2018年中考數(shù)學試卷分類匯編 四邊形（菱形）

菱形

1、（綿陽市2018年）如圖，四邊形4靦是菱形,對角線力信8c如8廬6CR,力〃_48于點〃,

且DH與然交于G,則而=（B）

.28C.型如25

A.—cmB.—cmD.—cm

25201521

［解析］0A=4,OB=3,AB=5,△BDH^ABOA,

BD/AB=BH/OB=DH/OA,6/5=BH/3,BH=18/5,

A1I=AB-BII=5-18/5=7/5,AAGH^AABO,

GH/BO=AH/AO,GH/3-7/5/4,GH=21/20。

10題圖

2、（2018?曲靖）如圖，在nABCD中,對角線AC與BD相交于點0,過點0作EF±AC交BC

于點E,交AD于點F,連接AE、CF.則四邊形AECF是（)

C.菱形D.正方形

考點：菱形的判定；平行四邊形的性質.

分析：首先利用平行四邊形的性質得出AO=CO,ZAFO=ZCEO,進而得出△?1「（）也△CEO,再利

用平行四邊形和菱形的判定得出即可.

解答：解：四邊形AECF是菱形，

理由：?.?在S\BCD中，對角線AC與BD相交于點0,

.,.AO=CO,ZAF0=ZCE0,

...在aAFO和中

"ZAF0=ZCE0

，ZF0A=ZE0C>

,AO=CO

/.△AFO^ACEO（AAS）,

.?.FO=EO,

二四邊形AECF平行四邊形，

VEF±AC,

,平行四邊形AECF是菱形.

故選：C.

點評：此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的判定與性質，根據(jù)已知得出EO=FO是解

題關鍵.

3、（2018涼山州）如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的

周長為（）

A.14B.15C.16D.17

考點：菱形的性質；等邊三角形的判定與性質；正方形的性質.

分析：根據(jù)菱形得出AB=BC,得出等邊三角形ABC,求出AC,長，根據(jù)正方形的性質得出

AF=EF=EC=AC=4,求出即可.

解答：解：?.?四邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC,

VZB=60°,

?,.△ABC是等邊三角形，

.\AC=AB=4,

正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4X4=16,

故選C.

點評：本題考查了菱形性質，正方形性質，等邊三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出

AC的長.

4、（2012?瀘州）如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于0,若AC=6,BD=4,則菱形ABCD的

周長是（）

D

A.24B.16C.45/13D.2M

考點：菱形的性質；勾股定理.

分析：由菱形ABCD的兩條對角線相交于0,AC=6,BD=4,即可得ACLBD,求得0A與0B的

長，然后利用勾股定理，求得AB的長，繼而求得答案.

解答：解：???四邊形ABCD是菱形,AC=6,BD=4,

/.ACXBD,0A=AC=3,0B=BD=2,AB=BC=CD=AD,

.?.在RtZWB中，2-V13.

AB=^QA2+OB

???菱形的周長是：4AB=lV13.

故選C.

點評：此題考查了菱形的性質與勾股定理.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.

5、（2018菊澤）如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個鈍

角為120°的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應為（）

□

或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°

考點：剪紙問題.

分析：折痕為AC與BD,ZBAD=120°,根據(jù)菱形的性質：菱形的對角線平分對角，可得

ZABD=30°,易得NBAC=60°,所以剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應為30°或60°.

解答：解：???四邊形ABCD是菱形,

AZABD=ZABC,ZBAC=ZBAD,AD〃BC,

VZBAD=120",

/ABC=180°-ZBAD=180°-120°=60°,

AZABD=30°,ZBAC=60°.

，剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應為30°或60°.

故選D.

點評：此題主要考查菱形的判定以及折疊問題，關鍵是熟練掌握菱形的性質：菱形的對角線

平分每一組對角.

6、(2018?玉林)如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上作一個菱形.甲、乙兩人的作法如

下：

甲：連接AC,作AC的垂直平分線MN分別交AD,AC,BC于M,0,N,連接AN,CM,則四邊

形ANCM是菱形.

乙：分別作/A,NB的平分線AE,BF,分別交BC,AD于E,F,連接EF,則四邊形ABEF

是菱形.

根據(jù)兩人的作法可判斷()

考點：菱形的判定.

分析：首先證明AAOM絲ZSCON(ASA),可得MO=N(),再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行

四邊形可判定判定四邊形ANCM是平行四邊形，再由ACLMN,可根據(jù)對角線互相垂宜

的四邊形是菱形判定出ANCM是菱形；四邊形ABCD是平行四邊形，可根據(jù)角平分線的

定義和平行線的定義，求得AB=AF,所以四邊形ABEF是菱形.

