第06講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（3個知識點方法練創(chuàng)新練成果練）

第06講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（3個知識點+方法練+創(chuàng)新練+成果練）【目錄】【新知講解】知識點1.函數(shù)的單調(diào)性知識點2.函數(shù)的極值知識點3.函數(shù)的最大（?。┲怠痉椒ň殹俊緞?chuàng)新練】【成果練】【知識導(dǎo)圖】【新知講解】知識點1.函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞增f′(x)<0單調(diào)遞減二、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點；(3)用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．三、函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)的絕對值的大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上：導(dǎo)數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)例一、單選題1．（2023上·江蘇南京·高二期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過題意判斷出在上單調(diào)遞減，將所求轉(zhuǎn)化為即可求解.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減．因為，所以，又不等式可轉(zhuǎn)換為，即，所以，解得．故選：C．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是可導(dǎo)函數(shù)，且對于恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，從而結(jié)合得到答案.【詳解】設(shè)，則．因為，所以，所以是R上的增函數(shù)，因為，所以，即，即．故選：C．例二、多選題3．（2023上·江蘇·高二期末）已知函數(shù)，，，則實數(shù)a的值可能為（）A．2 B．3 C．4 D．e【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在時的切線或確定x>0時無限接近的直線，數(shù)形結(jié)合，確定a的取值范圍，結(jié)合選項，即可得答案.【詳解】x>0時，,，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及x>0時函數(shù)的單調(diào)性作出的圖象：因為時，，，故設(shè)過點的切線的切點坐標(biāo)為，則，即，則該切線斜率為，過點的切線方程為；對于x>0時，時，當(dāng)取無限大時，趨近于0，即無限接近于，且，故要使得，成立，結(jié)合圖象，可得且，即，結(jié)合選項可知，符合題意，故選：AD4．（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知則（

）A．的值域為B．是奇函數(shù)C．若為函數(shù)的零點，且，則D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BC【分析】選項A：將然后判斷函數(shù)值域；選項B：根據(jù)奇函數(shù)的定義證明；選項C：根據(jù)函數(shù)的周期和零點計算求解；選項D：判斷函數(shù)在的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【詳解】對于A，當(dāng)，，選項A錯誤；對于B，，故B正確．對于C，顯然函數(shù)滿足且關(guān)于對稱，所以是以為周期的函數(shù)，又因為，所以，故C正確．對于D，當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減，又因為是以為周期的偶函數(shù)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯誤．故選：BC．5．（2023下·高二單元測試）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間可以為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式，即可求得答案.【詳解】由題意得，令，解得或，結(jié)合選項可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間可以為,,故選:AC.知識點2.函數(shù)的極值一、函數(shù)極值的定義1．極小值點與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，就把a(bǔ)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．2．極大值點與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，就把b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．3．極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．二、函數(shù)極值的求法與步驟1．求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時，(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．2．求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值．一、多選題1．（2023上·河北衡水·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布問題，進(jìn)一步由判別式、韋達(dá)定理即可求解.【詳解】由題意在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，即方程在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)兩根分別為，所以，即異號、同號，從而異號.故選：ACD.二、判斷題2．（2023下·高二課時練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）（1）函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值．()（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點處取得．()（3）有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值．()（4）若函數(shù)有兩個最值，則它們的和大于零．()【答案】正確錯誤錯誤錯誤【分析】利用極值與最值的關(guān)系判斷（1）；舉反例否定（2）,（3）,（4）.【詳解】（1）函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值，可能是在區(qū)間端點處取得.判斷正確；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值不一定在區(qū)間端點處取得，可能函數(shù)的極值．判斷錯誤；（3）函數(shù)在區(qū)間上有極大值，但沒有最小值.判斷錯誤；（4）函數(shù)在區(qū)間上最大值為0，最小值為，二者之和為小于0.判斷錯誤.故答案為：正確；錯誤；錯誤；錯誤三、填空題3．（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中且．若存在兩個極值點，，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)存在兩個極值點，得出導(dǎo)函數(shù)存在兩個不同的變號零點，研究導(dǎo)函數(shù)的零點，即，令，，分和兩種情況討論，根據(jù)與有兩個交點，求出過原點的切線，比較過原點的切線的斜率與斜率，得出關(guān)于兩斜率的不等式求解即可.