2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式8種常見考法歸類

2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式8種常見考法歸類課程標準學習目標1.通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義．2．體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系．3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，并解決相應的問題．1.理解等差數(shù)列、等差中項的概念．(數(shù)學抽象)2．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系．(數(shù)學抽象)3．會求等差數(shù)列的通項公式以及與等差數(shù)列通項公式有關的計算．(數(shù)學運算)4．能利用等差數(shù)列解決相關的實際問題．(數(shù)學建模、數(shù)學運算)知識點01等差數(shù)列的概念對于一個數(shù)列，如果從第2項起，每一項與它的前一項的差都是同一個常數(shù)，那么稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列，稱這個常數(shù)為等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．注：(1)“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”．(2)一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差即使等于常數(shù)，這個數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因為當這些常數(shù)不同時，該數(shù)列不是等差數(shù)列，因此定義中強調“同一個常數(shù)”，即該常數(shù)與n無關．(3)求公差d時，可以用d＝an－an－1來求，也可以用d＝an＋1－an來求．公差是每一項與其前一項的差，用an－an－1求公差時，要求n≥2，且n∈N*.【即學即練1】下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是（

）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，a D．，，，【解析】對于A，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)3，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以A不合題意，對于B，因為，，即，所以此數(shù)列不是等差數(shù)，所以B符合題意，對于C，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)0，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以C不合題意，對于D，數(shù)列，，，可表示為，，，，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)1，所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以D不合題意，故選：B【即學即練2】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是，首項和公差分別是多少？(1)在數(shù)列中；(2)在數(shù)列中；(3)在數(shù)列中，其中p，q為常數(shù)．【解析】（1）因為．所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以數(shù)列的首項，公差d＝3．（2），不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列．（3）因為，所以，則，p為常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列．所以數(shù)列的首項，公差d＝p．知識點02等差數(shù)列的通項公式若首項是a1，公差是d，則等差數(shù)列{an}的通項公式為：an＝a1＋(n－1)d，此公式的推導方法是累加法．注：等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個量(首項a1，公差d，項數(shù)n和第n項an)，如果知道了其中的任意三個，就可以由通項公式求出第四個．【即學即練3】在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；（3）已知a1＝12，a6＝27，求d；（4）已知d＝－，a7＝8，求a1和an.【解析】（1）an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.（2）由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.（3）由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.（4）由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，所以an＝a1＋(n－1)d＝10－(n－1)＝－n＋.【即學即練4】已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則公差d為______．【解析】數(shù)列為等差數(shù)列，則，可解得.故答案為：2【即學即練5】已知在等差數(shù)列中，,，則=（

）A．8 B．10 C．14 D．16【解析】設公差為，則，解得，所以.故選：D.知識點03等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些等間隔的點，這些點的橫坐標是正整數(shù)，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.當d>0時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，如圖甲所示．當d<0時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，如圖乙所示．當d＝0時，數(shù)列{an}為常數(shù)列，如圖丙所示．注：項目等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an＝kn＋b(n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同點定義域為N*，圖象是一系列孤立的點(在直線上)定義域為R，圖象是一條直線相同點等差數(shù)列的通項公式與函數(shù)的解析式都是關于自變量的一次整式【即學即練6】已知數(shù)列中，點在直線上，且．求證：數(shù)列是等差數(shù)列．【解析】點在直線上，，即；又，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.知識點04等差中項(1)如果在a與b之間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項．(2)如果A是a與b的等差中項，則A＝a+b2注：在等差數(shù)列{an}中，任取相鄰的三項an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，則an是an－1與an＋1的等差中項．反之，若an－1＋an＋1＝2an對任意的n≥2，n∈N?均成立，則數(shù)列{a因此，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此結論可判斷所給數(shù)列是不是等差數(shù)列，此方法稱為等差中項法．【即學即練7】已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項，則的公差為（）A． B． C．1 D．2【解析】設等差數(shù)列的公差為.由已知條件，得，即，解得.故選：A【即學即練8】在等差數(shù)列中，，則（