解答：解：甲的作法正確；

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,

ZDAC=ZACN,

是AC的垂直平分線，

.".AO=CO,

'NMAO=NNCO

在△AOM和ACON中，AO=CO

,ZAOM=ZCON

.?.△AOM絲△CON(ASA),

.,.MO=NO,

四邊形ANCM是平行四邊形，

VAC±MN,

二四邊形ANCM是菱形；

乙的作法正確；

：AD〃BC,

，N1=N2,N6=/7,

YBF平分/ABC,AE平分/BAD,

N2=N3,/5=/6,

.*.Z1=Z3,Z5=Z7,

,?.AB=AF,AB=BE,

，AF=BE

VAF/ZBE,且AF=BE,

...四邊形ABEF是平行四邊形，

VAB=AE,

平行四邊形ABEF是菱形；

點評：此題主要考查了菱形形的判定，關鍵是掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊

相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱

形”）.

7、（2018年濰坊市）如圖，ABCD是對角線互相垂直的四邊形，且OB=OD,請你添加一個適

當?shù)臈l件使ABCD成為菱形.（只需添加一個即可）

答案：OA=OC或AD=BC或AD〃BC或AB=BC等

考點：菱形的判別方法.

點評：此題屬于開放題型，答案不唯一.主要考查了菱形的判定，關鍵是掌握菱形的判定定

理.

/）D

C

8、（2018?攀枝花）如圖，在菱形ABCD中，DELAB于點E,cosA=&BE=4,則tan/DBE的

考點：菱形的性質；解直角三角形.

分析：求出AD=AB,設AD=AB=5x,AE=3x,則5x-3x=4,求出x,得出AD=10,AE=6,在RtAADE

中，由勾股定理求出DE=8,在RtaBDE中得出tanNDBE=1?,代入求出即可,

BE

解答：解：；四邊形ABCD是菱形，

；.AD=AB,

VcosA=3,BE=4,DE1AB,

5

.?.設AD=AB=5x,AE=3x,

則5x-3x=4,

x=2,

HPAD=10,AE=6,

在RtAADE中，由勾股定理得：DE=.o2_

在RtZ\BDE中，tanNDBE=些92,

BE4

故答案為：2.

點評：本題考查了菱形的性質，勾股定理，解直角三角形的應用，關鍵是求出DE的長.

9、（2018年臨沂）如圖，菱形切中，AB=\,N8=6O",AEJ.BC,A尸_LCD,垂足分別

為E,F,連接EF,則的4AEF的面積是

答案：3#）

解析：依題可求得：ZBAD=120°,ZBAE=ZDAF

=30°,BE=DF=2,AE=AF=26,所以，三角

（第17題圖）

形AEF為等邊三角形，高為3,面積S=Lx3x2G=3g

2

10、（2018?泰州）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

考點：菱形的判定.

分析：菱形的判定定理有①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②對角線互相垂直的平行

四邊形是菱形，③四條邊都相等的四邊形是菱形，根據(jù)以上內容填上即可.

解答：解：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，

故答案為：垂直.

點評：本題考查了對菱形的判定的應用，注意：菱形的判定定理有①有一組鄰邊相等的平行

四邊形是菱形，②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，③四條邊都相等的四邊形是

菱形.

11、（2018年南京）如圖，將菱形紙片ABCD折迭，使點A恰好落在菱形的對稱中心。處，折

痕為EFo若菱形ABCD的邊長為2cm,NA=120。，則EF=cm。

答案：qr

解析：點A恰好落在菱形的對稱中心0處，如圖，P為A0中點，所以E為A職點，AE=1,

ZEA0=60°,EP=1g-,所以，即=小~

12、（2018?淮安）若菱形的兩條對角線分別為2和3,則此菱形的面積是3

考點：菱形的性質.

分析：菱形的面積是對角線乘積的一半，由此可得出結果即可.

解合：解：由題意，知：S?=lx2X3=3,

2

故答案為：3.

點評：本題考查了菱形的面積兩種求法：（1）利用底乘以相應底上的高；（2）利用菱形的特

殊性，菱形面積=lx兩條對角線的乘積：具體用哪種方法要看已知條件來選擇.

2

13、（2018?牡丹江）如圖，邊長為1的菱形ABCD中，ZDAB=60°.連結對角線AC,以AC

為邊作第二個菱形ACEF,使NFAC=60°.連結AE,再以AE為邊作第三個菱形AEGH使

NHAE=60°…按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長是_"".

考點：菱形的性質.

專題：規(guī)律型.