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得：，因為存在兩個極值點，所以有兩個不同的變號零點．令，有，令，，所以與有兩個交點；當(dāng)時，，，設(shè)過原點的直線與的切點坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為：，將原點坐標(biāo)帶入切線方程得．此時切線的斜率為：，現(xiàn)在需要有兩個交點，即，因為，有，所以，所以；同理知當(dāng)時，，，即，所以．綜上知：的取值范圍為．故答案為：4．（2023上·河南·高三南陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的極小值為.【答案】【分析】首先根據(jù)三角恒等變換可得，再換元設(shè)，因為，所以，通過導(dǎo)數(shù)求得的極小值即可得解.【詳解】，設(shè)，因為，所以.令，所以.令，則或.因為在上，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，即的極小值為.故答案為：四、解答題5．（2023下·高二課時練習(xí)）求下列函數(shù)的極值.(1)；(2).【答案】(1)極大值為54，極小值為54(2)極大值為，無極小值【分析】確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，即可確定極值點，進(jìn)而求得極值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，，令，得或.當(dāng)x變化時，變化情況如下表：x33+00+5454從表中可以看出，當(dāng)時，函數(shù)有極大值，且.當(dāng)時，函數(shù)有極小值，且.（2）∵函數(shù)的定義域為，且，令，得，，∴當(dāng)x變化時，，y的變化情況如表：x12y′+0+0+y3故當(dāng)時，y有極大值，無極小值.知識點3.函數(shù)的最大（?。┲狄弧⒑瘮?shù)最值的定義1．一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．2．對于函數(shù)f(x)，給定區(qū)間I，若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值；若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值．二、求函數(shù)的最大值與最小值的步驟函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；(2)將函數(shù)f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．一、單選題1．（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出可得答案.【詳解】在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，則的最小值為.故選：C.二、多選題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．在上的極大值和最大值相等B．直線和函數(shù)的圖象相切C．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則D．【答案】BCD【分析】選項A：利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；選項B：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解判斷；選項C：結(jié)合選項A，由求解判斷；選項D：根據(jù)求解判斷.【詳解】選項A：，令，得或，故在，上單調(diào)遞增：令，得，故在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，的極大值為，又，所以在上的最大值為，所以A錯誤．選項B：易知直線的斜率為－3，設(shè)直線和函數(shù)的圖象相切的切點為，則，即，解得，故，故切點為，顯然切點坐標(biāo)滿足，故B正確．選項C：結(jié)合選項A知：若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故，故C正確．選項D：易知，所以，故D正確．故選：BCD三、解答題3．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意寫出函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求得其最值；（2）根據(jù)函數(shù)解析式求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論思想，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，則由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．（2）由題意可得．當(dāng)時，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．因為不等式恒成立，所以，解得．當(dāng)時，，不符合題意．綜上，a的取值范圍是．4．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若的最小值為1，求；(2)設(shè)為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值，（2）構(gòu)造函數(shù)，利用極值點偏移即可求證，進(jìn)而結(jié)合不等式的關(guān)系即可求證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)增.又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）由，得，即即.由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè).令，則.當(dāng)時，，所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即，又，所以.因為，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，因為，所以，所以.【點睛】方法點睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.5．（2024上·吉林長春·高三長春吉大附中實驗學(xué)校校考期末）已知函數(shù)．(1)，求函數(shù)的最小值；(2)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用二次求導(dǎo)法進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用常變量分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為，所以，令，則有，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，則有，因此當(dāng)時，則有，當(dāng)時，顯然，于是有當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以；（2）由，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，由，設(shè)，則有，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，要想在上恒成立，只需，因此的取值范圍為.【方法練】一、單選題1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？计谀┤酎c不在函數(shù)的圖像上，且過點P有三條直線與的圖像相切，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)出切點坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個零點問題，然后列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】點不在函數(shù)的圖像上，則，即，設(shè)過點的直線與的圖像相切于，則切線的斜率，整理可得，則問題可轉(zhuǎn)化為有三個零點，且，令，可得或，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，即當(dāng)時，有極大值，當(dāng)時，有極小值，要使有三個零點，則，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：A2．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)其解不等式，可得答案.【詳解】令，則，即在上單調(diào)遞減．由，得，則，得，所以，得，所以原不等式的解集為.故選：D.二、多選題3．（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在處取得極值，則（

