2+bx+c(awO)中的b=0且c=0時二次函數(shù)為y=ax2(aw

0);這個二次函數(shù)是一個特殊的二次函數(shù)，有下列特性：

(1)圖象今于y軸對稱;(2)頂點(0?0);(3)y=ax2(arO)可以經(jīng)過補0看做二次函

數(shù)的一般式1頂點式和雙根式?即:y=ax2+0x+0,y=a(x-0)2+0,y=a(x-O)(x-O).

4.二次函數(shù)丫=2*2+5乂+(:缶。0)的圖象及幾個重要點的公式：

5.Z^S^y=ax2+bx+c(a/0)中，a、b、c與△的符號與圖象的今系：

(1)a>0<=>拋物線開口向上；a<0<=>拋物線開口向下；

(2)c>0<=>拋物線從原點上方通過；c=0<=>拋物線從原點通過；

c<0<=>拋物線從原點下方通過；

(3)a,b異號<=>對稱軸在y軸的右側(cè)；a,b同號<=>對稱軸在y軸的左側(cè)；

b=0<=>對稱軸是y軸；

(4)△>0<:>拋物線與x軸有兩個交點；

△=0<=>拋物線與x軸有一個交點(即相切)；

△<0<=>拋物線與x軸無交點.

6?求二次函數(shù)的解析式：已知二次函數(shù)圖象上三點的坐標?可設解析式y(tǒng)=ax2+bx+c-并

把這三點的坐標代入-解關于a、b、c的三元一次方程組，求出a、b、c的值，從而求

出解析式待定系數(shù)法.

8?二次函數(shù)的頂點式：y=a(x-h)2+k(awO);由頂點式可直接得出二次函數(shù)的頂點坐標

(h,k)，對稱軸方程x=h和函數(shù)的最值y最值=k.

9?求二次函數(shù)的解析式：已知二次函數(shù)的頂點坐標(x0,y0)和圖象上的另一點的坐標?可

2

設解析式為y=a(x-x0)+y0?再代入另一點的坐標求a?從而求出解析式.(注意：習

題無特殊說明，最后結(jié)果要求化為一般式)

10.二次函數(shù)圖象的平行移動：二次函數(shù)一般應先化為頂點式?然后才好判斷圖象的平行

移動；y=a(x-h)2+k的圖象平行移動時?改變的是h,k的值,a值不變?具體規(guī)律如下:

k值增大<=>圖象向上平移；k值減小<=>圖象向下平移；

(x-h)值增大<=>圖象向左平移；(x-h)值減小<=>圖象向右平移.

11.二次函數(shù)的零點式：(即兩點式)y=a(x-xi)(x-x2)(awO);由雙根式直接可得二次函數(shù)

圖象與x軸的交點(Xi,0),(x2,0).

12.求二次函數(shù)的解析式：已知二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(x1(0)-(x2,0)和圖象上

的另一點的坐標，可設解析式為y=a(x-xi)(x-x2)?再代入另一點的坐標求a?從而求出

解析式.(注意：習題最后結(jié)果要求化為一般式)

13?二次函數(shù)圖象的對稱性：已知二次函數(shù)圖象上的點與對稱軸，可利用圖象的對稱性求

出已知點的對稱點，這個對稱點也一定在圖象上.

三、反比例函數(shù)

1.反比例函數(shù)的一般形式:y=&或y=Z(k*0);圖象叫雙曲線.

X

2.關于反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：反比例函數(shù)y=kx」中自變量x不能取0,故函數(shù)圖象與y

軸無交點；函數(shù)值y也不會是0,故圖象與x軸也不相交.

3.反比例函數(shù)中K的符號與圖象所在象限的關系：

4.求反比例函數(shù)的解析式：已知反比例函數(shù)圖象上的一點?即可設解析式y(tǒng)=kx”,代入這

一點可求k值?從而求出解析式.

四、二次函數(shù)與一元二次方程的關系：

(1)如二次函數(shù)y=ax2+bx+c(awO)中的△>0時，圖象與x軸相交，函數(shù)值y=0，此時,

二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0(awO)?這個方程的兩個根Xi、x?是二次

函數(shù)y=ax，bx+c與x軸相交兩點的橫坐標1交點坐標為(xh0)(x2,0);

(2)當研究二次函數(shù)的圖象與x軸相交時的有關問題時?應立即把函數(shù)轉(zhuǎn)化為它所對應的

一元二次方程，此時-一元二次方程的求根公式，△值?根系尖系等都可用于這個二次

函數(shù).

(3放口二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)中的△>()時，圖象與x軸相交于兩點NXi,0)B(x2,0)

有重要關系式：OA=M|,OB=|X2|,若需要去掉絕對值符號,則必須據(jù)題意做進一步判斷；

同樣,圖象與y軸交點C(O,c),也有關系式:OC=|c|.

五、二元二次方程組解的判斷：

一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，若消去一個未知數(shù)-則轉(zhuǎn)化

為一元二次方程，此時的△值將決定原方程組解的情況?即：

△>0<=>方程組有兩個解；△=()<=>方程組有一個解；A<0<=>方程組無實解.

六'圓

幾何基本概念：

-基本概念：

圓的有關概念:(1)'確定一個圓的要素是圓心和半徑。

(2)連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓上任意兩點間的部分叫

做圓弧?簡稱弧。小于半圓周的圓弧叫做劣弧。大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧。在同圓或等

圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。頂點在圓上,并且兩邊和圓相交的角叫圓周角°

經(jīng)過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個-經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角

形的外接圓，三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心-這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接

三角形，外心是三角形各邊中垂線的交點；直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半。

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心-

這個三角形叫做圓外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點。

直角三角形內(nèi)切圓半徑,?滿足：a+b=c+2r。

二定理：

1-不在一直線上的三個點確定一個圓.