分析：連接DB于AC相交于M,根據(jù)已知和菱形的性質可分別求得AC,AE,AG的長，從而可

發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律不難求得第n個菱形的邊長.

解答：解：連接DB,

???四邊形ABCD是菱形，

.\AD=AB.AC1DB,

VZDAB-600,

...△ADB是等邊三角形，

：.DB=AD=1,

2

；.AM=近，

2

；.AC=V5，

同理可得AE=V^\C=（我）2,AG二技E=3后（V3）

按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為（畬）…，

故答案為（V3）

點評：此題主要考查菱形的性質、等邊三角形的判定和性質以及學生探索規(guī)律的能力.

14、（2018?寧夏）如圖，菱形0ABC的頂點0是原點，頂點B在y軸上，菱形的兩條對角線

（x<0）的圖象經過點C,則k的值為-6

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；菱形的性質.

專題：探究型.

分析：先根據(jù)菱形的性質求出C點坐標，再把C點坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可得出k

的值.

解答：解：；菱形的兩條對角線的長分別是6和4,

AA（-3,2）,

?.?點A在反比例函數(shù)丫=細圖象上，

X

解得k=-6.

-3

故答案為：-6.

點評：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，即反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定

適合此函數(shù)的解析式.

15、（2018?攀枝花）如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向aABC外作等邊

△ABD和等邊4ACE,F為AB的中點，DE與AB交于點G,EF與AC交于點H,ZACB=90°,

ZBAC=30°.給出如下結論:

①EFLAC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH=2BD

4

其中正確結論的為①③④（請將所有正確的序號都填上）.

考點：菱形的判定；等邊三角形的性質；含30度角的直角三角形.

分析：根據(jù)已知先判斷△ABC/4EFA,則NAEF=NBAC,得出EFJ_AC,由等邊三角形的性質

得出NBDF=30°,從而證得△DBF<△EFA,則AE=DF,再由FE=AB,得出四邊形ADFE

為平行四邊形而不是菱形，根據(jù)平行四邊形的性質得出AD=4AG,從而得到答案.

解答：解：:△ACE是等邊三角形，

AZEAC=60°,AE=AC,

VZBAC=30°,

AZFAE=ZACB=90°,AB=2BC,

???F為AB的中點，

???AB=2AF,

.\BC=AF,

AAABC^AEFA,

AFE=AB,

AZAEF=ZBAC=30°,

AEF1AC,故①正確，

VEF1AC,ZACB=90°,

???HF〃BC,

???F是AB的中點，

123

1A

2AB=BD,

134

故④說法正確;

VAD=BD,BF=AF,

???NDFB=90°,ZBDF=30°,

VZFAE=ZBAC+ZCAE=90°,

AZDFB=ZEAF,

VEF1AC,

/.ZAEF=30°,

JZBDF=ZAEF,

/.△DBF^AEFA(AAS),

AAE=DF,

VFE=AB,

???四邊形ADFE為平行四邊形,

VAE^EF,

???四邊形ADFE不是菱形；

故②說法不正確；

.?.AGJAF,

2

??.AGJAB,

4

VAD=AB,

則AD二％G,故③說法正確，

4

故答案為①③④.

點評：本題考查了菱形的判定和性質，以及全等三角形的判定和性質，解決本題需先根據(jù)己

知條件先判斷出一對全等三角形，然后按排除法來進行選擇.

16、（2018?內江）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8,M、N分別是邊BC、CD的中點,

P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值=5?

考點：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質.

分析：作M關于BD的對稱點Q,連接NQ,交BD于P,連接MP,此時MP+NP的值最小，連接

AC,求出0C、0B,根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.

作M關于BD的對稱點Q,連接NQ,交BD于P,連接MP,此時，MP+NP的值最小，連接

AC,

???四邊形ABCD是菱形，

.\AC±BD,/QBP=NMBP,

即Q在AB上，

VMQ1BD,

；.AC〃MQ,

VM為BC中點，

；.Q為AB中點,

,/N為CD中點，四邊形ABCI）是菱形，

ABQ//CD,BQ=CN,

四邊形BQNC是平行四邊形，

：.NQ=BC,

?.?四邊形ABCD是菱形，

.*.C0=AC=3,B0=BD=4,

在RtaBOC中，由勾股定理得：BC=5,

即NQ=5,

；.MP+NP=QP+NP=QN=5,

故答案為：5.

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，勾股定

理的應用，解此題的關鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置.

17、（2018?黔西南州）如圖所示，菱形ABCD的邊長為4,且AE±BC于E,AF±CD于F,NB=60°,

則菱形的面積為足.