）A．B．為定值C．當(dāng)時，有且僅有一個極大值D．若有兩個極值點，則是的極小值點【答案】ABC【分析】求導(dǎo)，由題意可知，是方程的一個變號實數(shù)根，則，即可判斷A；由判斷B；當(dāng)時，可得，當(dāng)時，當(dāng)時，即可判斷C；將代入整理得，則方程有不相等的實數(shù)根與，分類討論，結(jié)合極值點的定義可判斷D.【詳解】的定義域為，則，，由題意可知，是方程的一個變號實數(shù)根，則，故A正確；由得，，故B正確；當(dāng)時，因為，所以函數(shù)開口向下，且與軸正半軸只有一個交點，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有且僅有一個極大值，故C正確；將代入整理得，則方程有不相等的實數(shù)根與，即，當(dāng)時，時，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則是的極大值點，是的極小值點，當(dāng)時，時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則是的極大值點，是的極小值點，故D錯誤，故選：ABC.4．（2023上·江蘇南京·高二期末）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．的極大值點是B．函數(shù)有且只有個零點C．存在實數(shù)，使得成立D．對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則【答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得極值點，判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，即可判斷B；判斷的取值情況，可判斷C；由可得，要證，只要證，利用構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值，所以A錯誤；B選項中，函數(shù)，則由于，即在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上有唯一零點，即函數(shù)有且只有個零點，B正確；C選項中，由，可得當(dāng)且趨于無窮大時，無限接近于0，也無限趨于0，故不存在實數(shù)，使得成立，即不存在實數(shù)，使得成立，C錯誤；D選項中，由得，要證，只要證，即證，由于，故令，則，故在上單調(diào)遞增，則，即成立，故成立，所以D正確.故選：BD.一、解答題1．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，再分類討論導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)即可得解；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，只需即可，令，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性進(jìn)而求最大值即可.【詳解】（1）由題意可知，，令，則，當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增，當(dāng)時，由解得，由解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上所述當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）可知不等式即在上恒成立，即在上恒成立，只需即可，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以.2．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)時，求在上的最大值；(3)當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)當(dāng)時，在上的最大值是；當(dāng)時，在上的最大值是.4【分析】（1）求，分和兩種情況，判斷的符號，即可求解；（2）通過討論在上的單調(diào)性，即可求最大值；（3）通過分離參數(shù)，得到，令，借助隱零點求出在上的最小值的范圍，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)可得，當(dāng)時，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；無單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時，令解得，令，解得；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是，綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以，即在上的最大值是，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，即在上的最大值是，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以最大值可能在或處取得，，，當(dāng)，即時，，即在上的最大值是，當(dāng)，即時，，即在上的最大值是，綜上所述：當(dāng)時，在上的最大值是；當(dāng)時，在上的最大值是.（3）當(dāng)時，不等式恒成立，即，即，，，，，即，令，，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為，，所以存在唯一一點，使，即，所以，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以，，，因為，所以，即，所以，所以整數(shù)的最大值是4.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，恒成立問題的求解關(guān)鍵是分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解分離后函數(shù)的最值，如果極值點不易求解時，可以借助隱零點進(jìn)行求解.【創(chuàng)新練】一、單選題1．（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上有極值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得在上有零點，即在上有實數(shù)根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再驗證是否滿足即可.【詳解】的定義域為，，要函數(shù)在上有極值，則在上有零點，即在上有實數(shù)根.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上沒有極值，故.故選:D.2．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，則下列描述正確的是（

）A．點與點在軸同側(cè)B．若的圖象在處的切線斜率小于0，則一定存在點在軸下方C．與的圖象可能與軸交于同一點D．函數(shù)不一定存在零點【答案】C【分析】根據(jù)，即可判斷選項A、C與D，選項B舉出反例即可判斷.【詳解】對于選項A，因為，則，所以點與點關(guān)于軸對稱，不在軸同側(cè)，所以A錯誤；對于選項B，因為的圖象在處的切線斜率小于0，所以，又，所以，如果，則，滿足，且，，但的圖象恒在軸上方，所以B錯誤；對于選項C，因為，如果，則與的圖象可能與軸交于同一點，所以C正確；對于選項D，因為，則，所以函數(shù)存在零點，所以D錯誤.故選：C.二、多選題3．（2024上·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（