）A．14 B．16 C．18 D．28【解析】因為等差數(shù)列中，，，故選：A.【即學即練9】已知等差數(shù)列的前三項依次為，，，求通項.【解析】由題意，公差，且，解得，所以等差數(shù)列的首項為，所以.知識點05等差數(shù)列的性質（1）通項公式的推廣：在等差數(shù)列中，對任意，，，；（2）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項.（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差數(shù)列，公差為md(k，m∈N*)；（4）兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列，{pan＋qbn}也是等差數(shù)列（5）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．（6）如果兩個等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．【即學即練10】等差數(shù)列中，，，則的值為______．【解析】因為，，所以，則，所以.故答案為：33.【即學即練11】等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=（

）A．45 B．75 C．180 D．300【解析】∵{an}為等差數(shù)列，則，即∴故選：C.知識點06等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(2)等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;(3)通項公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(4)前項和公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;注：是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.提醒：判斷時易忽視定義中從第2項起，以后每項與前一項的差是同一常數(shù)，即易忽視驗證a2－a1＝d這一關鍵條件.【即學即練12】已知數(shù)列滿足，（），令.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.【解析】（1）=是一個常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由題得，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以.題型一：等差數(shù)列概念的理解（一）等差數(shù)列概念的判斷例1．（2023下·高二課時練習）判斷正誤（正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”）（1）數(shù)列1，1，1，1，1是等差數(shù)列．()（2）若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．()（3）任意兩個實數(shù)都有等差中項．()（4）等差數(shù)列的公差是相鄰兩項的差．()【答案】正確錯誤正確錯誤【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐項分析即可.【詳解】（1）常數(shù)列是公差為0的等差數(shù)列，正確；（2）根據(jù)等差數(shù)列定義知，從第2項起每一項與前一項的差必須是同一常數(shù)，錯誤；（3）任意兩個實數(shù)a，b的等差中項為，正確；（4）等差數(shù)列的公差是相鄰兩項后項與前一項的差，錯誤.故答案為：正確；錯誤；正確；錯誤.例2．（2023·全國·高二課堂例題）判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)1，1，1，1，1；(2)4，7，10，13，16；(3)－3，－2，－1，1，2，3．【答案】(1)是等差數(shù)列(2)是等差數(shù)列(3)不是等差數(shù)列【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷；（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷；（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷．【詳解】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，所給數(shù)列是首項為1，公差為0的等差數(shù)列．（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，所給數(shù)列是首項為4，公差為3的等差數(shù)列．（3）因為，所以這個數(shù)列不是等差數(shù)列．變式1．（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列，則下列屬于該數(shù)列的項的是（

）A．23 B．31 C．33 D．43【答案】C【分析】先由具體的等差數(shù)列寫出通項公式，再根據(jù)選項一一代入，驗證求出的的值滿足即可.【詳解】由等差數(shù)列知數(shù)列首項為，公差為，故數(shù)列通項為，分別使取選項中的值，發(fā)現(xiàn)僅當時，，其它沒有對應的n.故選：C.變式2．（2024上·吉林·高二吉林省實驗校考期末）已知為等差數(shù)列，則下面數(shù)列中一定是等差數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令等差數(shù)列通項公式為，根據(jù)等差數(shù)列定義依次判斷各項.【詳解】若等差數(shù)列通項公式為，此時，，，，不為常數(shù)，所以不是等差數(shù)列；不為常數(shù)，所以不是等差數(shù)列，為常數(shù)，所以是等差數(shù)列，不為常數(shù)，所以不是等差數(shù)列.故選：B變式3．（2023上·江蘇·高二專題練習）已知數(shù)列滿足，（）．(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)求的通項公式．【答案】(1)不是，理由見解析(2)【詳解】（1）當時，，即，而不滿足，所以不是等差數(shù)列．（2）由題，當時，是等差數(shù)列，且公差為2，所以（），又不適合上式，所以的通項公式為.【點睛】數(shù)列從第2項起成等差，寫通項公式時注意第n項是等差數(shù)列中的第幾項.利用定義求等差數(shù)列的通項公式例3．（2023下·北京·高二北京市第九中學?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，則當時，n的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【分析】由遞推關系可得數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，再求解不等式即可.【詳解】因為,，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.令，可得，解得.因為,所以,所以n的最大值為4.故選:B.變式1．（2023下·貴州·高一貴州師大附中?？茧A段練習）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，由等差數(shù)列的性質及通項可得，即可得解.【詳解】令，則，，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故選：D.變式2．（2023上·安徽合肥·高三?？奸_學考試）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記，可證明是等差數(shù)列，先求解，再代入求解即可.【詳解】記，則，，故數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，故，故.故選：B變式3．（2023上·四川廣安·高二四川省華鎣中學校考階段練習）在數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目條件得到為等差數(shù)列，公差為1，并求出首項，從而得到通項公式，求出，得到答案.【詳解】因為，所以為等差數(shù)列，公差為1，首項為，故，所以，因為，所以，.故選：C變式4．（2023·高二課時練習）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由遞推式證明數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列的通項，由此可求數(shù)列的通項公式.【詳解】因為，所以，又，可得，所以數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，故選：B.變式5．（2023上·江西撫州·高三臨川一中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【答案】C【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項，即可得解.【詳解】解：因為，所以，即，等式兩邊開方可得：，即，所以數(shù)列是以首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C．【方法技巧與總結】定義法判定等差數(shù)列(1)作差an＋1－an；(2)對差式進行變形；(3)當an＋1－an是一個與n無關的常數(shù)時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列；當an＋1－an不是常數(shù)，是與n有關的代數(shù)式時，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．題型二：等差數(shù)列的基本量的計算例4．（2024上·廣東河源·高二統(tǒng)考期末）若等差數(shù)列中，，則（

