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第六節(jié)

兩個重要極限本節(jié)學習目標010203能利用第二個重要極限解決連續(xù)復利問題熟練掌握第一個重要極限及特征熟練掌握第二個重要極限及特征一、第一個重要極限

x0.20.10.050.02…0.99330.99830.99960.9999…3

根據(jù)§1.3定理1.3,第一個重要極限可以推廣為

42.第一個重要極限的特征第一個重要極限具有兩個特征:特征1角度一定趨于零特征2分子是角度的正弦函數(shù),分母一定是這個

角度本身.53.第一個重要極限的應用

在應用第一個重要極限時,自變量x不一定趨于零,它可以趨于非零常數(shù),但必須使得角度趨于零.6例1

=7×1=77例2

8二、第二個重要極限

x…-10000-1000-100100100010000……2.7182.7202.7322.7052.7172.718…9

根據(jù)§1.3定理1.3,第二個重要極限可以推廣為

102.第二個重要極限的特征第二個重要極限也具有兩個特征:特征1底一定是數(shù)1加上無窮小量特征2指數(shù)一定是底中無窮小量的倒數(shù)113.第二個重要極限的應用第二個重要極限應用于求1∞型未定式極限,所求1∞型未定式極限同時滿足兩個特征時,極限值就等于e.所求1∞型未定式極限若具有第一個特征而不具有第二個特征,則可以通過冪恒等關系式等代數(shù)恒等變形,使其具有第二個特征,進而應用第二個重要極限求解在應用第二個重要極限時,自變量x不一定趨于無窮大,它可以趨于零,但必須使得底為數(shù)1加上無窮小量.根據(jù)§1.3的結論,第二個重要極限對于相應的數(shù)列極限也是適用的.12例3

=e·1=e13例4

=e314例5

=e-115例6

16例6解:根據(jù)已知條件,顯然常數(shù)k≠0.計算極限

=ek

（d）17例7當x→0時,無窮小量ln(1+x)與x比較是(

)無窮小量.(a)較高階

(b)較低階(c)同階但非等價

(d)等價18

=lne=1根據(jù)無窮小量階的定義,說明當x→0時,無窮小量ln(1+x)與x是等價無窮小量(d)19

二、分式極限計算舉例

例8.利用第二個重要極限解決連續(xù)復利問題利息是指借款者向貸款者支付的報酬，利息的計算方式有：單利、復

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