2023中考數(shù)學(xué)08 一元二次方程的應(yīng)用（動態(tài)幾何問題）

專題08一元二次方程的應(yīng)用(動態(tài)幾何問題)

類型一三角形中的動態(tài)幾何問題

1.ABC中，4=90°,AB=5cm,5C=6cm，點P從點A開始沿邊A8向終點B以lc%/s

的速度移動，與此同時，點。從點8開始沿邊BC向終點C以2c7Ms的速度移動.如果點P、

。分別從點A、8同時出發(fā)，當(dāng)點。運動到點C時，兩點停止運動.設(shè)運動時間為f秒.

(1)填空：BQ=PB=(用含r的代數(shù)式表示)；

(2)是否存在f的值，使得△PBQ的面積等于4cm2?若存在，請求出此時f的值；若不存在，

請說明理由.

【答案】(1)2/,5-t

(2)存在，當(dāng)r=l時，△P8Q的面積等于4cm2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“路程=速度/時間”可表示出BQ、AP.再用A5-AP就可以求出PB即可；

(2)利用(1)的結(jié)論，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出/的值即可.

(1)

(1)由題意得：BQ=2t,AP=t,貝ijBP=5-AP=5-t.

故答案為:2/,5-t.

(2)

(3)存在.

由題意可得：△28。的面積為:8尸.8。=笑」,

laAPBQ的面積等于4c

團,解得：〃=i“=4(不符合題意，舍去)，

回當(dāng)/=1時，0PBC的面積等于4cm2.

【點睛】

本題考查了行程問題的運用、一元二次方程的解法、三角形面積公式的運用等知識點.在解

答時要注意所求的解的實際問題有意義成為解答本題的關(guān)鍵.

2.如圖，S48c是邊長為6cm的等邊三角形，動點P,Q同時從A,8兩點出發(fā)，分別沿

AB,BC勻速移動，它們的速度都是2cm/s，當(dāng)點尸到達點B時，P,。兩點都停止運動，

設(shè)點P的運動時間為rs,解答下列問題：

(1)求MBC的面積；

(2)當(dāng)r為何值時，SPBQ是直角三角形？

(3)是否存在t,使四邊形4PQC的面積是姐BC面積的!?若存在，求出r的值；若不存在，

請說明理由.

【答案】(1)9氐n?

⑵f=l或f=2

(3)不存在，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)過點A作/于點“，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得A8=3C=6cm,BM=3cm,

再利用勾股定理可得AM=3&m,然后利用三角形的面積公式即可得；

(2)分々。3=90。或N8PQ=90。兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)建立方程，解方

程即可得；

(3)假設(shè)存在某一時刻f,使四邊形APQC的面積是ABC面積的:,從而可得

SPBQ=3底底，過點。作Q"于點”，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得

HQ=6tcm,再利用三角形的面積公式建立方程，然后利用一元二次方程根的判別式進行

分析即可得出答案.

(1)

解：如圖，過點A作/W_L3C于點M,

MC為等邊三角形，且邊長為6cm,

AB=BC=6cm,BM=—BC=3cm

2

AM-yjAB2-BM2=3V3cm,

的面積為:8C-AM=gx6x3G=96(cm2).

⑵

解：由題意得：AP=2tcm,BQ=2tcm,

BP=AB-AP=(6-2r)cm,

ABC為等邊三角形，

.-.ZB=60°,

當(dāng)點尸到達點B時，”方=3(S),

貝Ijo<r?3,

①當(dāng)NPQ8=90。時，△PBQ是直角三角形，

N8PQ=90°-NB=30°,

:.BP=2BQ,即6-2r=2x2f,

解得7=1,符合題意；

②當(dāng)NBPQ=90。時，△尸8。是直角三角形，

ZPQB=90°-ZB=30°,

BQ=2BP,即〃=2(6-2，)，

解得t=2,符合題意，

綜上，當(dāng)f=l或f=2時，△PBQ是直角三角形.

(3)

解：不存在r,使四邊形APQC的面積是ABC面積的2;,理由如下：

假設(shè)存在某一時刻r,使四邊形APQC的面積是.ABC面積的;,

由(1)得：S"c=9&m2,

NHQB=90。-NB=30。,

BH=^BQ=tern,HQ=QBQ?-BH2=底cm,

:.SPBQ=^BP-HQ=^（6-2t）-y/3t=3y/3,

整理得：/-3f+3=0,

此方程根的判別式為A=9-4xlx3=-3<0,方程無解，

所以假設(shè)不成立，

即不存在，，使四邊形APQC的面積是A8C面積的2;.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含3"角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的

應(yīng)用等知識點，較難的是題（3）,正確建立關(guān)于時間r的方程是解題關(guān)鍵.