）A．12 B．14 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義即可求得公差為，求得通項公式即可得.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得；因此可得數(shù)列的通項公式為，所以.故選：A變式1．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）等差數(shù)列滿足，且，則（

）A．35 B．37 C．41 D．43【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質求出公差d和，再由基本量法求出.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，又因為，聯(lián)立解得，設公差為，則，所以，所以.故選：B.變式2．（2024上·內蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知為遞增等差數(shù)列，，，則的公差（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用下標和性質得到，即可求出、，從而求出公差.【詳解】因為，所以，又，所以或，又為遞增等差數(shù)列，所以，則.故選：C變式3．（2023上·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，建立方程求得方差，可得答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，由，，，，，解得，.故答案為：4.變式4．（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式代入運算、化簡即可.【詳解】由題得所以故故選：B.例5．（2023下·高二課時練習）四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為，求這四個數(shù).【答案】【分析】方法一：設這四個數(shù)為（公差為2d），列出方程，求出公差和，得到答案；方法二：設這四個數(shù)為（公差為d），列出方程，求出公差和，得到答案.【詳解】方法一：設這四個數(shù)為（公差為2d），依題意，，且，解得，又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以，∴，故所求的四個數(shù)為.方法二：若設這四個數(shù)為（公差為d），依題意，，且，把代入，得，解得或.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以，所以，.故所求的四個數(shù)為.變式1．（2023上·江蘇·高二專題練習）已知成等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列．【答案】或【分析】設這四個數(shù)依次為，由題意列方程組，解方程求出，即可得出答案.【詳解】設這四個數(shù)依次為(公差為)．因為四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，所以，解得：或，∴這個數(shù)列為或例6．（2023上·山東泰安·高二山東省泰安第二中學?？茧A段練習）首項為的等差數(shù)列，從第項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析，，從而求解.【詳解】設等差數(shù)列首項為，公差為，由從第項起開始為正數(shù)，所以，即，解得，故D正確.故選：D.變式1．（2023上·江蘇揚州·高二江蘇省邗江中學?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前項和為，公差為，且滿足，，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)已知判斷等差數(shù)列先正后負，是遞減數(shù)列，即可得出，再根據(jù)等差數(shù)列通項結合已知列不等式，即可解出答案.【詳解】，，，則，解得，，，即的取值范圍是.故答案為：.例7．【多選】（2023上·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學?？茧A段練習）《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢?”（“錢”是古代的一種重量單位）．關于這個問題，下列說法錯誤的是（

）A．戊得錢是甲得錢的一半B．乙得錢比丁得錢多錢C．甲、丙得錢的和是乙得錢的2倍D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢【答案】BD【分析】根據(jù)題意列方程，得到，，然后判斷即可.【詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，a，，，則由題意可知，，即，又，所以，所以，所以，，，，所以甲得錢，乙得錢，丙得1錢，丁得錢，戊得錢，所以戊得錢是甲得錢的一半，故A正確；乙得錢比丁得錢多錢，故B錯誤；甲、丙得錢的和是乙得錢的倍，故C正確；丁、戊得錢的和比甲得錢多錢，故D錯誤．故選：BD.變式1．（2023上·四川·高三校聯(lián)考階段練習）在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至．從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水、清明日影長之和為28.5尺，則谷雨日影長為（

