必修一同步1.3.1第1課時函數(shù)的單調性

第一章1.31.3.1根底穩(wěn)固一、選擇題1．以下命題正確的選項是()A．定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，假設存在x1、x2∈(a，b)，當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù)B．定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，假設有無窮多對x1、x2∈(a，b)，當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù)C．假設函數(shù)f(x)在區(qū)間I1上為減函數(shù)，在區(qū)間I2上也為減函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間I1∪I2上一定是減函數(shù)D．假設函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的增函數(shù)，且f(x1)＜f(x2)(x1、x2∈I)，那么x1＜x2[答案]D[解析]A項中并不是對任意x1、x2都成立；B項中雖然有無窮多對，但也不能代表“所有”“任意”；C項中以f(x)＝eq\f(1,x)為例，雖然在(－∞，0)及(0，＋∞)上均為減函數(shù)，但在整個定義域上卻不具有單調性，應選D.2．以下圖中是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x)，那么以下關于函數(shù)f(x)的說法錯誤的選項是()A．函數(shù)在區(qū)間[－5，－3]上單調遞增B．函數(shù)在區(qū)間[1,4]上單調遞增C．函數(shù)在區(qū)間[－3,1]∪[4,5]上單調遞減D．函數(shù)在區(qū)間[－5,5]上沒有單調性[答案]C[解析]假設一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調區(qū)間時，不能用“∪”連接．如0＜5，但f(0)＞f(5)，應選C.3．以下函數(shù)中，在(0,2)上為增函數(shù)的是()A．y＝－3x＋2 B．y＝eq\f(3,x)C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10[答案]D[解析]顯然A、B兩項在(0,2)上為減函數(shù)，排除；對C項，函數(shù)在(－∞，2)上為減函數(shù)，也不符合題意；對D項，函數(shù)在(－eq\f(4,3)，＋∞)上為增函數(shù)，所以在(0,2)上也為增函數(shù)，應選D.4．函數(shù)y＝x2＋x＋1(x∈R)的遞減區(qū)間是()A．[－eq\f(1,2)，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－∞，－eq\f(1,2)] D．(－∞，＋∞)[答案]C[解析]y＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，其對稱軸為x＝－eq\f(1,2)，在對稱軸左側單調遞減，∴x≤－eq\f(1,2)時單調遞減．5．(2015·黃中月考題)函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)>f(－m＋9)，那么實數(shù)mA．(－∞，－3) B．(0，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[答案]C[解析]因為函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即6．函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的對稱軸為直線x＝1，那么()A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(1)<f(－1)<f(2)[答案]B[解析]因為二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函數(shù)f(x)的圖象為開口向上的拋物線，那么f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，故f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(2)<f(－1)．應選B.二、填空題7．f(x)是定義在R上的增函數(shù)，以下結論中，①y＝[f(x)]2是增函數(shù)；②y＝eq\f(1,fx)是減函數(shù)；③y＝－f(x)是減函數(shù)；④y＝|f(x)|是增函數(shù)，其中錯誤的結論是________．[答案]①②④8．假設函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是單調函數(shù)，那么k的取值范圍是________．[答案](－∞，40]∪[64，＋∞)[解析]對稱軸為x＝eq\f(k,8)，那么eq\f(k,8)≤5或eq\f(k,8)≥8，得k≤40或k≥64.三、解答題9．(2015·安徽師大附中高一期中)函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)，判斷f(x)在(0，＋∞)上單調性并用定義證明．[思路點撥]eq\x(作差)→eq\x(變形)→eq\x(定號)→eq\x(下結論)[解析]f(x)在(0，＋∞)上單增．證明：任取x1＞x2＞0，f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1－1,x1＋1)－eq\f(x2－1,x2＋1)＝eq\f(2x1－x2,x1＋1x2＋1)，由x1＞x2＞0知x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＞0，故f(x1)－f(x2)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上單增．10．假設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－1x＋b－1，x＞0,－x2＋2－bx，x≤0))在R上為增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍．[分析]eq\x(\a\al(分別考慮兩個分段,解析式的單調性))→eq\x(\a\al(再根據(jù)整體的單調,性求b的取值范圍))[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－1＞0,2－b≥0,b－1≥f0))，解得1≤b≤2.