考點：菱形的性質.

分析：根據(jù)已知條件解直角三角形ABE可求出AE的長，再由菱形的面積等于底X高計算即

可.

解答：解：???菱形ABCD的邊長為4,

.?.AB=BC=4,

VAEXBC-TE,ZB=600,

AB2

，菱形的面積=4X2行8，三，

故答案為8y.

點評：本題考查了菱形的性質：四邊相等以及特殊角的三角函數(shù)值和菱形面積公式的運用.

18、（2018?衢州）如圖，在菱形ABCD中，邊長為10,ZA=60°.順次連結菱形ABCD各邊

中點，可得四邊形ABCD：順次連結四邊形ABCD各邊中點，可得四邊形由B2C2D2；順次連

結四邊

形ABCD各邊中點，可得四邊形A3BGD3；按此規(guī)律繼續(xù)下去….則四邊形ABC2D2的周長

是20；四邊形AzOlsB2018c2018口2018的周長是——殳后.

—

-----------21005

考點：中點四邊形；菱形的性質.

專題：規(guī)律型.

分析：根據(jù)菱形的性質以及三角形中位線的性質以及勾股定理求出四邊形各邊長得出規(guī)律

求出即可.

解答：解：：菱形ABCD中，邊長為10,ZA=60°,順次連結菱形ABCD各邊中點，

...△AAD是等邊三角形，四邊形ABCD2是菱形，

AiDi=5>CiDi=AC=5^3，AzBpuCzD^CzB產A?D2=5,

二四邊形ABC4的周長是：5X4=20,

同理可得出：A近;=5X,C：1D3=AC=X5A/3-

AsDs=5X()2,CsDs=AC=()2X5V3-

四邊形A刈4刈疝。疝刈,的周長是：215+5近］咨叵

21006.OOS

故答案為：20,空坐.

21005

點評：此題主要考查了菱形的性質以及矩形的性質和中點四邊形的性質等知識，根據(jù)已知得

出邊長變化規(guī)律是解題關鍵.

19、(2018四川宜賓)如圖，在△46C中，N48090°,即為47的中線，過點C作第

于點發(fā)過點4作劭的平行線，交座的延長線于點R在〃'的延長線上截取陷劭，連接

BG、DF.若4CM3,訴6,則四邊形即方的周長為20

考點：菱形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

分析：首先可判斷四邊形％力是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，

可得BD=FD,則可判斷四邊形BGFD是菱形,設G戶x,則｛戶13-x,AC=2x,在RtlXACF

中利用勾股定理可求出x的值.

解答：解：'：AG//BD,BD=FG,

，四邊形8。。是平行四邊形，

■:CF1BD,

：.CFLAG,

又???點〃是”1中點，

：.BD-DI^AC,

.?.四邊形而7刃是菱形，

設上X,貝ij4fc13-x,AC=2x,

在心△/⑦中，A#+g心即(13-x)2+6=(2x)2,

解得：產5,

故四邊形Me的周長=4華20.

故答案為：20.

點評：本題考查了菱形的判定與性質、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質，解答本題

的關鍵是判斷出四邊形麗是菱形.

20、(2018?黃岡)如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點0,DH_LAB于H,連

接0H,求證：ZDH0=ZDC0.

考點：菱形的性質.3481324

專題：證明題.

分析：根據(jù)菱形的對角線互相平分可得0D=0B,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半可得0H=0B,然后根據(jù)等邊對等角求出/0HB=N0BH,根據(jù)兩直線平行，內錯角相

等求出N0BII=/0DC,然后根據(jù)等角的余角相等證明即可.

解答：證明：???四邊形ABCD是菱形，

/.OD=OB,ZC0D=90°,

VDH1AB,

.*.OH=OB,

ZOHB=ZOBH,

又；AB〃CD,

NOBH=NODC,

在RtZXCOD中，Z0DC+ZDC0=90°,

在RtZXGHB中，ZDH0+Z0HB=90°,

ZDH0=ZDC0.

點評：本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半的性質，以及等角的余角相等，熟記各性質并理清圖中角度的關系是解題的關鍵.

21、(2018?十堰)如圖，已知正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)的圖象交于點A(m,-2).

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)觀察圖象，直接寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍：

(3)若雙曲線上點C(2,n)沿0A方向平移依個單位長度得到點B,判斷四邊形OABC的

形狀并證明你的結論.

考點：反比例函數(shù)綜合題.