）A．8.5尺 B．7.5尺 C．6.5尺 D．5.5尺【答案】D【分析】先根據(jù)題意構造等差數(shù)列，再由條件得到公差，最后求解其中的項即可.【詳解】設從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設等差數(shù)列的公差為尺，由題可知，，即，解得；，即，解得；所以，所以，即谷雨日影長為5.5尺，故選：D變式2．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）《九章算術》有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數(shù)為前兩日所織尺數(shù)之積.則第十日所織尺數(shù)為？譯為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數(shù)為第1天和第2天所織布尺數(shù)的積.問第10天織布尺數(shù)為.【答案】21【分析】每天織布尺數(shù)構成等差數(shù)列，由條件求出首項和公差，數(shù)列第10項即第10天織布尺數(shù).【詳解】由題，每天織布尺數(shù)為等差數(shù)列，設為，公差為，則，因為，，所以，解得，.故答案為：21.【方法技巧與總結】(1)已知an，a1，n，d中的任意三個量，可求出第四個量．(2)應用等差數(shù)列的通項公式求a1和d，運用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1+m?1d=a,a1(3)若已知等差數(shù)列中的任意兩項am，an，求通項公式或其它項時，則運用am＝an＋(m－n)d較為簡捷．(4)當?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為奇數(shù)時，可設中間的一項為a，再以d為公差向兩邊分別設項，即設為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；當?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)n為偶數(shù)時，可設中間兩項分別為a－d，a＋d，再以2d為公差向兩邊分別設項，即設為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….題型三：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系例8．【多選】（2023·高二課時練習）關于等差數(shù)列，有下列四個命題，正確的是（

）A．若數(shù)列中有兩項是有理數(shù)，則其余各項都是有理數(shù)B．等差數(shù)列的通項公式是關于項數(shù)n的一次函數(shù)C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列（k為常數(shù)）也是等差數(shù)列D．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列【答案】AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐一驗證即可.【詳解】選項A正確.當時，選項B不成立.由等差數(shù)列的定義知選項C正確，證明如下：設的公差為d，則（常數(shù)），所以也是等差數(shù)列.選項D錯誤,比如數(shù)列為：2，1，0，1，2，則數(shù)列為：4，1，0，1，4故選：AC變式1．（2023·全國·高三專題練習）下面結論正確的個數(shù)為（