）A．有一個零點B．的極小值為C．的對稱中心為D．直線是曲線的切線【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，結(jié)合即可判斷A；證明函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)平移變換即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程即可判斷D.【詳解】A：，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，故函數(shù)在R上只有一個零點，故A正確；B：由選項A的分析可知，函數(shù)的極小值為，故B錯誤；C：令，定義域為R，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對稱中心為，將函數(shù)圖象向下平移1個長度單位，得函數(shù)的圖象，所以的對稱中心為，故C正確；D：由選項A知，令，又，所以切線方程為，即，所以直線是曲線在點處的切線，故D正確.故選：ACD4．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有最大值C．若，則D．若，且，則【答案】ACD【分析】根據(jù)的解析式直接求解可對A判斷；利用導(dǎo)數(shù)求最值方法可對B判斷；結(jié)合給出的已知條件并利用A、B中的結(jié)論可對C、D判斷求解.【詳解】對A：由題意知，所以，故A正確；對B：由題意知的定義域為，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取到極小值也是最小值，故B錯誤；對C：當(dāng)時，可得，由A知，所以，由B知恒成立，所以，故C正確；對D：當(dāng)時，得，又因為，所以，由B知在上單調(diào)遞增，所以，又由A知，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：靈活運(yùn)用已知條件，，并結(jié)合的對稱性和單調(diào)性進(jìn)行求解.三、填空題5．（2023上·湖北·高二期末）函數(shù)的最小值為.【答案】1【分析】借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最小值即可.【詳解】，，設(shè)，，所以在R上單調(diào)遞增，由，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增．所以，故答案為：6．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【詳解】，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，∴，當(dāng)時，，，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，則實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.四、解答題7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為1，無極大值；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求極值；（2）由題意可得任意有解，設(shè)，分、及討論即可求解.【詳解】（1），得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值；（2）對任意即，設(shè)，，①當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；②當(dāng)時，令單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；③當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，不成立.綜上，.8．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)已知，，，，求證：；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由函數(shù)單調(diào)遞減得恒成立，分離參數(shù)法可得；（2）利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性證明不等式即可；（3）利用（2）結(jié)論，逐個賦值后累加法可證.【詳解】（1）對恒成立，即對恒成立．因為，則．（2），只需證明．令，，則在單調(diào)遞減，則，又，則，即成立，得證．（3）由（2）知，令，則有，即，，，…，，累加可得，故，從而命題得證．【成果練】一、單選題1．（2023上·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個極值點，且不等式恒成立，則t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和極值點的關(guān)系求出及的范圍，然后代入，構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】函數(shù)定義域為，，又函數(shù)存在兩個極值點，所以方程在上有兩個不相等的正實數(shù)根，則，解得，又設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增加，因為不等式恒成立，即恒成立，所以.故選：D.2．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，，求出的最值即可解決問題.【詳解】因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因為，所以，所以當(dāng)，即時，，所以，故選：D．二、多選題3．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在一個有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是，則（

）A．這兩個球體的半徑之和的最大值為B．這兩個球體的半徑之和的最大值為C．這兩個球體的表面積之和的最大值為D．這兩個球體的表面積之和的最大值為【答案】BC【分析】根據(jù)題意作出截面圖，通過幾何關(guān)系結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

從而研究兩個球體的半徑的最值，然后將兩個球體的表面積之和表示成，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得最大值；【詳解】當(dāng)這兩個球體的表面積之和取最大值時，有一個球體和圓錐的底面相切，過底面圓的直徑作截面，如圖所示，過點作，垂足為，過點作，垂足為，過點作，垂足為.設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為r，的最大值為，且取最大值時，，所以，，，，.因為，所以①，整理得，解得.令函數(shù)，，.令函數(shù)，，所以是增函數(shù).又因為，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以，即這兩個球體的半徑之和的最大值為.由①可得，這兩個球體的表面積之和為.令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即這兩個球體的表面積之和的最大值為.故選：BC.4．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┮阎本€分別與函數(shù)和的圖像交于點，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由函數(shù)和互為反函數(shù)，可得，，利用均值不等式可判斷A；利用，構(gòu)造函數(shù)可判斷B；利用均值不等式可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究單調(diào)性可判斷C；由，，可得可判斷D.【詳解】因為函數(shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)和的圖象關(guān)于直線的對稱，又因為直線的斜率1與直線的斜率的乘積為，因此直線與直線互相垂直，顯然直線也關(guān)于直線對稱，解方程組，所以直線和的交點坐標(biāo)為：，有，，，.