3.如圖所示，A,8,C,D為矩形的四個頂點，4B=16cm,AZ>8cm,動點P,Q分別從點

4，。同時出發(fā)，點尸以3cm/s的速度向8移動，一直到達8為止；點。以2cm/s的速度向

。移動.當(dāng)尸，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點Q的距離是10cm.（若一點到達終點，

另一點也隨之停止運動）（）

A.2s或二sB.ls或一sC.—sD.2s或一s

5555

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)當(dāng)P、。兩點從出發(fā)開始到x秒時點P和點0的距離是10cm此時AP=3xcm16-2%）

cm,利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)當(dāng)P、Q兩點從出發(fā)開始到xs時，點尸和點。的距離是10cm,此時4P=3xcm,DQ=

(16-2x)cm,

根據(jù)題意得:(16-2x-3x)2+82=102,

.22

解得:xi=2,x2=~,

22

答：當(dāng)P、Q兩點從出發(fā)開始到2s或5s時，點P和點。的距離是10cm.

故選：D.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，利用勾股定理找出關(guān)于x的一元二次方程是

解題的關(guān)鍵.

4.上午8點，某臺風(fēng)中心在A島正南方向100km處由南向北勻速移動，同時在A島正西方

向40加處有一艘補給船向4島勻速駛來，補給完后改變速度立即向A島正北方向的C港勻

速駛?cè)?，如圖所示是臺風(fēng)中心、補給船與A島的距離S和時間f的圖象.已知臺風(fēng)影響的半

徑是100切？(包含邊界)，請結(jié)合圖象解答下列問題：

中點尸的實際意義是；

(2)從幾點開始，補給船將受到臺風(fēng)的影響？

(3)設(shè)補給船駛出A島到駛到C港之前受到臺風(fēng)影響的時間為。小時，出于安全考慮，補

給船速度不超過100初?/〃、。＜1.求出圖中補給船航行時間，”的正整數(shù)值及此時補給船在

駛?cè)隒港之前受臺風(fēng)影響的總時間.

【答案】(1)20,60,補給船與臺風(fēng)中心分別在A島正北與正南方向，且到A島的距離相

13

等；(2)8點12分；(3)根=3,補給船在駛?cè)隒港之前受臺風(fēng)影響的總時間為6小時.

【解析】

【分析】

(1)首先根據(jù)圖像為臺風(fēng)中心、補給船與A島的距離S和時間r的圖象，臺風(fēng)在上午8點

距離A島lOOfon,即可得出線段OE為臺風(fēng)中心距寓A島的距離S和時間/的圖象；補給船

上午8點距離八島40km,即可得出線段尸G為補給船與A島的距離S和時間/的圖象，從

圖像獲取信息即可求得各自的速度；由題目可知，補給船到達A島后，還要去C港，此時

與臺風(fēng)的圖像相交，結(jié)合各自的速度，即可得出點P的實際意義；

(2)由臺風(fēng)影響的半徑是100的？(包含邊界)，即可畫出此情況下的圖形，利用勾股定理列

出方程，求解即可得出答案；

(3)根據(jù)補給船駛出A島到駛到C港之前受到臺風(fēng)影響的時間為a小時，即可列出方程,

解出a,根據(jù)題目要求，補給船速度不超過100?〃/?且,列出不等式，再根據(jù)，〃為正

整數(shù)，即可求出〃？；補給船受臺風(fēng)影響總時間為駛向C港受影響的時間加上駛向A島受影

響的時間，即可求得答案.

【詳解】

(1)由題分析得，線段。E為臺風(fēng)中心與A島之間的距離S與時間/的圖像，

13臺風(fēng)的速度v=F=20（加/〃）.