）(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(2)數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是對任意，都有.(3)數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).(4)已知數(shù)列的通項公式是(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列一定是等差數(shù)列.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用等差數(shù)列定義判斷（1）；利用等差中項的定義結合充要條件的意義判斷（2）；利用等差數(shù)列定義結合充要條件的意義判斷（3）；利用等差數(shù)列定義判斷（4）作答.【詳解】對于（1），若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是同一個常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列，（1）不正確；對于（2），因對任意，都有數(shù)列為等差數(shù)列，（2）正確；對于（3），因常數(shù)列是等差數(shù)列，而常數(shù)列的通項不是n的一次函數(shù)，則通項公式為n的一次函數(shù)是數(shù)列為等差數(shù)列的充分不必要條件，（3）不正確；對于（4），數(shù)列的通項公式是(其中p，q為常數(shù))，則，，即數(shù)列一定是等差數(shù)列，（4）正確，所以所給4個命題正確的個數(shù)為2.故選：B變式2．（2023·高二課時練習）在數(shù)列中，，，已知該數(shù)列的通項公式是關于n的一次函數(shù)，則.【答案】4039【分析】由等差數(shù)列通項公式的函數(shù)性質知為等差數(shù)列，結合已知條件求公差，并寫出其通項公式，再求.【詳解】因為數(shù)列的通項公式是關于n的一次函數(shù)，所以數(shù)列為等差數(shù)列.設等差數(shù)列的公差為d，則.所以，則.故答案為：【方法技巧與總結】(1)根據(jù)等差數(shù)列圖象上的兩點求通項公式的一般方法是設出an＝dn＋b，將圖象上的點代入，求d，b.(2)判斷等差數(shù)列增減性的方法主要有兩種，一是公差法：d>0遞增；d<0遞減；d＝0不單調．二是圖象法：圖象上升遞增；下降遞減；圖象不上升也不下降，不單調．題型四：等差中項例9．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┮阎?，，則、的等差中項為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差中項的定義可求得結果.【詳解】、的等差中項為.故選：B.變式1．（2023上·高二課前預習）已知數(shù)列滿足，，則等于.【答案】【分析】先根據(jù)條件判斷得數(shù)列是等差數(shù)列，再設公差為，根據(jù)條件列方程求出，進而可得.【詳解】由知，數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為，由，得，所以．故答案為：.變式2．（2023上·重慶·高二校聯(lián)考期末）在等差數(shù)列中，、是方程的兩根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用韋達定理結合等差中項的性質可求得的值.【詳解】由韋達定理和等差中項的性質可得，因此，.故選：A.變式3．（2023上·高二課時練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．設與的等差中項為，與的等差中項為，求．【答案】【分析】根據(jù)等差中項的性質求出，即可.【詳解】因為，，且與的等差中項為，所以，又與的等差中項為，所以，所以.【方法技巧與總結】數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a與b的等差中項．題型五：等差數(shù)列性質的應用利用等差數(shù)列的性質進行計算例10．（2024上·北京順義·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的首項為，且，則.【答案】24【分析】由等差數(shù)列的通項公式可得.【詳解】因為是等差數(shù)列，，，設公差為d，可得，解得，所以，故答案為：24.變式1．（2023·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列中，若，則.【答案】【分析】根據(jù)等差中項的性質可求得的值.【詳解】在等差數(shù)列中，，解得.故答案為：.變式2．（2023上·湖南張家界·高二張家界市民族中學?？茧A段練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由等差數(shù)列的性質得到，結合已知即可求結果.【詳解】由題設，故.故選：C變式3．（2024上·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用等差中項求，再由特殊角的三角函數(shù)值可得答案.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，又，所以，即，于是.故選：A.變式4．（2023上·四川成都·高三成都實外?？茧A段練習）在等差數(shù)列中，，則的值為（

）A．20 B．40 C．60 D．80【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質計算即可.【詳解】在等差數(shù)列中，因為，所以，所以.故選：A變式5．（2024上·全國·高二期末）已知數(shù)列滿足，則等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先判斷數(shù)列為等差數(shù)列，結合等差數(shù)列的性質可求結果.【詳解】∵，∴是等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質可得，，∴，，∴．故選：B等差數(shù)列的單調性例11．【多選】（2023上·高二課時練習）已知等差數(shù)列的公差，則下列四個命題中真命題為（

