第11章 恒定電流與真空中的恒定磁場

第11章

恒定電流與真空中的恒定磁場11.1恒定電流和恒定電場電動勢11.2恒定磁場和磁感應(yīng)強(qiáng)度11.3畢奧—薩伐爾定律11.4真空中磁場的高斯定理11.5真空中恒定磁場的安培環(huán)路定理11.6磁場對運(yùn)動電荷和載流導(dǎo)線的作用11.7磁力的功內(nèi)容提要3/1/202411.1恒定電流和恒定電場電動勢11.1.1電流形成的條件電流:大量電荷有規(guī)則的定向運(yùn)動.載流子:形成電流的帶電粒子的統(tǒng)稱.1.電流的種類：傳導(dǎo)電流:導(dǎo)體中電子或離子相對于導(dǎo)體定向運(yùn)動所形成的電流.運(yùn)流電流:由帶電物體的機(jī)械運(yùn)動形成的電流.3/1/2024

2.導(dǎo)體中形成電流的條件：(1)導(dǎo)體內(nèi)有可以移動的自由電荷；(2)有維持電荷做定向移動的電場.3.電流的定義:單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體任一截面的電量.單位：安培(A)11.1.2恒定電流和恒定電場恒定電流(直流電):

2.恒定電場:維持恒定電流所需的電場,其分布不隨時間變化.電流分布不隨時間變化.3/1/202411.1.3電流和電流密度大?。悍较颍?.電流密度矢量

:通過垂直于載流子運(yùn)動方向的單位面積的電流.正載流子的運(yùn)動方向,即與外電場的方向相同.通過一個有限截面S

的電流強(qiáng)度為:即：電流強(qiáng)度是電流密度矢量通過S

面的通量.3/1/20242.電流密度與電流定向速度的關(guān)系設(shè)電子數(shù)密度為n的電子以速率u漂移,單位時間內(nèi)通過截面dS

的電流強(qiáng)度dI為:dd則電流密度的大小為:矢量式:金屬導(dǎo)體中的電流與電流密度均與自由電子的數(shù)密度和自由電子的漂移速率成正比．3/1/202411.1.5電源及電源電動勢電容器放電過程：正電荷在電場力作用下從A板經(jīng)導(dǎo)線移到B板，與B板上負(fù)電荷中和.1.電源——不能形成恒定電流AB

能提供非靜電力的裝置.2.電動勢把單位正電荷繞閉合回路一周時,非靜電力所做的功.電源電動勢非靜電電場強(qiáng)度3/1/2024非靜電電場強(qiáng)度:AB電源表明電源電動勢的大小等于把單位正電荷從負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部移至正極時非靜電力所做的功．方向：從負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部到正極的方向.單位：伏特(V).3/1/20243/1/202411.2恒定磁場和磁感應(yīng)強(qiáng)度11.2.1磁性起源于電荷的運(yùn)動1.基本磁現(xiàn)象磁性：能吸引鐵，鎳，鈷等物質(zhì)的性質(zhì);磁極：磁性最強(qiáng)的區(qū)域;磁力：磁極同性相斥，異性相吸;指向：懸掛的條形磁鐵會自動地轉(zhuǎn)向南北方向,指向北方的磁極為北極(N)，指向南方的磁極為南極(S).SN兩極不可分割,即“單極子”不存在3/1/20242.幾個重要實(shí)驗(yàn)奧斯特電流的磁效應(yīng)實(shí)驗(yàn)電流對磁極有力的作用安培實(shí)驗(yàn)磁現(xiàn)象與電荷的運(yùn)動有著密切的關(guān)系.運(yùn)動電荷既能產(chǎn)生磁效應(yīng)，也受到磁力的作用.3/1/2024一切磁現(xiàn)象都起源于電荷的運(yùn)動.分子電流作定向排列,則宏觀上就會顯現(xiàn)出磁性來.3.安培分子電流假說物質(zhì)的每個分子都存在著回路電流——分子電流結(jié)論3/1/202411.2.2磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B運(yùn)動電荷

運(yùn)動電荷

磁場1.磁場2.磁場的性質(zhì)