①[注釋]①此題在列不等式組時很容易忽略b－1≥f(0)，即只考慮到了分段函數(shù)在各自定義域上的單調性，忽略了f(x)在整個定義域上的單調性．[方法探究]解決此類問題，一般要從兩個方面思考：一方面每個分段區(qū)間上函數(shù)具有相同的單調性，由此列出相關式子；另一方面要考慮端點處的銜接情況，由此列出另一局部的式子．能力提升一、選擇題1．設(a，b)，(c，d)都是函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，那么f(x1)與f(x2)的大小關系是()A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能確定[答案]D2．函數(shù)y＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，那么函數(shù)f(x)＝bx＋a在R上是()A．減函數(shù)且f(0)＜0 B．增函數(shù)且f(0)＜0C．減函數(shù)且f(0)＞0 D．增函數(shù)且f(0)＞0[答案]A[解析]∵y＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)都是減函數(shù)，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a為減函數(shù)且f(0)＝a＜0，應選A.3．以下有關函數(shù)單調性的說法，不正確的選項是()A．假設f(x)為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，那么f(x)＋g(x)為增函數(shù)B．假設f(x)為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，那么f(x)＋g(x)為減函數(shù)C．假設f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，那么f(x)＋g(x)為增函數(shù)D．假設f(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，那么f(x)－g(x)為減函數(shù)[答案]C[解析]∵假設f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，那么f(x)＋g(x)的增減性不確定．例如f(x)＝x＋2為R上的增函數(shù)，當g(x)＝－eq\f(1,2)x時，那么f(x)＋g(x)＝eq\f(1,2)x＋2為增函數(shù)；當g(x)＝－3x，那么f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上為減函數(shù)，∴不能確定．4．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，對于任意的x1、x2∈[a，b](其中x1＜x2)，以下結論不正確的選項是()A.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0C．f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)D．f(x2)－f(x1)＞0[答案]C[解析]∵x1∈[a，b]，x2∈[a，b]且x1＜x2，∴a≤x1＜x2≤b又f(x)在[a，b]上為增函數(shù)∴f(a)≤f(x)＜f(x2)≤f(b)，故C錯，選C.二、填空題5．函數(shù)y＝－(x－3)|x|的遞增區(qū)間為________．[答案][0，eq\f(3,2)][解析]y＝－(x－3)|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋3xx＞0，,x2－3xx≤0，))作出其圖象如圖，觀察圖象知遞增區(qū)間為[0，eq\f(3,2)]．6．函數(shù)f(x)是區(qū)間(0，＋∞)上的減函數(shù)，那么f(a2－a＋1)與f(eq\f(3,4))的大小關系為________．[答案]f(a2－a＋1)≤f(eq\f(3,4))[解析]∵a2－a＋1＝(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，又f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴f(a2－a＋1)≤f(eq\f(3,4))．三、解答題7．函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，對任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≥3.[解析](1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，又f(4)＝5，∴f(2)＝3.(2)f(m－2)≥f(2)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤2,m－2＞0))，∴2＜m≤4.∴m的范圍為(2,4]．8．(能力拔高題)(1)寫出函數(shù)y＝x2－2x的單調區(qū)間及其圖象的對稱軸，觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側的單調性有什么特點？(2)寫出函數(shù)y＝|x|的單調區(qū)間及其圖象的對稱軸，觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側的單調性有什么特點？(3)定義在[－4,8]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，y＝f(x)的局部圖象如下圖，請補全函數(shù)y＝f(x)的圖象，并寫出其單調區(qū)間，觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側的單調性有什么特點？(4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結論？(不需要證明)[解析](1)函數(shù)y＝x2－2x的單調遞減區(qū)間是(－∞，1]，單調遞增區(qū)間是[1，＋∞)；其圖象的對稱軸是直線x＝1；區(qū)間(－∞，1]和區(qū)間[1，＋∞)關于直線x＝1對稱，函數(shù)y＝x2－2x在對稱軸兩側的單調性相反．(2)函數(shù)y＝|x|的單調減區(qū)間為(－∞，0]，增區(qū)間為[0，＋∞)，圖象關于直線x＝0對稱，在其兩側單調性相反．.(3