2?任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.

3?正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個全等的直角三角形.

三公式：

1.有關的計算:(1)圓的周長C=2nR;(2)弧長L=述；(3)圓的面積S=nR2.

18()

(4)扇形面積S扇形=n"R=，LR；(5)弓形面積S弓形=扇形面積SAOBIAAOB的面積.(如

3602

圖)

2.圓柱與圓錐的側(cè)面展開圖：

(1)圓柱的側(cè)面積：S圓柱側(cè)=2nrh;(匚底面半徑；h:圓柱高)

(2)圓錐的側(cè)面積：S圓錐側(cè)=；LR.(L=2jrr?R是圓錐母線長；r是底面半徑)

四常識：

1,圓是軸對稱和中心對稱圖形.

2?圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù).

3?三角形的外心兩邊中垂線的交點三角形的外接圓的圓心;

三角形的內(nèi)心兩內(nèi)角平分線的交點三角形的內(nèi)切圓的圓心；

(三角形的重心兩中線的交點頂點到重心的距離=重心到對邊中點距離的兩

三角形的垂心兩高線的交點頂點與垂心的連線垂直于對邊.)

4?直線與圓的位置關系：(其中d表示圓心到直線的距離；其中r表示圓的半徑)

直線與圓相交d<r;直線與圓相切d=r;直線與圓相離d>r.

5?圓與圓的位置關系：(其中d表示圓心到圓心的距離?其中R、r表示兩個圓的半徑

且R>r)

兩圓外離d>R+r;兩圓外切d=R+r;兩圓相交R-r<d<

R+r;

兩圓內(nèi)切d=R-r;兩圓內(nèi)含d<R-r.

6?證直線與圓相切，常利用："已知交點連半徑證垂直"和"不知交點作垂直證半徑”的

方法加輔助線.

關于幾何圓的基本圖形

1.垂徑定理及推論：幾何表達式舉例：

如圖：有五個元素「知二可推三"；需記憶其中四???CD過圓心

個定理，-.CD±AB

...AE=BE

即"垂徑定理""中用定理""弧徑定理""中垂

AC=BC

平分優(yōu)弧Z-

定理“.(\AD=BD

(°!)過圓心

\E/垂直于弦

B

*xTr-/中平分分弦&__

.平行線夾弧定理：U乙二

2A幾何表達式舉例：

圓的兩條平行弦所夾的弧相等*.?AB//CD

AC=BD

3."角、弦、弧、距"定理：(同圓或等圓中)幾何表達式舉例：

”等角對等弦"；"等弦對等角"；大箱、(1)-.-zAOB=zCOD

”等角對等弧"；"等弧對等角"；Aj/。)

.-.AB=CD

"等弧對等弦"「'等弦對等(優(yōu)?劣)照J

(2)-/AB=CD

"等弦對等弦心距"「'等弦心距對等弦".zAOB=n

COD

4?圓周角定理及推論：幾何表達式舉例：

(1)圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一(1)???NACB=，N

2

半；AOB

(2)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

一半；(如圖)(2)?「AB是直徑

(3)"等弧對等角""等角對等弧";.■.zACB=90°

(4)"直徑對直角""直角對直徑"；(如圖)(3)■.NACB=90。

(5)如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則AB是直徑

這個三角形是直角三角形.(如圖)(4)???

CD=AD=BD

c.

」.△ABC是Rt

△

(1)(2)(3)(4)

5?圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理:幾何表達式舉例:

圓內(nèi)接四邊形的對角互補-并且任何一個外ABCD是圓內(nèi)接

角都等于它的內(nèi)對角.四邊形

.'.zCDE=NABC

zC+zA=180°

6?切線的判定與性質(zhì)定理:幾何表達式舉例:

如圖：有三個元素「知二可露2/B是半徑

(1)?.?OC是半徑

垂直

需記憶其中四個定理.A是切線-,OC±AB

(1)經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條..AB是切線

半徑的直線是圓的切線；(2)=。(：是半徑

(2)圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；/AB是切線

(3)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；.,.OC±AB

(4)經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.(3)..............

7?切線長定理：,幾何表達式舉例：

從圓外一占引圓的兩條切線1■,PA'PB杲切

它們的切線長相等；圓心和這一線

點的連線平分兩條切線的夾角.PA=PB

??,PO過圓心

zAPO=z

BPO

8?弦切角定理及其推論：幾何表達式舉例：

(1)弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；(1)?」BD是切線，

(2)如果兩個弦切角所夾的弧相等-則這兩個弦BC是弦

切角也相等；(如圖)/.zCBD=n

(3)弦切角的度數(shù)等于它所*的弧的度數(shù)的一半.CAB

(如圖)cC

?/EF=AB

(2)

◎BC

???ED?BC是切

-2s

線

zCBA=z

DEF

(1)(2)

9?相交弦定理及其推論：幾何表達式舉例：

(1)圓內(nèi)的兩條相交弦?被交點分成的兩條線段(1)

長的乘積相等；???PA?PB=PGPD

(2)如果弦與直徑垂直相交?則弦的一半是它分

直徑所成的兩條線段長的比例中項.(2).AB是直徑

?--PC±AB

.-.PC2=PA-P

B

1)

(2)