2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)考點(diǎn)綜合提升練6

考點(diǎn)綜合·提升練6(范圍：第二章§3－§4)限時(shí)60分鐘分值100分戰(zhàn)報(bào)得分______一、選擇題(每小題5分，共30分，每小題只有一項(xiàng)符合題意)1.函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則此函數(shù)在[－2，2]上的最小值、最大值分別是()A．－1，3 B．0，2C.－1，2 D．3，2【解析】選C.當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，由題圖可知，x＝－2時(shí)，f(x)的最小值為f(－2)＝－1；x＝1時(shí)，f(x)的最大值為2.2．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A.f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3xC.f(x)＝－|x| D．f(x)＝－eq\f(3,x＋2)【解析】選D.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，選項(xiàng)A不正確；f(x)＝x2－3x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上為減函數(shù)，選項(xiàng)B不正確；f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上為減函數(shù)，選項(xiàng)C不正確；f(x)＝－eq\f(3,x＋2)在(－2，＋∞)上為增函數(shù)，選項(xiàng)D正確．3．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)的是()A.y＝x2 B．y＝x＋1C.y＝－|x| D．y＝eq\f(2022,x)【解析】選C.y＝x2在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，是偶函數(shù)，所以A不合題意．y＝x＋1在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，所以B不合題意．y＝－|x|在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，是偶函數(shù)，所以C符合題意，y＝eq\f(2022,x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，是奇函數(shù)，所以D不合題意．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(x2＋1)＋x)，若a＝f(－x2＋x－1)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，c＝f(x2－x＋1)，則()A.a>b>c B．b>a>cC.c>a>b D．c>b>a【解題提示】先判斷f(x)的單調(diào)性，判斷出a，b，c對(duì)應(yīng)的自變量的大小關(guān)系，利用f(x)的單調(diào)性，即可得出答案．【解析】選A.因?yàn)閑q\r(x2＋1)＋x>eq\r(x2)＋x＝|x|＋x≥0，所以eq\r(x2＋1)＋x>0，所以f(x)的定義域?yàn)镽.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)＋x1)－eq\f(1,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1)＋x2)＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)－x1－(eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1)－x2)＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)－eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1)－(x1－x2)＝eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)＋\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1))－(x1－x2)＝eq\f(（x1－x2）,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)＋\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1)).[(x1＋x2)－(eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)＋eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1))]，因?yàn)閑q\r(x2＋1)－x>eq\r(x2)－x＝|x|－x≥0，所以eq\r(x2＋1)>x，所以x1<eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)，x2<eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1)，所以(x1＋x2)－(eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋1)＋eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋1))<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)是減函數(shù)．因?yàn)椋瓁2＋x－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(3,4)≤－eq\f(3,4)<－eq\f(1,4)，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>－eq\f(1,4)，所以－x2＋x－1<－eq\f(1,4)<x2－x＋1，所以f(－x2＋x－1)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))>f(x2－x＋1).即a>b>c.5．已知函數(shù)f(x)＝，其中M，N為非空集合，且滿足M∪N＝R，則下列結(jié)論中一定正確的是()A.函數(shù)f(x)一定存在最大值B.函數(shù)f(x)一定存在最小值C.函數(shù)f(x)一定不存在最大值D.函數(shù)f(x)一定不存在最小值【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝其中M，N為非空集合，且滿足M∪N＝R，所以由y＝x3的值域?yàn)?－∞，＋∞)，y＝x2的值域?yàn)閇0，＋∞)，且M∪N＝R，若M＝(0，＋∞)，N＝(－∞，0]，則f(x)的最小值為0，故D錯(cuò)；若M＝(－∞，0)，N＝[0，＋∞)，則f(x)無最小值，故B錯(cuò)；由M∪N＝R，可得圖象無限上升，則f(x)無最大值，所以A錯(cuò)誤，C正確．6．若函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋1在[m，n]上的值域?yàn)閇2，4]，則g(x)＝ax3＋bx－2在[－n，－m]上的值域?yàn)?)A.[－4，－2] B．[－6，－3]C.[－1，1] D．[－5，－3]【解析】選D.函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋1在[m，n]上的值域?yàn)閇2，4]，設(shè)h(x)＝ax3＋bx＝f(x)－1，則h(x)在[m，n]上的值域?yàn)閇1，3]，且滿足h(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－h(huán)(x)，所以h(x)是R上的奇函數(shù)，所以h(x)在[－n,－m]上的值域?yàn)閇－3,－1].