對磁場內(nèi)的運(yùn)動電荷,或載流導(dǎo)線有力的作用;(2)磁場有能量.3.磁感應(yīng)強(qiáng)度:描述磁場大小和方向的物理量.實(shí)驗(yàn)：考察正試驗(yàn)電荷q0以速率v在磁場中沿不同方向運(yùn)動受力：q03/1/2024實(shí)驗(yàn)結(jié)果:(1)F

v、B組成的平面；(2)

F大小正比于v、q0

、sin

;

(3)q0沿磁場方向運(yùn)動，F(xiàn)=0;

q0垂直磁場方向運(yùn)動，F(xiàn)=Fmax.定義磁感強(qiáng)度的大?。簡挝唬禾厮估?T)方向：與的方向相同.q03/1/202411.3畢奧-薩伐爾定律11.3.1畢奧—薩伐爾定律靜電場:取磁場：取畢－薩定律：

單位矢量——真空中的磁導(dǎo)率大?。悍较颍河衣菪▌t

?P3/1/2024例如：P恒定磁場的計算步驟：(1)選取電流元或某些典型電流分布為積分元；(2)由畢—薩定律寫出積分元的磁場dB；(3)建立坐標(biāo)系,將dB分解為分量式,對每個分量積分

(統(tǒng)一變量、確定積分上下限);(4)求出總磁感應(yīng)強(qiáng)度大小、方向,對結(jié)果進(jìn)行分析.3/1/202411.3.2畢奧—薩伐爾定律應(yīng)用舉例1.載流直導(dǎo)線的磁場Ia解:求距離載流直導(dǎo)線為a處一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度P幾何關(guān)系:l3/1/2024(1)無限長直導(dǎo)線方向：右螺旋法則(2)任意形狀直導(dǎo)線PaI12討論IP3/1/2024Px2.載流圓線圈的磁場RxO求軸線上一點(diǎn)P

的磁感應(yīng)強(qiáng)度根據(jù)對稱性方向滿足右手螺旋PxI3/1/2024(1)載流圓線圈的圓心處

(2)一段圓弧在圓心處產(chǎn)生的磁場I如果由N匝圓線圈組成如圖,求O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度I123解:RO例:討論3/1/2024IIRO123(3)S定義磁矩：3/1/2024例:

半徑為R的圓盤均勻帶電,電荷面密度為

.若該圓盤以角速度

繞圓心O旋轉(zhuǎn),求軸線上距圓心x處P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.解：

ROPxxdBdrr任取半徑為r的圓環(huán)，如圖方向沿x軸環(huán)上電量為：則：3/1/202411.3.3勻速運(yùn)動電荷的磁場P+qS電流元內(nèi)總電荷數(shù)電荷密度一個電荷產(chǎn)生的磁場方向：

+-.3/1/202411.4真空中磁場的高斯定理靜電場：磁場：靜電場是有源場11.4.1磁感應(yīng)線1.規(guī)定的單位面積上穿過的磁感線條數(shù)為方向：磁感線切線方向?yàn)榇鸥袘?yīng)強(qiáng)度的方向;大小：垂直磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小.即:3/1/20242.磁感線的特征(1)無頭無尾的閉合曲線;(2)與電流相互套連，服從右手螺旋定則;(3)磁力線不相交.條形磁鐵周圍的磁感線直線電流的磁感線圓電流的磁感線通電螺線管的磁感線3/1/202411.4.2磁通量通過磁場中某一曲面的磁感線數(shù).對于有限曲面:對于閉合曲面:單位：Wb(韋伯)

dS磁力線穿入:規(guī)定:磁力線穿出:3/1/202411.4.3真空中恒定磁場的高斯定理磁感線都是閉合曲線

——真空中恒定磁場的高斯定理

電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)線既沒有起始點(diǎn)，也沒有終止點(diǎn)，即磁感線既沒有源頭，也沒有尾閭.——磁場是無源場(渦旋場)3/1/202411.5恒定磁場的安培環(huán)路定理靜電場:靜電場是保守場磁場:11.5.1恒定磁場的安培環(huán)路定理1.推導(dǎo)：以真空中一無限長載流直導(dǎo)線為例.3/1/2024表明：若環(huán)路L的方向反向,情況如何？磁感應(yīng)強(qiáng)度

的環(huán)流：

的環(huán)流與環(huán)路中所包圍的電流有關(guān).