分析：(1)設反比例函數(shù)的解析式為y=X(k>0),然后根據(jù)條件求出A點坐標，再求出k

x

的值，進而求出反比例函數(shù)的解析式；

(2)直接由圖象得出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；

(3)首先求出0A的長度，結合題意CB〃OA且CB=遍，判斷出四邊形OABC是平行四

邊形，再證明OA=OC即可判定出四邊形OABC的形狀.

解答：解：(1)設反比例函數(shù)的解析式為y=K(k>0),

X

VA(m,-2)在y=2x上，

J-2=2m,

m=-1,

AA(-1,-2),

又；點A在y=X上，

X

Ak=-2,

反比例函數(shù)的解析式為y=2：

(2)觀察圖象可知正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍為-l<x

<0或x>l；

(3)四邊形0ABC是菱形.

證明：VA(-1,-2),

...oA=dm&,

由題意知：CB〃0A且CB=Jg,

.".CB=0A,

二四邊形0ABC是平行四邊形，

VC(2,n)在y=2匕

X

:.n=l,

AC(2,1),

℃=62+］安泥,

A0C=0A,

???四邊形OABC是菱形.

點評：本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函

數(shù)的性質以及菱形的判定定理，此題難度不大，是一道不錯的中考試題.

22、(2018年廣州市)如圖8,四邊形力頗是菱形，對角線4c與劭相交于。"廬5,434,

求劭的長.

分析：根據(jù)菱形的性質得出ACLBD,再利用勾股定理求出B0的長，即可得出答案

解：??,四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于0,

AAC1BD,DO=BO,

VAB=5,A0=4,

???B0=452-42=3,

；.BD=2B0=2X3=6.

點評：此題主要考查了菱形的性質以及勾股定理，根據(jù)已知得出

B0的長是解題關鍵

23、(2018?常州)如圖,在AABC中,AB=AC,ZB=60°,NFAC、NECA是△ABC的兩個外

角，AD平分NFAC,CD平分NECA.

求證：四邊形ABCD是菱形.

考點：菱形的判定.

專題：證明題.

分析：根據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用菱形的判定得出.

解答：證明：VZB=60°,AB=AC,

.?.△ABC為等邊三角形，

；.AB=BC,

/.ZACB=60°,

ZFAC=ZACE=120°,

.*.ZBAD=ZBCD=120°,

AZB=ZD=60°,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：AB=BC,

平行四邊形ABCD是菱形.

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質等內容，注意菱

形與平行四邊形的區(qū)別，得出AB=BC是解決問題的關鍵.

24、（2018?恩施州）如圖所示,在梯形ABCD中,AD〃BC,AB=CD,E、F、G、H分別為邊AB、

BC、CD、DA的中點，求證：四邊形EFGH為菱形.

考點：菱形的判定；梯形；中點四邊形.

專題：證明題.

分析：連接AC、BD,根據(jù)等腰梯形的對角線相等可得AC=BD,再根據(jù)三角形的中位線平行于

第三邊并且等于第三邊的一半求出EF=GH=%C,HE=FG=當D,從而得到EF=FG=GH=HE,

22

再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形判定即可.

解答：證明：如圖,連接AC、BD,

VAD/7BC,AB=CD,

；.AC=BD,

VE,F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點,

在aABC中，EF=1AC,

2

在△ADC中，GH=1AC,

2

.,.EF=GH=1AC,

2

同理可得，HE=FG=1BD,

2

；.EF=FG=GH=HE,

四邊形EFGH為菱形.

點評：本題考查了菱形的判定，等腰梯形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊并且

等于第三邊的一半，作輔助線是利用三角形中位線定理的關鍵，也是本題的難點.

25、(2018?宜昌)如圖，點E,F分別是銳角/A兩邊上的點，AE=AF,分別以點E,F為圓

心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D,連接DE,DF.

(1)請你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由；

(2)連接EF,若AE=8厘米，ZA=60°,求線段EF的長.

考點：菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質.

分析：(1)由AE=AF=ED=DF,根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF

是菱形；

(2)苜先連接EF,由AE=AF,ZA=60°,可證得4EAF是等邊三角形，則可求得線段

EF的長.

解答：解：(1)菱形.

理由：：根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF,

...四邊形AEDF是菱形;

(2)連接EF,

；AE=AF,/A=60°,

...△EAF是等邊三角形,

；.EF=AE=8厘米.

點評：此題考查了菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質.此題比較簡單，注意掌

握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用.

26、(2018?雅安)在nABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且AE=CF.

(1)求證：Z\ADE絲ZsCBF；

(2)若DF=BF,求證：四邊形DEBF為菱形.

考點：菱形的判定：全等三.角形的判定與性質；平行四邊形的性質.

專題：證明題.