線段FG是補給船與A島的距寓S與時間/的圖像，

2

團補給船的速度v=40+§=60(癡/力，

回點P表示：補給船與臺風(fēng)中心分別在A島正北與正南方向，且到4島的距離相等；

(2)如圖所示開始受影響，即BH=\00km,

C

B—________

船、':”

\

\

、Ii

\

)臺風(fēng)中心

n

設(shè)/小時后補給船開始受臺風(fēng)影響，

貝=40-607,A”=100-20/,

在府中,由勾股定理得，

AB2+AH2=BH；

(40-60f-+(100-20fy=1002,

解得，4=：出=2(不合題意，舍去)，

回補給船出發(fā)(x60=12(分鐘)，開始受臺風(fēng)影響，

回從8點12分開始補給船開始受臺風(fēng)影響；

(3)由圖可得，補給船離開A島時，臺風(fēng)已經(jīng)移動了1小時，

臺風(fēng)中心距離A島的距離為：

100-20x1=80(M,

由圖可知，補給船離開A島駛向C港的路程為\20km，時間為,

故補給船離開A島駛向C港的速度為:一120(km/h),

回補給船駛出A島到駛到C港之前受到臺風(fēng)影響的時間為a小時，

團衛(wèi)4+80-20。=100,

m-\

egtn—1

解得,八k’

團。<1,

m-\<

0----<1,

1-m

由圖可知，初<5,

去分母得，“一1<7一犯

解得：zn<4,

又回補給船速度不超過100切〃力,

自衛(wèi)L100,

m-\

由圖可知，機>1，

去分母得，120W100("L1),

解得：m22.2,

團2.2W"?<4,

團機為正整數(shù),

0/n=3,

當(dāng)機=3,.=2=U=2=_L

1-m7-342

即補給船駛出4島到駛到C港之前受臺風(fēng)影響的時間為:〃，

在補給船出發(fā)駛向4島的過程中，有§力沒有受臺風(fēng)影響，

11B

回補給船在駛?cè)隒港之前受臺風(fēng)影響的總時間/=1-1+]=6?.

【點睛】

本題考查了從函數(shù)圖像獲取信息，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，解不等式組，解題關(guān)鍵

是正確理解題意，能從函數(shù)圖像中獲取需要信息進行求解.

5.如圖①，在矩形A8C。中，AB<AD,對角線AC,B3相交于點。，動點P由點A出

發(fā)，沿鉆fBefCD向點。運動設(shè)點p的運動路程為x,AOP的面積為y,y與云的函

數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則的長為.

AD

【答案】4

【解析】

【分析】

當(dāng)P點在AB上運動時，.AQP面積逐漸增大，當(dāng)P點到達B點時，結(jié)合圖象可得AOP面

積最大為3,得到AB與8c的積為12;當(dāng)尸點在8c上運動時，AOP面積逐漸減小，當(dāng)P

點到達C點時，AOP面積為0,此時結(jié)合圖象可知尸點運動路徑長為7,得到48與8C的

和為7,構(gòu)造關(guān)于A8的一元二方程可求解.

【詳解】

解：由圖象與題意知可知，當(dāng)尸點在A8上運動時，AOP面積逐漸增大，當(dāng)尸點到達8點

時，AOP面積最大為3,

0-AB-BC=3,即AB-BC=12.

22

當(dāng)尸點在BC上運動時，.AOP面積逐漸減小，當(dāng)P點到達C點時，AOP面積為0,此時

結(jié)合圖象可知尸點運動路徑長為7,

EM8+8c=7.

貝ij3c=7-AB，代入AB^C=12,得AB?-7AB+12=0,

解得Afi=4或AB=3,

0AB</W,SPAB<BC,

13AB=3,8c=4,

SAD=BC=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是分析三角形面積隨動點運動的變化過程,

找到分界點極值，結(jié)合圖象得到相關(guān)線段的具體數(shù)值.

類型二四邊形中的動態(tài)幾何問題

6.如圖，將邊長為4的正方形A8C。沿對角線AC剪開，再把0ABe沿著A。方向平移得到

姐EC,若兩個三角形重疊部分的面積為3,則它移動的距離A4等于一；移動的距離44

等于一時，兩個三角形重疊部分面積最大.

【答案】1cm或3cm##3cm或1cm2cm

【解析】

【分析】

如圖，設(shè)AC交A0于H,A'C交8于G,證明四邊形A7/CG是平行四邊形，證明△ATM是

等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，設(shè)A4'=xcm,則A"=x,A7)=4-x,再利

用面積公式建立方程，解方程即可，同時利用配方法求解面積最大值時的平移距離.