）A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．數(shù)列是遞增數(shù)列C．數(shù)列是遞增數(shù)列 D．數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】AD【分析】根據(jù)可判斷A；舉反例可判斷B，C；結合函數(shù)的單調性可判斷D.【詳解】對于A，等差數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞增數(shù)列，正確；對于B，不妨取，則不是遞增數(shù)列，B錯誤；對于C，不妨取，則不是遞增數(shù)列，C錯誤；對于D，由于等差數(shù)列的公差，隨n的增大而增大，隨n的增大而增大，故也隨n的增大而增大，即數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確，故選：AD變式1．（2023·全國·高二隨堂練習）已知等差數(shù)列的通項公式為．(1)求首項和公差；(2)畫出數(shù)列的圖象；(3)判斷數(shù)列的增減性．【答案】(1)，；(2)圖象見解析；(3)單調遞減.【分析】（1）利用給定的通項公式計算即得.（2）在直角坐標系內作出數(shù)列的圖象.（3）利用數(shù)列單調性定義判斷單調性即得.【詳解】（1）等差數(shù)列的通項公式為，所以首項，公差.（2）數(shù)列的圖象，如圖，（3）由，，得，因此，所以數(shù)列是單調遞減數(shù)列.變式2．（2023·高二課時練習）已知等差數(shù)列的首項，公差．(1)此等差數(shù)列中從第幾項開始出現(xiàn)負數(shù)？(2)當n為何值時，最?。俊敬鸢浮?1)從第23項開始出現(xiàn)負數(shù)(2)當時最小【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可解決；（2）依據(jù)等差數(shù)列的通項公式，再以分段函數(shù)求最值即可解決.【詳解】（1）等差數(shù)列的首項，公差則由，得，即從第23項開始出現(xiàn)負數(shù).（2）由等差數(shù)列的通項公式可得在時取最小值為在時取最小值為則在時取最小值為變式3．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，數(shù)列滿足.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列，寫出的通項公式；(2)求數(shù)列的通項公式及數(shù)列中的最大項與最小項.【答案】(1)證明見解析，；(2)，最大項為，最小項為.【分析】（1）通過已知條件化簡變形，湊出這種形式，湊出常數(shù)，就可以證明數(shù)列是等差數(shù)列，并利用等差數(shù)列的通項公式求出通項公式；（2）利用的通項公式求出數(shù)列的通項公式，把通項公式看成函數(shù)，利用函數(shù)圖像求最大值和最小值；或利用函數(shù)的單調性即得.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，又，所以，∴數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列；又∵，，∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，∴，；（2）∵，所以，∴作函數(shù)的大致圖象，∴由圖知，在數(shù)列中，最大項為，最小項為；另解：因為，當時，數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，當時，數(shù)列是遞減數(shù)列，且，所以在數(shù)列中，最大項為，最小項為.變式4．（2023·高二課時練習）首項為a1，公差為d的整數(shù)等差數(shù)列{an}滿足下列兩個條件：①a3＋a5＋a7＝93；②滿足an>100的n的最小值是15.試求公差d和首項a1的值．【答案】d＝7，a1＝3.【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質求出，寫出等差數(shù)列通項，由an>100的n的最小值是15建立不等式，求解即可.【詳解】因為a3＋a5＋a7＝93，所以3a5＝93則a5＝31，所以an＝a5＋(n－5)d=31+(n5)d所以當an＝31＋(n－5)d>100時，可得n>＋5，因為n的最小值是15，故14≤＋5<15.所以6.9<d≤，因為d為整數(shù)，所以d＝7，所以a1＝a5－4d＝3.【方法技巧與總結】等差數(shù)列的性質若數(shù)列{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，它的性質有：(1)an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)；(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則an＋am＝ap＋aq；特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，則an＋am＝2ap；(3)d＝an?a1n?1＝am?akm?k(4)若{an}為有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項的和；(5)若{an}的公差為d，則數(shù)列{λan＋b}(λ，b為常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列；(6)數(shù)列{an}，{bn}的公差都是d，則數(shù)列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2為常數(shù))是公差為(λ1＋λ2)d的等差數(shù)列；(7)下標成等差數(shù)列且公差為m的項ak，ak＋m，(k，m∈N＋)，且{an}的公差為d，組成公差為md的等差數(shù)列．題型六：等差數(shù)列的公共項問題例12．（2023下·廣西欽州·高二?？茧A段練習）在和兩數(shù)之間插入個數(shù)，使它們與，組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結合等差數(shù)列性質運算求解.【詳解】在和兩數(shù)之間插入個數(shù)，使它們與組成等差數(shù)列，則這個數(shù)列共有項，設該數(shù)列的公差為d，則.故選：B.變式1．（2023上·江蘇·高二專題練習）已知等差數(shù)列和等差數(shù)列…各有100項，問它們有多少個相同的項？記這些共同的項從小到大依次構成數(shù)列，問數(shù)列是否為等差數(shù)列？【答案】25個相同的項，是以12為公差的等差數(shù)列【分析】由題意首先得數(shù)列，的通項公式，令，看有多少組正整數(shù)解即可，結合數(shù)論知識求出的通項公式，結合等差數(shù)列的定義即可判斷.【詳解】易得.假設數(shù)列的第n項與數(shù)列的第k項相同，即有，所以．而，則k必是3的倍數(shù)．設，于是．由題設知，兩數(shù)列各有100項，則，解得，又，故兩數(shù)列共有25個相同的項．將代入(或將代入)，得(或)，即等差數(shù)列中的第項與等差數(shù)列中的第項是相同項，于是，，(常數(shù))，故數(shù)列是以12為公差的等差數(shù)列．變式2．