分析：(1)首先根據(jù)平行四邊形的性質可得AI)=BC,ZA=ZC,再加上條件AE=CE可利用SAS

證明△ADEg^CBF：

(2)首先證明DF=BE,再加上條件AB〃CD可得四邊形DEBF是平行四邊形，又DF=FB,

可根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形證出結論.

解答：證明：(1)?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.\AD=BC,ZA=ZC,

?在aADE和△CBF中，

'AD=BC

，ZA=ZC-

AE=CF

/.△ADE^ACBF(SAS)；

(2)?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB/7CD,AB=CD,

VAE=CF,

/.DF=EB,

...四邊形DEBF是平行四邊形，

又；DF=FB,

...四邊形DEBF為菱形.

點評：此題主要考查「全等三角形的判定，以及菱形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定

定理，以及菱形的判定定理，平行四邊形的性質.

27、(2018?南寧)如圖，在菱形ABCD中，AC為對角線，點E、F分別是邊BC、AD的中點.

(1)求證：AABE絲ZXCDF；

(2)若NB=60°,AB=4,求線段AE的長.

考點：菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質.

分析：(1)首先根據(jù)菱形的性質，得到AB=BC=AD=CD,ZB=ZD,結合點E、F分別是邊BC、

AD的中點，即可證明出aABE絲△□)七

(2)首先證明出aABC是等邊三角形，結合題干條件在RtZ^AEB中，ZB=60°,AB=4,

即可求出AE的長.

解答：解：(1)???四邊形ABCD是菱形，

.?.AB=BC=AD=CD,NB=N1),

?.?點E、F分別是邊BC、AD的中點,

；.BE=DF,

在AABE和4CDF中，

'AB=CD

;NB=ND，

,BE=DF

/.△ABE^ACDF(SAS)；

(2)VZB=60°,

.,.△ABC是等邊三角形，

???點E是邊BC的中點，

.,.AE±BC,

在RtZ\AEB中，ZB=60°,AB=4,

sin60°=姆鯉，

AB4

解得AE=2我.

點評：本題主要考查菱形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的性質、全等三

角形的證明以及等邊三角形的性質，此題難度不大，是一道比較好的中考試題.

28、(2018安順)如圖，在ZkABC中,D、E分別是AB、AC的中點,BE=2DE,延長DE到點F,

使得EF=BE,連接CF.

(1)求證：四邊形BCFE是菱形；

(2)若CE=4,ZBCF=120°,求菱形BCFE的面積.

A

D.

BC

考點：菱形的判定與性質；三角形中位線定理.

分析：從所給的條件可知，DE是AABC中位線，所以DE〃BC且2DE=BC,所以BC和EF平行

且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因為BE=FE,所以是菱形；NBCF是120°,所

以NEBC為60°,所以菱形的邊長也為4,求出菱形的高面積就可求.

解答：(1)證明：??P、E分別是AB、AC的中點，

DE〃BC且2DE=BC,

又?；BE=2DE,EF=BE,

；.EF=BC,EF〃BC,

二四邊形BCFE是平行四邊形，

又：BE=FE,

四邊形BCFE是菱形；

(2)解：VZBCF=120°,

AZEBC=60°,

.,.△EBC是等邊三角形，

二菱形的邊長為4,高為2?,

二菱形的面積為4X2?=8?.

點評:本題考查菱形的判定和性質以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計算等知識點.

29、(2018?婁底)某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60°角

的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt^AEF繞A點按逆時針方

向旋轉角a(0°<a<90°),如圖(2),AE與BC交于點M,AC與EF交于點N,BC與EF

交于點P.

(1)求證：AM=AN；

(2)當旋轉角a=30°時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由.

考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定.

分析：(1)根據(jù)旋轉的性質得出AB=AF,ZBAM=ZFAN,進而得出aABM絲ZiAFN得出答案即

可；

(2)利用旋轉的性質得出NFAB=120°,ZFPC=ZB=60°,即可得出四邊形ABPF是

平行四邊形，再利用菱形的判定得出答案.

解答：(1)證明：???用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所

示位置放置放置，現(xiàn)將RtAAEF繞A點按逆時針方向旋轉角a(00<a<90°),

.?.AB=AF,NBAM=NFAN,

在aABM和AAFN中，

'NFAN=NBAM

,AB=AF-

ZB=ZF

/.△ABM^AAFN(ASA),

/.AM=AN；

(2)解：當旋轉角a=30°時，四邊形ABPF是菱形.