【詳解】

解：如圖，設(shè)AC交A'8'于"，AC交8于G,

由平移的性質(zhì)可得：AC//A'C',A'B'//CD,

四邊形A'"CG是平行四邊形，

由正方形ABC￡＞可得：ZA=45°,ZD=ZAA'H=90°,

.1△ATM是等腰直角三角形，

同理：也是等腰直角三角形，

設(shè)44'=xcm,則A"=x,A'D-4-x,

.\x(4-x)=3,

—4x+3=0,

x

解得：\=^,x2=3,

A4f=lcm或A4'=3cm

重疊部分的面積為：X(4-X)=-X2+4X=-(X-2)2+4,

當(dāng)x=2時，重疊部分的面積最大，最大面積為4cm2

所以當(dāng)A4'=2cm時，重疊部分的面積最大.

故答案為：1cm或3cm;2cm

【點睛】

本題考查的是正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，一元二次

方程的解法，配方法的應(yīng)用，平移的性質(zhì)，熟悉以上基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，矩形A8C。中，A8=2cm,BC=3cm，點E從點B沿BC以2cm/s的速度向點C

移動，同時點尸從點C沿CO以lcm/s的速度向點。移動，當(dāng)E,尸兩點中有一點到達終

點時，另一點也停止運動.當(dāng)她EF是以AF為底邊的等腰三角形時，求點E運動的時間.

AD

【解析】

【分析】

設(shè)點E運動的時間是r秒.根據(jù)題意可得方程，解方程即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)點E運動的時間是KS.

根據(jù)題意可得22+(2x)2=(3-2x)2+/,解這個方程得

XI=6-VaT,X2=6+y/n,

034-2=1.5(s),2+1=2(s),

回兩點運動了1.5s后停止運動.

=6-而.

答：當(dāng)是以A廠為底邊的等腰三角形時，點E運動的時間是(6-731)s.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理

的運用.

8.如圖，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=\2cm，點P從點A出發(fā)沿邊AB以lcm/s的

速度向點8移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿邊8c以2cm/s的速度向點C移動，當(dāng)點P運

動到點B后，運動停止，設(shè)運動時間為x(s).

(1)BP=cm,CQ=cm(用含x的式子表示);

⑵若PQ=4&cm時，求x的值；

(3)當(dāng)x為何值時，VOPQ將成為以。尸為斜邊的直角三角形.

【答案】(1)(6-%),(12-2x)

(2)③=0.4或&=2

(3)當(dāng)x為1.5或6時，VOPQ是以DP為斜邊的直角三角形

【解析】

【分析】

(1)直接根據(jù)P、。點運動方向和運動速度表示出答案；

(2)在放一尸3。中，根據(jù)勾股定理即可求出答案；

(3)表示出PQ2、和。尸，由勾股定理即可求出答案.

(1)

由題可得：AP=xcm,BQ=2xcm,

[?]BP=AB-AP=6-x(cm),CQ=BC-BQ=12-2x(crn)

故答案為:(6-x),(12-2x)；

(2)

在RtPBQ中,BP2+BQ2=尸。，即(6-x)2+(2x)2=(4立>,

解得：X=04或%=2；

(3)

Pg2=(6-x)2+(2x)2,DQ2=62+(12-2x)2,DP2=x2+122,

lavop。是以。尸為斜邊的直角三角形，

2(

0(6-x)+(2x)2+6?+12_2x>=X2+122,

解得：再=1.5或々=6,

回當(dāng)x為1.5或6時，VOPQ是以。尸為斜邊的直角三角形.

【點睛】

本題考查勾股定理的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，正確表示出三角形各邊的長度是解題的

關(guān)鍵.

三、解答題(共。分)

9.如圖，長方形A8CO中(長方形的對邊平行且相等，每個角都是90。)，A8=6cm,AD

=2cm,動點尸，Q分別從點A，。同時出發(fā)，點尸以2cm/s的速度向終點8移動，點。以

lcm/s的速度向點。移動，當(dāng)有一點到達終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動的時間為《s),

問：

(1)當(dāng)f=ls時，四邊形BCQP面積是多少？

(2)當(dāng)f為何值時，點P和點Q距離是3cm?

(3)當(dāng)t=s時，以點尸，。，。為頂點的三角形是等腰三角形.(直接寫出答案)

「人安土\[5/a\3+y/1t3->/1-6T—64-2\/33

【答案】(1)5cm-;(2)——；(3)F-或或4或——-——.

【解析】

【分析】

(I)當(dāng)日時，可以得出CQ=\cm,AP=2cm,就有PB=6-2=4(cm),由梯形的面積就可以

得出四邊形8CQP的面積；

(2)如圖l,作Q￡HAB于E,在Rt回尸E。中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如圖2,

作PE^CD于E,在RtSPEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；

(3)分情況討論，如圖3,當(dāng)PQ=DQ時，如圖4,當(dāng)PD=PQ時，如圖5,當(dāng)PD=QD時，

由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理建立方程就可以得出結(jié)論.