（2023上·高二課時練習）已知等差數(shù)列的首項為，公差為d，若以第2項為首項，每隔兩項取出一項組成一個新的數(shù)列，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是，求其公差，其中為數(shù)列的第幾項？【答案】是，3d，【分析】判斷，即可判斷為等差數(shù)列，同時確定其公差；結合等差數(shù)列的通項公式即可確定為數(shù)列的第幾項.【詳解】等差數(shù)列的首項為，公差為d，若以第2項為首項，每隔兩項取出一項組成一個新的數(shù)列，故，即數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，，則，令，即，即，解得，即為數(shù)列的第項.【方法技巧與總結】兩個等差數(shù)列的相同的項按原來的先后次序組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù)題型七：等差數(shù)列的證明例13．（2023上·山西運城·高二?？奸_學考試）已知數(shù)列中，，.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)證明見解析；(2)=.【分析】(1)根據(jù)已知條件，證明－為常數(shù)即可；(2)根據(jù)(1)的結論和等差數(shù)列通項公式即可求的通項公式.【詳解】（1）由已知得，＝2，－＝＝＝2，所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由(1)知，＝＋2(n－1)＝2n，∴＝.變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】利用已知及等差數(shù)列的定義化簡即可證得結果.【詳解】證明：，，是以為首項，為公差的等差數(shù)列.變式2．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知數(shù)列的首項，且滿足，設，證明：是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】將等式配湊為的形式，運用等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】將等式兩邊都減去得：.再除以得：，由于，即.即，且.所以是首項為，公差為的等差數(shù)列.變式3．（2023上·重慶·高二重慶市育才中學校聯(lián)考階段練習）已知是等差數(shù)列，若，．(1)求的通項公式；(2)證明是等差數(shù)列．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，得，結合等差數(shù)列的通項公式即得；（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義可證.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，，，所以，（2）證明：因為所以是公差為的等差數(shù)列.變式4．（2023下·四川成都·高一階段練習）已知數(shù)列，滿足，，記.(1)試證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)證明見及解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由遞推關系式代入計算，結合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，再由代入計算，即可得到數(shù)列的通項公式．【詳解】（1）證明：,又，∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．（2）由（1）知，因為，所以∴數(shù)列的通項公式為.【方法技巧與總結】等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對于數(shù)列，若(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項法對于數(shù)列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立?{an}是等差數(shù)列通項公式法(為常數(shù),)?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判斷問題前n項和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項和)?{an}是等差數(shù)列是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.提醒：判斷時易忽視定義中從第2項起，以后每項與前一項的差是同一常數(shù)，即易忽視驗證a2－a1＝d這一關鍵條件.題型八：等差數(shù)列的實際應用例14．（2023·高二課時練習）一種變速自行車后齒輪組由5個齒輪組成，它們的齒數(shù)成等差數(shù)列，其中最小和最大的齒輪的齒數(shù)分別為12和28，求中間三個齒輪的齒數(shù)．【答案】【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得，結合通項公式，即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由最小和最大的齒輪的齒數(shù)分別為12和28，可得，即，解得，所以，即中間三個齒輪的齒數(shù)分別為.變式1．（2023·全國·高二隨堂練習）某城市的綠化建設有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份2023202320232023綠化覆蓋率/%17.017.818.619.4如果以后的幾年繼續(xù)依此速度發(fā)展綠化，那么至少到哪一年該城市的綠化覆蓋率可超過？【答案】2024【分析】得出每年的綠化覆蓋率成等差數(shù)列，求出通項公式，進而得到不等式，求出答案.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，每年的綠化覆蓋率成等差數(shù)列，設為，則，公差，故通項公式為，令，解得，，故至少到2024年該城市的綠化覆蓋率可超過.【方法技巧與總結】解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時，則這組數(shù)成等差數(shù)列．合理地構建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數(shù)等關鍵的問題．一、單選題1．（2023下·江西·高二江西師大附中?？茧A段練習）方程的兩根的等差中項為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)韋達定理及等差中項的概念求解.【詳解】由題可知方程的兩根之和為，所以方程的兩根的等差中項為.故選：D.2．（2024上·廣東深圳·高二?？计谀┮阎獢?shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以條件可知為等差數(shù)列，求得通項公式后，進一步計算即可.【詳解】因為，且，所以是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，故，則，故，故選：B.3．（2024·河南·模擬預測）數(shù)列中，，，則（