理由：連接AP,

VZa=30°,

AZFAN=30°,

.,.ZFAB=120",

VZB=60°,

；.AF〃BP,

二NF=/FPC=60°,

AZFPC=ZB=60°,

；.AB〃FP,

...四邊形ABPF是平行四邊形，

VAB=AF,

，平行四邊形ABPF是菱形.

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知識，根據(jù)

旋轉前后圖形大小不發(fā)生變化得出是解題關鍵.

30、(2018?株洲|)已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,對角線AC與BD交于

點0,過點0的直線EF交AD于點E,交BC于點F.

(1)求證：Z^AOE絲/XCOF；

(2)若NE0D=30°,求CE的長.

考點：菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；含30度角的直

角三角形；勾股定理.

分析：（1）根據(jù)菱形的對角線互相平分可得AO=CO,對邊平行可得AD〃BC,再利用兩直線

平行，內錯角相等可得/0AE=N0CF,然后利用“角邊角”證明AAOE和△COF全等；

（2）根據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出NDA0=30°,然后求出NAEF=90°,然后

求出A0的長，再求出EF的長，然后在RtACEF中，利用勾股定理列式計算即可得解.

解答：（1）證明：:四邊形ABCD是菱形，

.\AO=CO,AD//BC,

；./OAE=NOCF,

'NOAE=/OCF

在aAOE和△眈中，＜AO=CO，

,ZAOE=ZCOF

/.△AOE^ACOF（ASA）；

(2)解:?/ZBAD=60°,

.,.ZDAO=1ZBAD=1X6O°=30°,

22

VZE0D=30°,

：.ZA0E=90°-30°=60°,

.,.ZAEF=1800-ZBOD-ZA0E=180°-30°-60°=90°,

:菱形的邊長為2,NDA0=30°,

.*.0D=lw=lx2=l,

22

?*-AO=d-Fa，

.?.AE=CF=Cx亞&

22

?.?菱形的邊長為2,ZBAD=60°,

.,，高EF=2X喙仃

在RtaCEF中，管2+（炳）等.

點評：本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊

等于斜邊的一半的性質，勾股定理的應用，(2)求出4CEF是直角三角形是解題的關

鍵，也是難點.

31、(2018?蘇州)如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB

于點E,連接BP并延長交邊AD于點F,交CD的延長線于點G.

(1)求證：4APB絲

(2)已知DF：FA=1：2,設線段DP的長為x,線段PF的長為y.

①求y與x的函數(shù)關系式；

②當x=6時，求線段FG的長.

考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；菱形的性質.

分析：(1)根據(jù)菱形的性質得出/DAP=/PAB,AD=AB,再利用全等三角形的判定得出

△APB^AAPD；

(2)①首先證明4DFP絲4BEP,進而得出理=』，世上,進而得出】E-理，即一星三

AB2AB3PEEB2y

即可得出答案；

②根據(jù)①中所求得出PF=PE=4,DP=PB=6,進而得出近二理二工，求出即可.

BFAB2

解答：(1)證明：,??點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，

AZDAP=ZPAB,AD=AB,

?..在aAPB和AAPD中

'AD=AB

，ZDAP=ZPAB，

AP=AP

AAAPB^AAPD(SAS)；

(2)解：①?二△APB絲/XAPD,

；.DP=PB,ZADP=ZABP,

?.?在ADEP和ABEP中，

"ZFDP=ZEBP

，DP=BP，

,ZFPD=ZEPB

.?.△DFP絲ZXBEP(ASA),

.?.PF=PE,DF=BE,

：GD〃AB,

???DF_GD,

AFAB

VDF：FA=1：2,

...理』理工

"AB2AB3'

?理二旦

"BE2

???,-DP-,DGL*|Ju~n3_x

PEEB2y

；?y二&

3

②當x=6時，y=2x6=4,

3

APF=PE=4,DP=PB=6,

??GF—DG—1

BFAB2

?f^=l,

"IO2'

解得：FG=5,

故線段FG的長為5.

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，根據(jù)

平行關系得出典上廖工是解題關鍵.

AB2AB3

32、（2018聊城）如圖，AB是。。的直徑，AF是。0切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E,

過點C作DA的平行線與AF相交于點F,CD=4A石，BE=2.求證：（1）四邊形FADC是菱形；

（2）FC是。0的切線.

考點：切線的判定與性質；菱形的判定.

分析：（1）首先連接0C,由垂徑定理，可求得CE的長，又由勾股定理，可求得半徑0C的

長，然后由勾股定理求得AD的長，即可得AD=CD,易證得四邊形FADC是平行四邊形，繼而

證得四邊形FADC是菱形：

（2）苜先連接OF,易證得△AFOZZXCFO,繼而可證得FC是。。的切線.

