預(yù)習(xí)18講復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)提升課（人教A版2019）

2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)精品課（人教A版2019必修第二冊(cè)）預(yù)習(xí)18講復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算（精講+精練）①?gòu)?fù)數(shù)的乘法運(yùn)算②復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算③虛數(shù)單位i的冪的周期性及其應(yīng)用④實(shí)系數(shù)一元二次方程一、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的乘法法則我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：設(shè),是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為，即（2）復(fù)數(shù)乘法滿(mǎn)足的運(yùn)算律復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律(交換律)(結(jié)合律)(分配律)二、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方（1）復(fù)數(shù)的乘方復(fù)數(shù)的乘方就是相同復(fù)數(shù)的乘積（2）復(fù)數(shù)乘方的運(yùn)算律根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，即對(duì)任意的，，有：①②③三、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)設(shè)，（）①②為實(shí)數(shù)③且為純虛數(shù)④⑤，，四、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算（1）定義規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，即把滿(mǎn)足（，）的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記作或（2）復(fù)數(shù)的除法法則（）由此可見(jiàn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).題型一：題型一：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算策略方法(1)復(fù)數(shù)乘法的一般方法首先按多項(xiàng)式的乘法展開(kāi),再將i2換成1,然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算.(2)常用公式①(a+bi)2=a2+2abib2(a,b∈R);②(a+bi)(abi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.【題型精練】一、單選題1．（

）A．5 B． C．1 D．7【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】，故選:D.2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3．設(shè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，根據(jù)實(shí)部與虛部互為相反數(shù)列式計(jì)算，即得答案.【詳解】，由已知得，解得，故選：D4．若，其中，則（）A．3 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】等式左側(cè)展開(kāi)，應(yīng)用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（實(shí)部等于實(shí)部且虛部等于虛部）列方程組求解即可.【詳解】∵∴解得故選：D.二、填空題5．的虛部為．【答案】5【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)虛部的定義求解.【詳解】由題意得，所以的虛部為5．故答案為：56．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的實(shí)部為．【答案】5【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則展開(kāi)化簡(jiǎn)后即得答案.【詳解】,故答案為：5.7．已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則的模等于.【答案】【分析】根據(jù)的運(yùn)算性質(zhì)以及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求解出，然后根據(jù)模長(zhǎng)公式求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故答案為?8．已知，是虛數(shù)單位，若，，則．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由，得所以，∴．故答案為：三、解答題9．計(jì)算:(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用復(fù)數(shù)的加減、乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.10．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算可得；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所?題型二：題型二：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算策略方法(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則,通過(guò)分子、分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù),使“分母實(shí)數(shù)化”,這個(gè)過(guò)程與“分母有理化”類(lèi)似.(2)常用公式①1i=i;②1+i1-i【題型精練】一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)定義即可得到虛部.【詳解】∵，∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A．2．已知（，為虛數(shù)單位），則（

）A． B．3 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等的概念即可求得的值，可得結(jié)果.【詳解】由，可得，，因此．故選：B．3．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．4．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得的實(shí)部和虛部，解方程即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，解得，故選：A二、填空題5．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）,則的模為．【答案】【分析】將進(jìn)行化簡(jiǎn),求出,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式求出結(jié)果即可.【詳解】由題知,.故答案為:.6．已知（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，.故答案為：3.7．已知，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），若，則，.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用求出，利用模長(zhǎng)公式求出模長(zhǎng)即可.【詳解】，因?yàn)?，故，得，?故答案為：；.三、解答題8．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式9．已知復(fù)數(shù).求(1)；(2).【答案】(1)(2)5【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可得到答案；（2）利用復(fù)數(shù)模的定義即可.【詳解】（1）因?yàn)椤?/p>

（2）10．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位．(1)求；(2)若，求的共軛復(fù)數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)減法運(yùn)算求，再由模的公式求結(jié)論；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)定義求結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴，∴，（2）由，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．11．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)）．(1)求的值；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】（1）由題知，解得（2）由（1）知，，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，解得.題型三：題型三：虛數(shù)單位i的冪的周期性及其應(yīng)用策略方法要熟記in的取值的周期性,即i4n+1=i,i4n+2【題型精練】一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，求出.【詳解】，則.故選：C2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，進(jìn)而得到.【詳解】，，故選：C.3．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A．i B． C． D．1【答案】A【分析】先求，再求.【詳解】由已知，所以.故選：A.二、填空題4．=.【答案】1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算得到，進(jìn)而得到答案.【詳解】由于，故，故故答案為：15．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，先求出，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.【詳解】，，故.故答案為：6．為虛數(shù)單位，則．【答案】【分析】利用的指數(shù)冪的周期可計(jì)算得出所求代數(shù)式的值.【詳解】，故答案為：.三、解答題7．計(jì)算：．【答案】【分析】先求得，，再由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算可求解.【詳解】，而，.8．計(jì)算（其中）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方得到，，，（），再代入根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法及加減運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，，，，，，（），所以；?）.題型四：題型四：實(shí)系數(shù)一元二次方程策略方法在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法(1)利用求根公式求解.(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.【題型精練】一、單選題1．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根為（

）A．和1 B．和5 C． D．【答案】D【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根即可.【詳解】由，則方程的根為.故選：D2．若復(fù)數(shù)為方程(，)的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的虛根成共軛復(fù)數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)閮筛楣曹棌?fù)數(shù)，所以另一根為.故選：A.3．設(shè)虛數(shù)和是方程的兩根，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)的一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，得，設(shè)虛數(shù)，且，利用復(fù)數(shù)相等求得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榉匠痰膬筛楣曹棌?fù)數(shù)，設(shè)虛數(shù)，且，所以．所以，所以，所以方程的兩根為，所以，所以．故選：D．二、填空題4．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則．【答案】【分析】配方解方程，將表示出來(lái)即可．【詳解】由，得，則，則，故．故答案為：5．已知關(guān)于的方程的一個(gè)虛根為（其中為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù).【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得正確答案.【詳解】依題意，關(guān)于的方程的根為，由根與系數(shù)關(guān)系得.故答案為：三、解答題6．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根據(jù)配方法結(jié)合虛數(shù)單位的性質(zhì)可求方程的復(fù)數(shù)解.【詳解】（1）即為，故.（2）即為，故，所以.7．在復(fù)數(shù)集C內(nèi)解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)或．(2)或．【分析】（1）移項(xiàng)開(kāi)根號(hào)即可得到答案；（2）配方即可計(jì)算得到答案.【詳解】（1），則，則.（2）配方，得．或，所以或．8．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程.(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】利用復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次