安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023～2024學(xué)年安徽縣中聯(lián)盟高二12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直線的平行系方程及點(diǎn)在直線上即可求解.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以所求直線的方程為.故選：A.2.已知等軸雙曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將代入即可求解.【詳解】設(shè)等軸雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.3.若曲線表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二元二次方程與橢圓的關(guān)系列式求解即可.【詳解】若曲線表示橢圓，則，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.4.已知拋物線：（），過點(diǎn)且垂直于軸的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為9，則（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的距離公式及三角形的面積公式即可求解.【詳解】將代入，得，由對稱性不妨設(shè)在軸上方，所以點(diǎn)，，所以，，因?yàn)?，解?故選：A.5.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，當(dāng)時，實(shí)數(shù)的最小值為（）A.10 B.11 C.20 D.21【答案】C【解析】【分析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，得到，再根據(jù)題意求出，從而得到，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是遞增數(shù)列，則，又，即，即，即，得，則，，所以當(dāng)時，的最小值為20．故選：C．6.已知點(diǎn)是雙曲線：上一點(diǎn)，則點(diǎn)到雙曲線兩條漸近線的距離之積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出，利用點(diǎn)到直線距離分別求出點(diǎn)到漸近線的距離，從而求解.【詳解】由雙曲線的方程知漸近線方程為，設(shè)，由題意，得，即，點(diǎn)到漸近線的距離，點(diǎn)到漸近線的距離，所以，故B項(xiàng)正確.故選：B.7.已知正四棱錐的各棱長均相等，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，相交于點(diǎn)，根據(jù)題意，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)，則，，則，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，所以，，則，所以異面直線和所成角的余弦值是.故選：D.8.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，的延長線交橢圓于點(diǎn)，且，的面積為，記與的面積分別為，，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由三角形面積和余弦定理得到，求出，，所以，由橢圓定義求出其他邊長，得到，求出，，所以.【詳解】不妨設(shè)，，焦距，由的面積為，得，由余弦定理，得，則，所以，即，所以，所以，易得，，所以，所以，由橢圓定義知，所以，所以，所以，，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由向量模、數(shù)量積的坐標(biāo)公式，以及向量共線定理逐一判斷每一選項(xiàng)即可求解.【詳解】，所以，A正確；，所以，B錯誤；，，所以，C正確；，不存實(shí)數(shù)，使得，故與不平行，D錯誤.故選：AC.10.已知：，：，，，則下列說法正確的是（）A.若，分別是與上的點(diǎn)，則的最大值是B.當(dāng)，時，與相交弦所在的直線方程為C.當(dāng)時，若上有且只有3個點(diǎn)到直線的距離為1，則D.若與有3條公切線，則的最大值為4【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求出圓心距，得到的最大值；B選項(xiàng)，先得到兩圓相交，兩圓相減得到相交弦方程；C選項(xiàng)，先得到點(diǎn)到直線的距離為1，由點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出答案；D選項(xiàng)，與外切，從而得到，利用基本不等式求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，由題意可知，，所以，又，分別是與上的點(diǎn)，所以的最大值是，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)，時，：，：，由于圓心距為，而，故兩圓相交，兩圓方程相減得，故相交弦所在的直線方程為，B錯誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時，若上有且只有3個點(diǎn)到直線的距離為1，則點(diǎn)到直線的距離為1，所以，解得，C錯誤；D選項(xiàng)，若與有3條公切線，則與外切，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D正確.故選：AD.11.已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線：（）的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則（）A.以為直徑的圓與軸相切 B.準(zhǔn)線上存在唯一點(diǎn)，使得C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)型結(jié)合及拋物線的知識及定義逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對于A：設(shè)，，，的中點(diǎn)為，由拋物線的定義，得，的中點(diǎn)到軸的距離為，故以為直徑的圓與軸相切，故A正確；對于B：，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，因此以為直徑圓與準(zhǔn)線相切，故準(zhǔn)線上存在唯一點(diǎn)，使得，故B正確；對于C、D：如圖所示，過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，由傾斜角為，可得，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，故C正確；設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，故D錯誤.故選：ABC.12.“斐波那契螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，也稱為“黃金螺旋曲線”，圖中小正方形的邊長從小到大分別為斐波那契數(shù)列，其中，，，，…，小正方形的面積從小到大記為數(shù)列，小正方形所對應(yīng)扇形的面積從小到大記為數(shù)列，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，先得到，代入，求出A錯誤；B選項(xiàng)，由數(shù)列規(guī)律得到B正確；C選項(xiàng)，先得到，從而裂項(xiàng)相消法求出C正確；D選項(xiàng)，先得到，結(jié)合C選項(xiàng)，求出D錯誤.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，令，得，所以，A錯誤；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，所以，C正確；D選項(xiàng)，，所以，D錯誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】斐波那契數(shù)列的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則______.