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山東省青島實驗高中2024屆數(shù)學高一上期末監(jiān)測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.函數(shù)的零點一定位于下列哪個區(qū)間().A. B.C. D.2.sin()=()A. B.C. D.3.已知平行四邊形的對角線相交于點點在的內(nèi)部(不含邊界).若則實數(shù)對可以是A. B.C. D.4.已知函數(shù).若,,,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.5.函數(shù)的零點所在區(qū)間是()A B.C. D.6.當時,,則a的取值范圍是A.(0,) B.(,1)C.(1,) D.(,2)7.已知x是實數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.從數(shù)字中隨機取兩個不同的數(shù),分別記為和,則為整數(shù)的概率是()A. B.C. D.10.若圓錐的高等于底面直徑,則它的底面積與側(cè)面積之比是A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.設(shè)為三個隨機事件,若與互斥,與對立,且,,則_____________12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當時,,則函數(shù)的零點個數(shù)為______13.在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為,,且,與的夾角為.給出以下結(jié)論:①越大越費力,越小越省力;②的范圍為;③當時,;④當時,.其中正確結(jié)論的序號是______.14.在空間直角坐標系中,一點到三個坐標軸的距離都是1,則該點到原點的距離是______答案】15.若且,則取值范圍是___________16.已知直線與圓C:相交于A,B兩點,則|AB|=____________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知實數(shù),定義域為的函數(shù)是偶函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù)(Ⅰ)求實數(shù)值;(Ⅱ)判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明;(Ⅲ)是否存在實數(shù),使得對任意的,不等式恒成立.若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由18.已知定義在上的函數(shù),其中,且(1)試判斷函數(shù)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(2)解關(guān)于的不等式19.函數(shù)=的部分圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)將的圖像向右平移個單位,再將橫坐標伸長為原來的倍,得到函數(shù),若在上有兩個解,求的取值范圍.20.已知a,b為正實數(shù),且.(1)求a2+b2的最小值;(2)若,求ab的值21.已知由方程kx2-8x+16=0的根組成的集合A只有一個元素,試求實數(shù)k的值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)零點存在性定理可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,且,,,,根據(jù)零點存在性定理可知函數(shù)的零點一定位于區(qū)間內(nèi).故選:C【點睛】關(guān)鍵點點睛:掌握零點存在性定理是解題關(guān)鍵.2、A【解析】直接利用誘導(dǎo)公式計算得到答案.【詳解】故選:【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式化簡,意在考查學生對于誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.3、B【解析】分析:根據(jù)x,y值確定P點位置,逐一驗證.詳解:因為,所以P在線段BD上,不合題意,舍去;因為,所以P在線段OD外側(cè),符合題意,因為,所以P在線段OB內(nèi)側(cè),不合題意,舍去;因為,所以P在線段OD內(nèi)側(cè),不合題意,舍去;選B.點睛:若,則三點共線,利用這個充要關(guān)系可確定點的位置.4、C【解析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合單調(diào)性即可比較大小.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x2﹣2|x|+2019=f(﹣x),則函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則a=f(﹣log25)=f(log25),當x≥0,f(x)=x2﹣2x+2019=(x﹣1)2+2018,在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù);又由1<20.8<2<log25,則.則有b<a<c;故選C【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷以及性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】利用零點存在定理可得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增,因為,,,,所以,函數(shù)的零點所在區(qū)間是.故選:C.6、B【解析】分和兩種情況討論,即可得出結(jié)果.【詳解】當時,顯然不成立.若時當時,,此時對數(shù),解得,根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)可知,要使在時恒成立,則有,如圖選B.【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用,熟記對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可,屬于??碱}型.7、A【解析】解一元二次不等式得或,再根據(jù)集合間的基本關(guān)系,即可得答案;【詳解】或,或,反之不成立,“”是“”的充分不必要條件,故選:A.8、C【解析】求出函數(shù)的定義域,由單調(diào)性求出a的范圍,再由函數(shù)在上有意義,列式計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為,,因在,上單調(diào),則函數(shù)在,上單調(diào),而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,必有函數(shù)在上單調(diào)遞減,而在上遞增,則在上遞減,于是得,解得,由,有意義得:,解得,因此,,所以實數(shù)的取值范圍是.