第7章參數(shù)估計

第7章參數(shù)估計7.1

參數(shù)估計的一般問題7.2一個總體參數(shù)的區(qū)間估計7.3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計7.4樣本量的確定1學習目標了解估計量與估計值的概念了解點估計與區(qū)間估計的區(qū)別掌握評價估計量優(yōu)良性的標準掌握一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法了解兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法掌握樣本量的確定方法27.1參數(shù)估計的基本問題7.1.1估計量與估計值7.1.2點估計與區(qū)間估計7.1.3評價估計量的標準37.1.1估計量與估計值4參數(shù)估計：用樣本統(tǒng)計量去估計總體參數(shù)估計量：用于估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量如樣本均值，樣本比率,樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值

的一個估計量參數(shù)用

表示，估計量用表示估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值如果樣本均值

x

=80，則80就是

的估計值估計量與估計值

(estimator&estimatedvalue)57.1.2點估計與區(qū)間估計6點估計

(pointestimate)用樣本估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計7無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復抽樣條件下，點估計的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機的，抽出一個具體樣本得到的估計值很可能不同于總體真值一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標準誤差來衡量的，這表明一個具體的點估計值無法給出估計的可靠性度量8區(qū)間估計

(intervalestimate)在點估計的基礎上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量樣本統(tǒng)計量

(點估計)置信區(qū)間置信下限置信上限9區(qū)間估計的圖示

x95%的樣本

-1.96

x

+1.96

x99%的樣本

-2.58

x

+2.58

x90%的樣本

-1.65

x

+1.65

x10將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱為置信水平表示為(1-

為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比率常用的置信水平值有99%,95%,90%相應的

為0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

11由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間置信區(qū)間

(confidenceinterval)12置信區(qū)間

(confidenceinterval)3.用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯誤的13置信區(qū)間

(95%的置信區(qū)間)重復構(gòu)造出的20個置信區(qū)間

點估計值14置信區(qū)間的理解15值

,有些區(qū)間不包含真值

.不過包含真值

的區(qū)間的頻率應該在0.95左右.2.置信區(qū)間表達了區(qū)間估計的精確性,置信水平則表明了區(qū)間估計的可靠性它是區(qū)間估計的可靠概率;顯著性水平表明了區(qū)間估計的不可靠的概率。163.置信概率是區(qū)間估計中事前按一定的要求指定的標準,常用的有三種:1-

=0.95即

=0.05

或1-

=0.99即

=0.01

或1-

=0.999即

=0.001.4.區(qū)間估計中精確性與可靠性是相互矛盾的.177.1.3評價估計量的標準18點估計的優(yōu)良性準則(一)無偏性

若估計量的數(shù)學期望等于未知參數(shù)

的真實值,即則稱為

的無偏估計量。

無偏性的實質(zhì):對一個估計量,多次變更數(shù)據(jù)，反復求估計值時,估計值的平均值與真實值一致,即盡管有時比

大,有時比

小,但總的來看,它的“平均值”就是

。19無偏估計量偏差有偏估計量20(二)有效性

有效性是指對同一參數(shù)的兩個無偏估計量，有更小方差的估計量更有效。

213.一致性(consistency)227.2一個總體參數(shù)的區(qū)間估計7.2.1總體均值的區(qū)間估計7.2.2總體比率的區(qū)間估計7.2.3總體方差的區(qū)間估計237.2.1總體均值的區(qū)間估計

(正態(tài)總體、

２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)24總體均值的區(qū)間估計

(大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似(n

30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z（大樣本總體方差未知時用樣本方差代替）總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為25總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對食品質(zhì)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為10g。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%2625袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.327總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-

=95%，z

/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：。由于是正態(tài)總體，且方差已知。總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量在95%置信水平的置信區(qū)間為101.44g~109.28g28總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家保險公司收集到由36個投保人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間

36個投保人年齡的數(shù)據(jù)23353927364436424643313342534554472434283936444039493834485034394548453229總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)解：已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：，