又g(x)＝h(x)－2，所以g(x)在[－n,－m]上的值域?yàn)閇－5,－3].二、選擇題(每小題5分，共10分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分)7．知函數(shù)f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(2x＋1,x＋1)，則關(guān)于函數(shù)f(x)正確的說法是()A.f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠－1}B.f(x)的值域?yàn)閧y∈R|y≠1，且y≠2}C.f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減D.不等式f(x)>2的解集為(－1，0)【解析】選BCD.由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(2x＋1,x＋1)＝eq\f(2＋\f(1,x),1＋\f(1,x))，故f(x)＝eq\f(2＋x,x＋1)＝1＋eq\f(1,x＋1)(x≠0且x≠－1)，所以f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠－1且x≠0}，故A不正確；作出其圖象，由圖象知：由于x≠0，故f(x)值域?yàn)閧y∈R|y≠1，且y≠2}；f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；f(x)>2的解集為(－1，0).8．關(guān)于定義在R上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2＋2x，則下列說法正確的是()A.x<0時(shí)，函數(shù)解析式為f(x)＝x2－2xB.函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)C.不等式f(3x－2)<8的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))D.不等式f(x)－x2－x－1<0恒成立【解析】選AC.對(duì)于A，設(shè)x<0，－x>0，則f(－x)＝x2－2x，又f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)＝x2－2x，即x<0時(shí)，函數(shù)解析式為f(x)＝x2－2x，故A正確；對(duì)于B，f(x)＝x2＋2x，對(duì)稱軸為x＝－1，所以當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，由偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝8，解得x1＝2，x2＝－4(舍去)，即f(2)＝8，所以不等式f(3x－2)<8，轉(zhuǎn)化為f(3x－2)<f(2)，又f(x)在R上為偶函數(shù)，得|3x－2|<2?0<x<eq\f(4,3)，所以不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，故C對(duì)；對(duì)于D，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2－2x，f(x)－x2－x－1＝x2－2x－x2－x－1＝－3x－1，不恒小于0；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2＋2x，f(x)－x2－x－1＝x2＋2x－x2－x－1＝x－1不恒小于0，故D錯(cuò)．三、填空題(每小題5分，共20分)9．若函數(shù)f(x)＝x3＋x，若f(a－2)＋f(a2)≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】函數(shù)f(x)＝x3＋x為奇函數(shù)，且在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(a－2)＋f(a2)≥0可化為f(a2)≥－f(a－2)＝f(2－a)，即a2≥2－a，所以a2＋a－2≥0，所以a≤－2或a≥1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪[1，＋∞).答案：(－∞，－2]∪[1，＋∞)10．對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)(x>0)的定義域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下結(jié)論：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0；③feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是________．【解析】對(duì)于①，f(x1＋x2)＝eq\f(1,x1＋x2)，f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)，顯然f(x1＋x2)≠f(x1)＋f(x2)，故①不正確；對(duì)于②，取x1＝1，x2＝2，則f(x1)＝1，f(x2)＝eq\f(1,2)，可得eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＝eq\f(1－\f(1,2),1－2)＝－eq\f(1,2)<0，故②不正確；對(duì)于③，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝eq\f(2,x1＋x2)，eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))＝eq\f(x1＋x2,2x1x2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))－eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝－eq\f(（x1－x2）2,2x1x2（x1＋x2）).因?yàn)閤1>0，x2>0且x1≠x2，所以－eq\f(（x1－x2）2,2x1x2（x1＋x2）)<0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))－eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)<0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，故③正確．答案：③11．已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：若存在最小正整數(shù)k，使得f(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k函數(shù)”，若函數(shù)f(x)＝3x＋m是[1，2]上的“2函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【解析】由題可得函數(shù)f(x)＝3x＋m≤2(x－1)在[1，2]上恒成立，即m≤－x－2在[1，2]上恒成立，所以m≤(－x－2)min＝－4.答案：m≤－412．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)在區(qū)間[2，4]上的最大值為________，最小值為________．