）A．230 B．210 C．190 D．170【答案】D【分析】借助等差數(shù)列的定義及相關公式計算即可.【詳解】由題知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.故選:D.4．（2024上·內蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，已知，，則等于（

）A．42 B．43 C．44 D．45【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質即可求解.【詳解】由，可得，所以，故，故選：A5．（2024上·重慶九龍坡·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，記，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項，即可判斷A、B，依題意可得，即，從而求出數(shù)列的通項公式，即可判斷C、D.【詳解】因為，，且，所以，，所以，故A錯誤；，故B錯誤；又，故，即，所以為首項為，公差為的等差數(shù)列，故，所以C正確，D錯誤，故選：C6．（2024上·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習）在等差數(shù)列中，是方程的兩根，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．6【答案】B【分析】根據(jù)韋達定理求出，根據(jù)等差數(shù)列的性質得到方程，求出，從而得到.【詳解】因為是方程的兩根，所以.在等差數(shù)列中，，又，所以，所以，所以，所以.故選：B.7．（2023上·河北保定·高二河北定興第三中學校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質得到，，求出公差，得到答案.【詳解】由題意得，解得，，解得，故等差數(shù)列的公差為，故.故選：C8．（2024上·湖南·高二校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，已知，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】通過取倒數(shù)的方法，證得數(shù)列是等差數(shù)列，求得，進而求出，解決問題即可.【詳解】由，，取倒數(shù)得：，則是以為首項，為公差的等差數(shù)列．所以，所以；由于，故．故選：C.9．（2023上·北京海淀·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，則“”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先證明出充分性成立，再證明出必要性成立，得到答案.【詳解】由題意得，若，則，即，，即，由與得，由與得，依此類推，可得，故是等差數(shù)列，充分性成立，若是等差數(shù)列，不妨設，則，故，即因為，所以，所以，必要性成立，故“”是“是等差數(shù)列”的充要條件.故選：C10．（2024·全國·模擬預測）若數(shù)列滿足對任意的均有，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將遞推關系中的用代換，得到新的等式，兩式相減可得是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和遞推關系求解即可.【詳解】因為，所以，兩式相減，得，所以是首項為、公差為的等差數(shù)列，所以，由，當時，可得，即，所以，故，所以.故選：.二、多選題11．（2023下·高二課時練習）若一個等差數(shù)列的首項，末項，且公差為整數(shù)，則項數(shù)n的取值可以是（

）A．6 B．7C．8 D．9【答案】AD【分析】由等差數(shù)列的項結合通項公式及公差為整數(shù)即可求解.【詳解】由，得，解得.又d為整數(shù)，，則故選：AD.12．（2023·全國·高三專題練習）若，，（，，均不為0）是等差數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．，，一定成等差數(shù)列B．，，可能成等差數(shù)列C．，，一定成等差數(shù)列D．，，可能成等差數(shù)列【答案】BCD【分析】對于ABD，舉例判斷即可，對于C，利用等差數(shù)列的定義分析判斷.【詳解】對于A，令，，，則，，，不滿足，所以，，不成等差數(shù)列，故A錯誤；對于B，令，則，滿足，故B正確；對于C，∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，即，，，一定成等差數(shù)列，故C正確；對于D，令，則，滿足，故D正確，故選：BCD.13．（2023上·江蘇常州·高二常州市第一中學?？计谥校┮阎炔顢?shù)列，下列結論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．【答案】CD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式，結合基本不等式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，又由，因為公差的正負不確定，所以不一定成立，所以A不一定正確；對于B中，由，又由，因為公差的正負不確定，所以不一定成立，所以B不一定正確；對于C中，因為，可得，且，又因為，所以又由，所以等號不成立，即，所以C正確.對于D中，由等差數(shù)列的定義知，所以D正確.故選：CD.14．（2023·高二課時練習）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用等差數(shù)列的性質計算判斷得解.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列的性質，得，因為，所以，所以，故選：CD.15．（2023上·湖北孝感·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，則下列結論中正確的有（）A．數(shù)列的公差為 B．C．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 D．【答案】ABC【分析】A選項，根據(jù)等差數(shù)列的性質得到，從而求出，，得到公差，A正確；利用等差數(shù)列求通項公式求出B正確；由，得到當時，，結合，從而得到C正確；在C選項的基礎上，求出，結合，求出答案.【詳解】由題意知，又，故可看出方程的兩根，∵數(shù)列為遞減數(shù)列，，．公差，故A正確；又，，故B正確；由上可知，則當時，，當時，，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故C正確；由C選項知：，故，∵，，故D錯誤．故選：ABC16．（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習）若數(shù)列是等差數(shù)列，公差，則下列對數(shù)列的判