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲30總體均值的區(qū)間估計

(正態(tài)總體、

２未知、小樣本)31總體均值的區(qū)間估計

(小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差(

２)

未知小樣本(n<30)2.使用t

分布統(tǒng)計量總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為32總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)151015201480150014501480151015201480149015301510146014601470147033總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)解：已知Ｘ~N(

，2)，n=16,1-

=95%，t

/2=2.131

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：，

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h～1503.2h347.2.2總體比率的區(qū)間估計35總體比率的區(qū)間估計1. 假定條件總體服從二項分布樣本容量足夠大時，可以由正態(tài)分布來近似(np≥5,n(1-p）≥5）使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z3.總體比率

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為36總體比率的區(qū)間估計

(例題分析)【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比率，隨機地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比率的置信區(qū)間37總體比率的區(qū)間估計

(例題分析)解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比率的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

387.2.3總體方差的區(qū)間估計39總體方差的區(qū)間估計1. 估計一個總體的方差或標準差2. 假設總體服從正態(tài)分布3.總體方差

2

的點估計量為s2,且4.總體方差在1-

置信水平下的置信區(qū)間為40總體方差的區(qū)間估計

(圖示)

2

21-

2

總體方差的1-

的置信區(qū)間自由度為n-1的

241總體方差的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量標準差的置信區(qū)間4225袋食品的重量

112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.343總體方差的區(qū)間估計

(例題分析)解:已知n＝25，1-

＝95%,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得

s2=93.21

2置信度為95%的置信區(qū)間為該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標準差的的置信區(qū)間為7.54g~13.43g44一個總體參數(shù)的區(qū)間估計

(小結(jié))457.3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計7.3.1兩個總體均值之差的區(qū)間估計7.3.2兩個總體比率之差的區(qū)間估計7.3.3兩個總體方差比的區(qū)間估計46兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值之差比率之差方差比477.3.1兩個總體均值之差的區(qū)間估計

(獨立大樣本)48兩個總體均值之差的估計

(大樣本)1. 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，

1２、

2２已知若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來近似(n1

30和n2

30)兩個樣本是獨立的隨機樣本2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z49兩個總體均值之差的估計

(大樣本)3.

1２，

2２已知時，兩個總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為4.1２、

2２未知時，兩個總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為50兩個總體均值之差的估計

(例題分析)【例】某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分數(shù)之差，為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關數(shù)據(jù)如右表。建立兩所中學高考英語平均分數(shù)之差95%的置信區(qū)間

兩個樣本的有關數(shù)據(jù)

中學1中學2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.251兩個總體均值之差的估計

(例題分析)解:兩個總體均值之差在1-

置信水平下的置信區(qū)間為兩所中學高考英語平均分數(shù)之差的置信區(qū)間為5.03分~10.97分52兩個總體均值之差的區(qū)間估計

(獨立小樣本)53兩個總體均值之差的估計

(小樣本:

12=

22

)1. 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等：

1２=

2２兩個獨立的小樣本(n1<30和n2<30)2.總體方差的合并估計量估計量

x1-x2的抽樣標準差54兩個總體均值之差的估計

(小樣本:

12=

22

)兩個樣本均值之差的標準化兩個總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為55兩個總體均值之差的估計

(例題分析)【例】為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件產(chǎn)品所需的時間(單位：min)下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.52156兩個總體均值之差的估計

(例題分析)解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得

合并估計量為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.14min~7.26min57兩個總體均值之差的估計

(小樣本:

12

22

)1. 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：

1２

2２兩個獨立的小樣本(n1<30和n2<30)2.使用統(tǒng)計量58兩個總體均值之差的估計

(小樣本:

12

22

)

兩個總體均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為自由度59兩個總體均值之差的估計

(例題分析)【例】沿用前例。假定第一種方法隨機安排12名工人，第二種方法隨機安排8名工人，即n1=12，n2=8，所得的有關數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間

60兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.261兩個總體均值之差的估計

(例題分析)解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得

自由度為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.192min~9.058mni62兩個總體均值之差的區(qū)間估計