對于A：因為，，所以，故A正確；對于B：因為，關(guān)于對稱，所以有，點在直線上，而，所以，因此，顯然函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，，故B正確；對于C：因為，，所以，因此有，設(shè)函數(shù)，，因為，所以因此函數(shù)是單調(diào)遞增的，當(dāng)時，有，即，因此有，故C不正確；對于D：因為，關(guān)于對稱，所以，，即，所以，又，所以，從而，故D正確.故選：ABD.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．既有最大值又有最小值C．的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和D．的最大值等于的最小值【答案】AC【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)判斷A選項；利用導(dǎo)函數(shù)判單調(diào)性判斷B、C選項；利用導(dǎo)函數(shù)求最值判斷D選項.【詳解】對于選項A，因為，其定義域為，所以是偶函數(shù)，故A正確；對于選項B，因為的定義域為，所以，令，得或，令，得或；令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，但當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以僅有最小值無最大值，故B不正確；對于選項C，因為，時，時，所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，故C正確；對于選項D，因為，時，時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最大值為；而當(dāng)，；所以無最小值，故D不正確，故選：AC．三、填空題6．（2023上·浙江溫州·高二溫州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，分析得的性質(zhì)，結(jié)合與的關(guān)系，將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，從而得解.【詳解】令，則的定義域為，又，則是偶函數(shù)；當(dāng)時，，，當(dāng)時，顯然，當(dāng)時，，，所以，綜上，在上單調(diào)遞增，因為，所以由，得，即，所以，即，解得.故答案為：.7．（2023·廣西·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】【分析】先確定函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，，由得或（因為，故舍去），所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．故答案為：8．（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谥校┮阎?，，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性得到當(dāng)時；構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)的單調(diào)性得到當(dāng)時，且，進(jìn)而得到；當(dāng)和同理.【詳解】令，，當(dāng)時，；，當(dāng)時，，，在單調(diào)遞減，，即當(dāng)時；當(dāng)時，，，在單調(diào)遞減，，即當(dāng)時；令，，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，，即；當(dāng)時，，，，即；綜上，當(dāng)或，即時，.若，則的取值范圍是.故答案為：解答題9．（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，設(shè)分別為的極大值點、極小值點，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)即可得解.（2）由（1）求出函數(shù)的極大值與極小值，求出極大值與極小值的差，構(gòu)造函數(shù)并求出其范圍即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得或，則當(dāng)時，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，由（1）知，，，因此，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以的取值范圍是.10．（2023上·廣西柳州·高三柳州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的值域；(2)若有兩個不同的零點，求的取值范圍，并證明：.【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最大值和端點的函數(shù)值，即可求得函數(shù)的值域；（2）求得，當(dāng)時，得到在上遞減，舍去；當(dāng)時，求得的單調(diào)性，得到兩個零點，，進(jìn)而得到，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可得證.【詳解】（1）解：當(dāng)時，可得，可得，令，解得；令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因為，可得，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為（2）解：由函數(shù)，可得當(dāng)時，，在上遞減，不可能有兩個零點，舍去；當(dāng)時，，令，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在遞增，在上遞減，為滿足題意，此時極大值為，解得，又由時，；當(dāng)時，，由零點存在定理，存在兩個零點，，所以的取值范圍為，又由，兩式相減，可得，要證，只需證，即證，設(shè)，只需證，設(shè)，可得，所以在單調(diào)遞增，所以，所以成立，即原命題得證.【點睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若是函數(shù)的一個極值，求實數(shù)的值；(2)求證：當(dāng)時，．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）令，解得的值后，驗證即可；（2）根據(jù)條件可知當(dāng)時，，可轉(zhuǎn)化為，證明，即證即可.【詳解】（1）因為，所以．因為當(dāng)時，函數(shù)取得極值，所以，即，所以或．①當(dāng)時，，設(shè)，則，則時，當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，所以00極小值所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值．②當(dāng)時，，同理可證：當(dāng)時，函數(shù)取得極小值．綜上，或．（2）當(dāng)時，．因為，所以，即，所以，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，．下面證明，即證．令，則．令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以．【點睛】方法點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.12．（2023上·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個零點，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；（2）由，把函數(shù)的零點個數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為，兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，令，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)