【解析】f(x)＝eq\f(x,x＋2)＝eq\f(x＋2－2,x＋2)＝1－eq\f(2,x＋2)，在[2，4]上，若x越大，則x＋2越大，eq\f(2,x＋2)越小，－eq\f(2,x＋2)越大，1－eq\f(2,x＋2)越大，故函數(shù)f(x)在[2，4]上是增函數(shù)，所以f(x)min＝f(2)＝eq\f(2,2＋2)＝eq\f(1,2)，f(x)max＝f(4)＝eq\f(4,4＋2)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)eq\f(1,2)四、解答題(每小題10分，共40分)13．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝eq\f(1＋x,1－x).(1)求f(5)的值；(2)求當(dāng)x>0時(shí)，f(x)的表達(dá)式；(3)求f(x)＝0時(shí)的x的值．【解析】(1)當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，所以f(－5)＝eq\f(1－5,1－（－5）)＝－eq\f(4,6)＝－eq\f(2,3)，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，故f(5)＝f(－5)＝－eq\f(2,3).(2)當(dāng)x>0時(shí)，－x<0；當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，所以f(－x)＝eq\f(1－x,1＋x)，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝eq\f(1－x,1＋x)，故當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\f(1－x,1＋x).(3)當(dāng)x≤0時(shí)，令f(x)＝0，即eq\f(1＋x,1－x)＝0，解方程可得x＝－1.又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(1)＝f(－1)，即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝0的解為x＝1，故f(x)＝0的解為x＝±1.14．已知f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k>0).(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)當(dāng)k＝4時(shí)，判斷并證明函數(shù)f(x)在(0，2]上的單調(diào)性，并求其值域．【解析】(1)由題意得，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，因?yàn)閒(－x)＝－x－eq\f(k,x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．因?yàn)閒(－1)＝－(k＋1)，f(1)＝k＋1，又因?yàn)閗>0，所以f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函數(shù)．故f(x)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(0，2]內(nèi)是減函數(shù)．證明：任取x1，x2∈(0，2]，不妨設(shè)x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(4,x1)－x2－eq\f(4,x2)＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x1)－\f(4,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(4（x2－x1）,x1x2)＝(x1－x2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1x2)))＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2－4,x1x2)))，因?yàn)?<x1<x2≤2，所以x1－x2<0，0<x1x2<4，所以x1x2－4<0.所以f(x1)－f(x2)>0.所以f(x1)>f(x2)，因此，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(0，2]內(nèi)是減函數(shù)．f(x)min＝f(2)＝4；x→0，f(x)→＋∞，無最大值，所以f(x)的值域?yàn)閇4，＋∞).15．若a∈R，函數(shù)f(x)＝|x2－ax|在區(qū)間[0，1]上的最大值記為g(a)，求g(a)的表達(dá)式，并求當(dāng)a為何值時(shí)，g(a)的值最?。窘馕觥慨?dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)?≤x≤1，所以f(x)＝x2－ax，f(x)單調(diào)遞增．所以g(a)＝f(1)＝1－a.當(dāng)a>0時(shí)，如圖所示，令f(x)＝eq\f(a2,4)，得x＝eq\f(a,2)或x＝eq\f(\r(2)＋1,2)a.①當(dāng)eq\f(a,2)≥1，即a≥2時(shí)，g(a)＝f(1)＝a－1；②當(dāng)eq\f(a,2)<1<eq\f(\r(2)＋1,2)a，即2(eq\r(2)－1)<a<2時(shí)，g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝eq\f(a2,4)；③當(dāng)eq\f(\r(2)＋1,2)a≤1，即0<a≤2(eq\r(2)－1)時(shí)，g(a)＝f(1)＝1－a.綜上，g(a)＝顯然當(dāng)a＝2(eq\r(2)－1)時(shí)，g(a)取最小值．16．關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性的問題，有如下事實(shí)：①證明函數(shù)圖象的對(duì)稱性就是證明圖象上點(diǎn)的對(duì)稱性．例如，證明函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，就是證明圖象上的任一點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)也在圖象上．②點(diǎn)的坐標(biāo)能滿足函數(shù)關(guān)系式就說明點(diǎn)在函數(shù)圖象上．③偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱這個(gè)結(jié)論可以推廣．例如，函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)．請(qǐng)根據(jù)上述信息完成以下問題：(1)從偶函數(shù)定義出發(fā)，證明函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)求函數(shù)g(x)＝x4＋4x3＋6x2＋4x的對(duì)稱軸；(3)已知函數(shù)y＝h(x＋2)為偶函數(shù)，且y＝h(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，若函數(shù)h(x)圖象上兩點(diǎn)A(m，y1)，B(1－2m，y2)滿足y1＞y2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解題提示】(1)①先證充分性，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在函數(shù)圖象上取兩點(diǎn)(x，f(x))，(－x，f(－x)).由點(diǎn)的坐標(biāo)可得證．②再證必要性，設(shè)y＝f(x)是偶函數(shù)，要證明圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即證明圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)還在自身圖象上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)可得證．(2)g(x)＝(x＋1)4－1，設(shè)