3/1/2024若環(huán)路中不包圍電流,情況又如何？表明：環(huán)路中不包圍電流,則的環(huán)流為零.

3/1/2024若電流I1、I2在環(huán)路L中，而電流I3、I4在環(huán)路L外.則的環(huán)流為：

3/1/2024

——真空中恒定磁場的安培環(huán)路定理

在真空的恒定磁場中，沿任何閉合路徑L一周的B矢量的線積分(即B的環(huán)流)，等于閉合路徑內(nèi)所包圍并穿過的電流的代數(shù)和的

0倍，而與路徑的形狀大小無關(guān).數(shù)學(xué)表達(dá)式：

2.電流I的正、負(fù)號規(guī)定當(dāng)穿過回路L的電流方向與L的方向滿足右螺旋關(guān)系時,I>0；反之I<0.3/1/20243.說明(1)與的區(qū)別a.

只取決于L內(nèi)所包圍電流的代數(shù)和,與L

外的電流無關(guān),與L內(nèi)電流位置的分布也無關(guān).b.

環(huán)路L上各點(diǎn)的是由L內(nèi)、外空間所有傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的疊加結(jié)果.c.

如果,只能說明L包圍的電流的代數(shù)和為0,而不能說明L上各點(diǎn)的一定為0.3/1/2024磁場是無源有旋場——電流是磁場渦旋的軸心.

(3)對比靜電場靜電場是有源無旋場；(2)適用范圍只適用于恒定電流的恒定磁場.3/1/2024二、安培環(huán)路定理的應(yīng)用基本步驟：

分析電流

磁場分布的對稱性，選取適當(dāng)環(huán)路，使B從積分號內(nèi)提出.選取環(huán)路的方法：

使環(huán)路L經(jīng)過待求場點(diǎn)，L上各點(diǎn)B的量值均勻或?yàn)榱悖曳较蚺cL相切或相垂直.能用安培環(huán)路定理計算的磁場分布主要有：1.無限長載流導(dǎo)線，圓柱，圓筒；2.螺繞管，無限長密繞螺線管；3.無限大載流平面，平板等.3/1/2024例：求無限長載流圓柱形導(dǎo)體的磁場分布.解：磁場分布分析橫截面圖.Ir作半徑為r

的圓環(huán)為積分回路LL由安培環(huán)路定理:3/1/2024思考：若為無限長載流圓柱面導(dǎo)體，情況又如何？作r—B

關(guān)系圖如下：3/1/2024例:求無限長直螺線管內(nèi)的磁感強(qiáng)度(I,n已知).解：分析磁場分布管內(nèi)中央部分,軸向B均勻,管外B近似為零.作安培回路abcd如圖：Pcdab由安培環(huán)路定理有:3/1/2024例：求載流螺繞環(huán)的磁場分布(R1、R2、N、I已知).R1R2解：分析磁場分布——對稱性相等B點(diǎn)的集合——同心圓環(huán)以中心O,半徑r的圓環(huán)為安培環(huán)路L由安培環(huán)路定理：3/1/202411.6磁場對運(yùn)動電荷和載流導(dǎo)線的作用11.6.1洛倫茲力討論(2)在一般情況下，空間中電場和磁場同時存在(1)洛倫茲力始終與電荷運(yùn)動方向垂直,故對電荷不做功；——洛侖茲力公式3/1/202411.6.2帶電粒子在磁場中的運(yùn)動設(shè)帶電粒子q以初速度進(jìn)入均勻磁場1.:做勻速直線運(yùn)動.2.:在垂直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動.粒子回轉(zhuǎn)周期與頻率3/1/20243.之間有任意夾角的情況:帶電粒子做螺旋運(yùn)動.螺距磁聚焦原理