解答：證明：（1）連接0C,

；AB是。0的直徑，CDXAB,

/.CE=DE=CD=X4后2愿，

設OC=x,

VBE=2,

:.OE=x-2,

在RtZiOCE中，OC2=OE2+CE2,

x2=(x-2)2+(2</3)",

解得：x=4,

；.0A=0C=4,0E=2,

：.AE=6,

在RSAED中，AD=iyAE2+[)E2=4V3,

；.AD=CD,

；AF是OO切線,

AAFIAB,

VCD±AB,

；.AF〃CD,

VCF/7AD,

四邊形FADC是平行四邊形，

.'.*=FADC是菱形；

(2)連接OF,

:四邊形FADC是菱形，

,*.FA=FC,

在△AFO和ACFO中，

rFA=FC

<OF=OF，

,OA=OC

.?.△AFO絲△CFO(SSS),

AZFC0=ZFA0=90",

即OC±FC,

?.?點C在。0上，

FC是。0的切線.

點評：此題考查了切線的判定與性質、菱形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理以及全等三

角形的判定與性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用.

33、（2018泰安）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一點，BE交AC于F,

連接DF.

（1）證明：ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE.

（2）若AB〃CD,試證明四邊形ABQ）是菱形：

（3）在（2）的條件下，試確定E點的位置，ZEFD=ZBCD,并說明理由.

考點：菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質.

分析：（1）首先利用SSS定理證明aABC^4ADC可得NBAC=/DAC,再證明aABF絲aADF,

可得NAFD=NAFB,進而得到NAFD=NCFE；

（2）首先證明/CAD=NACD,再根據(jù)等角對等邊可得AD=CD,再有條件AB=AD,CB=CD可得

AB=CB=CD=AD,可得四邊形ABCD是菱形；

（3）首先證明△BCF<ZXDCF可得/CBF=NCDF,再根據(jù)BELCD可得NBEC=/DEF=90°,進

而得到NEFD=NBCD.

AB=AD

解答：(1)證明：?.,在△ABC和△ADC中＜BC=DC，

,AC=AC

AAABC^AADC(SSS),

ZBAC=ZDAC,

'AB=AD

?.?在aABF和AADF中，ZBAF=ZDAF，

,AF=AF

.".△ABF^AADF,

，NAFD=NAFB,

ZAFB=ZAFE,

.\ZAFD=ZCFE；

(2)證明：VAB//CD,

ZBAC=ZACD,

又?.?/BAC=NDAC,

.*.ZCAD=ZACD,

.?,AD=CD,

VAB=AD,CB=CD,

...AB=CB=CD=AD,

四邊形ABCD是菱形；

(3)當EB_LCD時,ZEFD=ZBCD,

理由：；四邊形ABCD為菱形，

；.BC=CD,NBCF=/DCF,

'BC=CD

在ABCFWADCF中，ZBCF=ZDCF，

CFXF

.,.△BCF^ADCF(SAS),

.,.ZCBF=ZCDF,

VBE1CD,

.?.ZBEC=ZDEF=90",

.,.ZEFD-ZBCD.

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判

定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.

34、(2018?遂寧)如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE1AB,DF1BC,垂足分別是E、

F,并且DE=DF.求證：

(1)AADE^ACDF；

(2)四邊形ABCD是菱形.

考點：菱形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質.

專題：證明題.

分析：(1)首先根據(jù)平行四邊形的性質得出NA=NC,進而利用全等三角形的判定得出即可;

(2)根據(jù)菱形的判定得出即可.

解答：解：⑴VDE±AB,DF±BC

AZAED=ZCFD=90°,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形

/.ZA=ZC,

：在aAED和aCFD中

'/AED=/CFD

<ZA=ZC

.DE=DF

/.△AED^ACFD(AAS)；

（2）VAAED^ACFD,

.\AD=CD,

；四邊形ABCD是平行四邊形,

四邊形ABCD是菱形.

點評：此題主要考查J'菱形的性質和全等三角形的判定等知識，根據(jù)己知得出NA=/C是解

題關鍵.

35、（2018?舟山）某學校的校門是伸縮門（如圖1）,伸縮門中的每一行菱形有20個，每個

菱形邊長為30厘米.校門關閉時，每個菱形的銳角度數(shù)為60°（如圖2）；校門打開時，每

個菱形的銳角度數(shù)從60°縮小為10°（如圖3）.問：校門打開了多少米？（結果精確到1

米，參考數(shù)據(jù)：sin5°七0.0872,cos5°七0.9962,sinl0°七0.1736,coslO0^0.9848）.