(匹配樣本)63兩個總體均值之差的估計

(匹配大樣本)假定條件兩個匹配的大樣本(n1

30和n2

30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為對應差值的均值對應差值的標準差64兩個總體均值之差的估計

(匹配小樣本)假定條件兩個匹配的小樣本(n1<30和n2<30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布

兩個總體均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為65兩個總體均值之差的估計

(例題分析)【例】由10名學生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進行測試，結(jié)果如下表。試建立兩種試卷分數(shù)之差

d=

1-

2

95%的置信區(qū)間

10名學生兩套試卷的得分學生編號試卷A試卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-2768551387660169857781055391666兩個總體均值之差的估計

(例題分析)解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得兩種試卷所產(chǎn)生的分數(shù)之差的置信區(qū)間為6.33分~15.67分677.3.2兩個總體比率之差區(qū)間的估計681. 假定條件兩個總體服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似兩個樣本是獨立的2. 兩個總體比率之差

1-

2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體比率之差的區(qū)間估計69兩個總體比率之差的估計

(例題分析)【例】在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以95%的置信水平估計城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間

1270兩個總體比率之差的估計

(例題分析)解:

已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-

=95%，z/2=1.96

1-

2置信度為95%的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%~19.32%717.3.3兩個總體方差比的區(qū)間估計72兩個總體方差比的區(qū)間估計1. 比較兩個總體的方差比用兩個樣本的方差比來判斷如果S12/S22接近于1,說明兩個總體方差很接近如果S12/S22遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異總體方差比在1-

置信水平下的置信區(qū)間為73兩個總體方差比的區(qū)間估計

(圖示)FF1-

F

總體方差比的1-

的置信區(qū)間方差比置信區(qū)間示意圖74兩個總體方差比的區(qū)間估計

(例題分析)【例】為了研究男女學生在生活費支出(單位：元)上的差異，在某大學各隨機抽取25名男學生和25名女學生，得到下面的結(jié)果

男學生：

女學生：

試以90%置信水平估計男女學生生活費支出方差比的置信區(qū)間75兩個總體方差比的區(qū)間估計

(例題分析)解:根據(jù)自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F(xiàn)1-/2(24)=1/1.98=0.505

12/22置信度為90%的置信區(qū)間為男女學生生活費支出方差比的置信區(qū)間為0.47~1.84

76兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計

(小結(jié))777.4樣本量的確定7.4.1估計總體均值時樣本量的確定7.4.2估計總體比率時樣本量的確定7.4.3估計兩個總體均值之差時樣本量的確定7.4.4估計兩個總體比率之差時樣本量的確定787.4.1估計總體均值時樣本量的確定79估計總體均值時樣本量n為樣本量n與總體方差

2、允許誤差E、可靠性系數(shù)Z或t之間的關系為與總體方差成正比與允許誤差的平方成反比與可靠性系數(shù)的平方成正比（與置信度正相關）估計總體均值時樣本量的確定其中：80樣本量的圓整法則：當計算出的樣本量不是整數(shù)時，將小數(shù)點后面的數(shù)值一律進位成整數(shù)，如24.68取25，24.32也取25等等81估計總體均值時樣本量的確定

(例題分析)【例】擁有工商管理學士學位的大學畢業(yè)生年薪的標準差大約為2000元，假定想要估計年薪95%的置信區(qū)間，希望允許誤差為400元，應抽取多大的樣本量？82估計總體均值時樣本量的確定

(例題分析)解:

已知

=2000，E=400,1-

=95%，z/2=1.96

應抽取的樣本量為即應抽取97人作為樣本837.4.2估計總體比率時樣本量的確定84根據(jù)比率區(qū)間估計公式可得樣本量n為估計總體比率時樣本量的確定

E的取值一般小于0.1

未知時，可取使方差達到最大的值0.25，即

=50%其中：85估計總體比率時樣本量的確定

(例題分析)【例】根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計，某種產(chǎn)品的合格率約為90%，現(xiàn)要求允許誤差為5%，