【詳解】

解：(I)如圖，回四邊形ABCD是矩形，

EL4B=CD=6,AD=BC=2,EL4=0B=HC=0D=90°.

0C(2=\cm,AP=2cm,

SAB=6.2=4(cm).

E1S=(+4)x2=5cm2

2

答：四邊形BCQP面積是5cm2;

(2)如圖1,作。的48于E,

團團8=回。=90°,

團四邊形8CQE是矩形，

團QE=BC-2cm,BE=CQ=t(cm).

^AP=2t(cm)t

團PE=6.2〃=(6.3r)an.

在RSPQE中，由勾股定理，得

(63/)2+4=9,

解得：r=注￡,

3

如圖2,作P￡QCD于E,

圖2

EGPEQ=90°.

00B=0C=9O",

回四邊形BCQE是矩形，

0PE=BC=2cm,BP=CE=6-2/.

&CQ=t,

團QE=/.(6-2/)=3/-6

在RIAPE。中，由勾股定理，得

(3r-6)2+4=9,

解得：：=處好.

3

綜上所述：/=三5或七5；

33

(3)如圖3,當(dāng)尸。=。。時，作QEa48于E,

團團尸EQ=90°,

團團8=團C=90°,

回四邊形8CQE是矩形，

^\QE=BC=2cm,BE=CQ=t(cm).

EL4P=2t,

0PE=6-2/.r=6.3r.DQ=6./.

^PQ=DQ,

團PQ=6-t.

在RtZkPQE中，由勾股定理，得

(6.31)2+4=(6])2,

解得：,=在也.

2

如圖4,當(dāng)P￡>=P。時，作PESDQ于E,

00A=0D=90°,

團四邊形APE。是矩形,

團尸石=AD=1cm.DE-AP=It,

回￡)Q=6-t,

解得:r=|;

如圖5,當(dāng)PO=QD時，

圖5

勖P=2f,CQ=t,

團。Q=6-t,

團尸。=6J.

在RtAAPD中，由勾股定理，得

4+4產(chǎn)=(6J)2,

解得〃=-6+2后?=-6-2相(舍去).

33

綜上所述：或三立或5或金漢11.

2253

故答案為：士!L或”-或*或-6+2底

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，梯形的面

積公式的運用，一元二次方程的解法的運用.解答時靈活運用動點問題的求解方法是關(guān)鍵.

10.如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=6cm，動點P、Q分別從點A、

C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止，點Q以2cm/s的速度向

D移動.

(1)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形APQD為長方形？

(2)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時？四邊形PBCQ的面積為33cm2;

(3)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時？點P和點Q的距離是10cm.

【答案】⑴P,Q兩點從出發(fā)開始到3.2秒時，四邊形APQD為長方形；⑵P,Q兩點從

出發(fā)開始到5秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2;(3)P,Q兩點從出發(fā)開始到1.6秒或4.8

秒時，點P和點Q的距離是10cm.

【解析】

【分析】

(I)當(dāng)PB=CQ時，四邊形PBCQ為矩形，依此建立方程求出即可；

(2)設(shè)P、Q兩點從出發(fā)開始到x秒時四邊形PBCQ的面積為33cm2,則PB=(16-3x)cm,

QC=2xcm,根據(jù)梯形的面積公式可列方程：；(16-3x+2x)x6=33,解方程可得解；

(3)作、￡團人8，垂足為E,設(shè)運動時間為x秒，用x表示線段長，用勾股定理列方程求解.

【詳解】

(I)設(shè)P,Q兩點從出發(fā)開始到x秒時，四邊形APQD為長方形，

根據(jù)題意得：16.3x=2x,

答：P,Q兩點從出發(fā)開始到二秒時，四邊形APQD為長方形.

(2)設(shè)P,Q兩點從出發(fā)開始到y(tǒng)秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2,

根據(jù)題意得：5/6(16.3x+2x)=33,

解得：x=5.

答：P,Q兩點從出發(fā)開始到5秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2.

(3)過點Q作QE0AB于點E,如圖所示.

設(shè)P,Q兩點從出發(fā)開始到x秒時，點P和點Q的距離是10cm,

根據(jù)題意得：(16.3x.2x)2+62=102,

整理得:(16■理產(chǎn)=82,

回824

解得