【答案】【解析】【分析】直接由等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得，所以，所以.故答案為：.14.已知過原點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別是，，則______.【答案】##0.28【解析】【分析】先計(jì)算出圓心和半徑，進(jìn)而得到，利用余弦二倍角公式求出答案.【詳解】由題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以，，所以.故答案為：15.已知點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，則的最小值是______.【答案】13【解析】【分析】作出輔助線，結(jié)合焦半徑和點(diǎn)到直線距離公式，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)，，三點(diǎn)共線時取得最小值，即，得到答案.【詳解】過點(diǎn)作直線與直線垂直，垂足為，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則，，過點(diǎn)作直線與垂直，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時等號成立，即，所以，即的最小值是13.故答案為：1316.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且，若雙曲線的離心率為，則______.【答案】【解析】【分析】由題意知過且與雙曲線的一條漸近線：垂直，設(shè)垂足為，根據(jù)長度關(guān)系得到，然后在借助余弦定理得到，從而得到答案.【詳解】直線：過且與雙曲線的一條漸近線：垂直，漸進(jìn)線方程為，設(shè)垂足為，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，由雙曲線的定義得，，，在中，，即，所以，所以，所以（舍去），所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用雙曲線定義結(jié)合余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，再結(jié)合與的關(guān)系即可.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）通過對等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，易得數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）表示出數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所?設(shè)的公差為，所以，即，所以.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1），得.所以，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.已知圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）若直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圓心是拋物線的焦點(diǎn)，找到拋物線的焦點(diǎn)，從而得到拋物線的方程;（2）利用點(diǎn)差法，找到直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.【小問1詳解】圓的方程可化為，故圓心的坐標(biāo)為.設(shè)拋物線的方程為（），所以，所以，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，則兩式相減，得，即，所以直線的斜率.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以.所以直線的方程為，即.19.在荾形中，，，將菱形沿著翻折，得到三棱錐如圖所示，此時.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，先證明線面垂直即平面，然后證明平面平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法求解直線與平面所成夾角.【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以與均為正三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，又，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，，，設(shè)為平面的一個法向量，則令，得，所以.所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，左、右頂點(diǎn)分別是，，上、下頂點(diǎn)分別是，，四邊形的面積為，四邊形的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與圓：相切，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求由點(diǎn)，，，四點(diǎn)圍成的四邊形的面積.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)題意列方程組中分別求出，從而求解.（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理從而求解.【小問1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)題意，得，解得，，，所以橢圓的方程是.【小問2詳解】設(shè)，，因?yàn)橹本€與圓：相切，所以，所以.聯(lián)立得.因?yàn)閳A在橢圓內(nèi)部，所以恒成立.所以，.所以.所以的面積，即，解得，此時直線軸，所以，所以四邊形的面積為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（2）問中利用直線與橢圓聯(lián)立后應(yīng)用韋達(dá)定理求出弦長，從而求解.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】21.;22..【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）表示出數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法即可求.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時，.所以，即，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所?.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)、，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若曲線與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，直線、分別與曲線交于點(diǎn)、（異于、）.求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知條件可得出，設(shè)點(diǎn)，則，計(jì)算出的值，即可得出曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，則由題意得、，設(shè)、、，寫出直線、，與雙曲線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出直線的方程，對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，化簡直線的方程，即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，所以，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，可得，所以，整理得.所以曲線的方程為.【小問2詳解】證明：不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，則由題意得、，設(shè)、、，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，當(dāng)時，，由韋達(dá)定理得，解得，，同理