粒子源A

很小時接收器A’3/1/20243/1/202411.6.3應(yīng)用電場和磁場控制帶電粒子的實(shí)例1.速度選擇器

+++++++++++++--------------離子源FmFevE

B+相同速度帶電粒子3/1/2024+-

P

N

B荷質(zhì)比：

q、v、B不變,R與m成正比，同位素按質(zhì)量大小排列.2.質(zhì)譜儀

質(zhì)譜儀是研究物質(zhì)同位素的儀器.N：離子源P：速度選擇器3/1/20243.回旋加速器

回旋加速器是原子核物理、高能物理等實(shí)驗(yàn)研究的一種基本設(shè)備.通過半圓盒的時間：U

B周期：頻率：粒子動能：3/1/20244.霍爾效應(yīng)

(1)現(xiàn)象：(2)解釋：yz

UBxI++++++++++------------------------dbU1U2

-vFeFm導(dǎo)體中通電流I,磁場垂直于I,在既垂直于I,又垂直于方向出現(xiàn)電勢差

U.載流子q=-e，漂移速率方向向上，形成3/1/2024動態(tài)平衡時：令霍爾系數(shù)yz

UBxI++++++++++------------------------dbU1U2

-vFeFm3/1/202411.6.4安培力1.一段載流導(dǎo)線在磁場中所受力——安培力I12電流元1個載流子受力N個載流子受力安培力：大小：方向：由右手螺旋法則確定——安培定律3/1/2024一段載流導(dǎo)線在磁場中受安培力：若磁場為勻強(qiáng)場在勻強(qiáng)磁場中的閉合電流受力討論計算安培力步驟：(1)取電流元(2)求電流元所受安培力：(3)由疊加原理求載流導(dǎo)線所受安培力：3/1/2024xyOAIL此段載流導(dǎo)線受的安培力.在電流上任取電流元例：均勻磁場中有一任意形狀的導(dǎo)線,電流強(qiáng)度為I求：解：相當(dāng)于載流直導(dǎo)線

在均勻磁場中受的力,方向沿y向.3/1/2024例:求兩平行無限長直導(dǎo)線之間的相互作用力？解:電流2處于電流1的磁場中同時，電流1處于電流2的磁場中，電流2中單位長度上受的安培力電流1中單位長度上受的安培力定義:真空中通有同值電流的兩無限長平行直導(dǎo)線,若相距1米,單位長度受力,則電流為1安培.3/1/2024例：求一載流導(dǎo)線框在無限長直導(dǎo)線磁場中的受力和運(yùn)動趨勢解：1234方向向左方向向右

整個線圈所受的合力：

線圈向左做平動13243/1/20242.載流線圈在磁場中受到的磁力矩（方向相反在同一直線上）（線圈無平動）對中心的力矩為:

（方向相反不在一條直線上）令+

A(B)D(C)3/1/2024討論(2)線圈若有N匝(3)M作用下,磁通量增加穩(wěn)定平衡非穩(wěn)定平衡(4)非均勻磁場中的平面載流線圈線圈有平動和轉(zhuǎn)動(1)上式適合于任意形狀的閉合載流線圈,但要求線圈所在處的磁場均勻.3/1/202411.7磁力的功11.7.1磁力對運(yùn)動載流導(dǎo)線的功

IBabcdL磁場力：F=BIL

F位移:dxa

b

dx磁場力的功：dW=Fdx=BILdx其中:

BLdx=BdS=d

則:dW=Id

3/1/202411.7.2磁力矩對轉(zhuǎn)動載流線圈的功

nF2F1B

d

力矩的功：負(fù)號表示力矩做正功時

減小當(dāng)電流恒定時：3/1/2024例:

一半徑為R的閉合載流線圈,載流I,放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場中,其方向與線圈平面平行.求:(1)以直徑為轉(zhuǎn)軸、線圈所受磁力矩的大小和方向.(2)在力矩作用下,線圈轉(zhuǎn)過90

,力矩做了多少功？BI解：方向向下(1)(2)線圈轉(zhuǎn)過90

時,磁通量的增量為：則3/1/2024另解：考查一段電流元受力BI方向：

力矩的功：3/1/2024第11章