故選:C9、B【解析】先計算出從數(shù)字中隨機取兩個不同的數(shù),共有種情況,再求出滿足為整數(shù)的情況,即可求出為整數(shù)的概率.【詳解】解:從數(shù)字中隨機取兩個不同的數(shù),則有種選法,有種選法,共有種情況;則滿足為整數(shù)的情況如下:當時,或有種情況;當時,有種情況;當或時,則不可能為整數(shù),故共有種情況,故為整數(shù)的概率是:.故選:B.10、C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為,則高為,母線長則,,,選C.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】由與對立可求出,再由與互斥,可得求解.【詳解】與對立,,與互斥,故答案為:.12、10【解析】將原函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程或的根,再作出函數(shù)y=f(x)的圖象,借助圖象即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的零點即方程的根,亦即或的根,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象和直線,如圖所示,觀察圖象得:函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸,直線各有5個交點,則方程有5個根,方程也有5個根,所以函數(shù)的零點有10個.故答案為:1013、①④.【解析】根據(jù)為定值,求出,再對題目中的命題分析、判斷正誤即可.【詳解】解:對于①,由為定值,所以,解得;由題意知時,單調(diào)遞減,所以單調(diào)遞增,即越大越費力,越小越省力;①正確.對于②,由題意知,的取值范圍是,所以②錯誤.對于③,當時,,所以,③錯誤.對于④,當時,,所以,④正確.綜上知,正確結(jié)論的序號是①④.故答案為:①④.【點睛】此題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查分析問題的能力,屬于中檔題14、【解析】設(shè)出該點的坐標,根據(jù)題意列方程組,從而求得該點到原點的距離【詳解】設(shè)該點的坐標是(x,y,z),∵該點到三個坐標軸的距離都是1,∴x2+y2=1,x2+z2=1,y2+z2=1,∴x2+y2+z2,∴該點到原點的距離是故答案為【點睛】本題考查了空間中點的坐標與應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題15、或【解析】分類討論解對數(shù)不等式即可.【詳解】因為,所以,當時,可得,當時,可得.所以或故答案為:或16、6【解析】先求圓心到直線的距離,再根據(jù)弦心距、半徑、弦長的幾何關(guān)系求|AB|.【詳解】因為圓心C(3,1)到直線的距離,所以故答案為:6三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)1;(Ⅱ)在上遞增,證明詳見解析;(Ⅲ)不存在.【解析】(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù),得到恒成立,即恒成立,進而得到,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)任取,且,根據(jù)題意,作差得到,進而可得出函數(shù)單調(diào)性;(Ⅲ)由(Ⅱ)知函數(shù)在上遞增,由函數(shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)在上遞減,再由題意,不等式恒成立可化為恒成立,即對任意的恒成立,根據(jù)判別式小于0,即可得出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)因為定義域為的函數(shù)是偶函數(shù),則恒成立,即,故恒成立,因為不可能恒為,所以當時,恒成立,而,所以(Ⅱ)該函數(shù)在上遞增,證明如下設(shè)任意,且,則,因為,所以,且;所以,即,即;故函數(shù)在上遞增(Ⅲ)由(Ⅱ)知函數(shù)在上遞增,而函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)在上遞減.若存在實數(shù),使得對任意的,不等式恒成立.則恒成立,即,即對任意的恒成立,則,得到,故,所以不存在【點睛】本主要考查由函數(shù)奇偶性求參數(shù),用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性,以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題,熟記函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義即可,屬于??碱}型.18、(1)為上的奇函數(shù);證明見解析(2)答案不唯一,具體見解析【解析】(1)利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可,(2)由題意可得,得,然后分和解不等式即可【小問1詳解】函數(shù)為奇函數(shù)證明:函數(shù)的定義域為,,即對任意恒成立.所以為上的奇函數(shù)【小問2詳解】由,得,即因為,,且,所以且由,即當,即時,解得當,即時,解得綜上,當時,不等式的解集為;當時,不等式的解集為19、(1);(2).【解析】(1)先求出w=π,再根據(jù)圖像求出,再求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.(2)先求出=,再利用數(shù)形結(jié)合求a的取值范圍.【詳解】(1)由題得.所以所以.令所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)將的圖像向右平移個單位得到,再將橫坐標伸長為原來的倍,得到函數(shù)=,若在上有兩個解,所以,所以所以所以a的取值范圍為.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求法和單調(diào)區(qū)間的求法,考查三角函數(shù)的圖像變換和三角方程的有解問題,考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.20、(1)1;(2)1.【解析】(1)根據(jù)和可得結(jié)果;(2)由得,將化為解得結(jié)果即可.【詳解】(1)因為a,b為正實數(shù),且,所以,即ab≥(當且僅當a=b時等號成立)因為(當且僅當a=b時等號成立),所以a2+b2的最小值為1.(2)因為,所以,因為,所以,即,所以(ab)2-2ab+1≤0,(ab-1)2≤0,
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