北京市育英學(xué)校2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

北京育英學(xué)校20192020學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期中試卷一、選擇題（本大題共12題，每小題5分，共計(jì)60分）1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交、補(bǔ)運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.命題對(duì)任意，都有的否定為（）A.對(duì)任意，都有 B.不存在，使得C.存在，使得 D.存在，使得【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)槊}對(duì)任意，都有，為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，故其否定為存在，使得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.3.已知集合，則“”是““的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，或．所以“”是“”的充分不必要條件．故A正確．考點(diǎn)：1充分必要條件；2集合間的關(guān)系．4.函數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函數(shù)要有意義，則需解析式有意義，分式的分母不為0即可.【詳解】要是函數(shù)有意義，則需，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域，屬于中檔題.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接代入函數(shù)解析式計(jì)算可得;【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是上的偶函數(shù)，可知函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，解出當(dāng)時(shí)的解，由函數(shù)圖像的對(duì)稱性，可知時(shí)，的解.【詳解】當(dāng)時(shí),，所以解得，由是上的偶函數(shù)知，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，的解為，綜上知，的解集為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)及圖象，屬于中檔題.8.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷可得；【詳解】解：因?yàn)?，定義域?yàn)椋谏蠟檫B續(xù)函數(shù)且為減函數(shù)，，所以，所以函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.下列各組函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域是否相同，對(duì)應(yīng)法則是否相同，判斷即可．【詳解】對(duì)于A：定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，定義域不相同，故不是同一函數(shù)，對(duì)于B：定義域?yàn)?，定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域相同，且函數(shù)關(guān)系式一樣，故是同一函數(shù)，對(duì)于C：定義域?yàn)?，定義域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域相同，但是函數(shù)關(guān)系式不相同，故不是同一函數(shù)，對(duì)于D：定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，定義域不相同，故不同一函數(shù)，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本知識(shí)，兩個(gè)函數(shù)相同的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．10.如圖，設(shè)有圓和定點(diǎn)，當(dāng)從開(kāi)始在平面上繞勻速旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角度不超過(guò)）時(shí)，它掃過(guò)的園內(nèi)陰影部分的面積時(shí)間的函數(shù)，它的圖象大致是如圖所示的四種情況中的哪一種？（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖象可以看出，陰影部分的面積一開(kāi)始增加得較慢，面積變化情況是先慢后快然后再變慢，由此規(guī)律找出正確選項(xiàng)【詳解】解：觀察可知陰影部分的面積變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知選項(xiàng)C符合要求，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的圖形得出直線掃過(guò)的陰影部分的面積變化規(guī)律，利用函數(shù)的思想找出正確答案，本題考查識(shí)圖的能力以及根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)模型的能力．11.已知函數(shù)滿足：①；②，則的值為（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得在上的最大值為，求出函數(shù)的對(duì)稱軸，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，得到關(guān)于的方程，解出即可．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)滿足：①；②，即函數(shù)在上的最大值為，因?yàn)椋瑢?duì)稱軸是，開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，在，遞增，在，遞減，故，解得：，不合題意，時(shí)，在，遞增，故，解得：，符合題意，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．12.已知關(guān)于的方程組：(其中)無(wú)解，則必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得方程無(wú)解，所以，且不同時(shí)為1，然后利用基本不等式可得答案【詳解】解：由方程組得，所以方程無(wú)解.所以當(dāng)，且不同時(shí)為1，其中，∴，即.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.二、解答題（本大題共3題，共計(jì)40分）13.已知全集，集合，（1）求集合（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分析可得，是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得，進(jìn)而可得可得答案．（2）根據(jù)，利用區(qū)間端點(diǎn)值建立不等關(guān)系，最后解不等式組即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）因?yàn)槿?，集合，所以或所以，即集合?）因?yàn)?，所以解得所以【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算，這類題目一般與不等式、方程聯(lián)系，難度不大，注意正確求解與分析集合間的關(guān)系即可，屬于基礎(chǔ)題．14.已知（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由.（2）求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（只需寫出結(jié)論）【答案】（1）非奇非偶函數(shù)；（2）證明見(jiàn)解析；（3）1個(gè)【解析】【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷；（2）按照定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可判斷；【詳解】解：（1）因?yàn)椋院瘮?shù)的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；（2）設(shè)且，因?yàn)榍?，所以，，所以所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）因?yàn)榈牧泓c(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出函數(shù)圖象，由圖可得，兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)的單調(diào)性的證明，以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.15.已知函數(shù).（1）求不等式的解集（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象（3）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）；（2）函數(shù)圖象見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）依題意將函數(shù)解析式寫出分段函數(shù)的形式，再分類討論，分別求出不等式的解集，最后取并集即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象即可；（3）結(jié)合函數(shù)圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再對(duì)參數(shù)分類討論，求出函數(shù)的最大值；【詳解】解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即解得當(dāng)時(shí)，即解得綜上可得（2）函數(shù)圖象如下所示：（3）由函數(shù)圖象可得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，，若即解得，即?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想，屬于中檔題.三、填空題（本大題共6題，每小題5分，共計(jì)30分.）16.已知關(guān)于的方程的解集為，則________【答案】【解析】【分析】直接利用韋達(dá)定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于方程的解集為所以、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.17.函數(shù)的零點(diǎn)是________【答案】，【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，令，分別求出所對(duì)應(yīng)的的值，即可得解；【詳解】解：因，令，當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)，，解得（舍去）或故函數(shù)的零點(diǎn)為，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.18.函數(shù)滿足下列條件：①函數(shù)的定義域?yàn)棰诤瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱③函數(shù)不是二次函數(shù).寫出一個(gè)函數(shù)的解析式：__________【答案】【解析】【分析】本題是一個(gè)開(kāi)放題，根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)即可；【詳解】解：依題意，函數(shù)滿足下列條件：①函數(shù)的定義域?yàn)棰诤瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱③函數(shù)不是二次函數(shù).故答案為：【點(diǎn)睛】本題屬于開(kāi)放題，只需找出符合題意的函數(shù)解析式即可，屬于基礎(chǔ)題.19.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．【詳解】解：是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，不等式，等價(jià)為，即，所以，即，即，解得即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．20.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)______（其中表示不大于的最大整數(shù)）【答案】【解析】【分析】由題設(shè)中的定義，可對(duì)分區(qū)間討論，設(shè)表示整數(shù)，綜合此四類即可得到函數(shù)的值域【詳解】解：設(shè)表示整數(shù)．①當(dāng)時(shí)，，．此時(shí)恒有．②當(dāng)時(shí)，，．此時(shí)恒有．③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒有④當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)恒有．綜上可知，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是新定義一個(gè)函數(shù)，根據(jù)所給的規(guī)則求函數(shù)的值域，求解的關(guān)鍵是理解所給的定義，一般從函數(shù)的解析式入手，要找出準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，理解表示數(shù)的整數(shù)部分，考察了分析理解，判斷推理的能力及分類討論的思想21.給定數(shù)集，對(duì)于任意，有且，則稱集合為閉集合．①集合為閉集合；②集合為閉集合；③若集合，為閉集合，則為閉集合；④若集合，為閉集合，且，，則存在，使得．其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】②【解析】分析】根據(jù)新定義的概念得出：①舉反例說(shuō)明命題錯(cuò)誤；②可以通過(guò)理論證明命題正確；③舉反例說(shuō)明命題錯(cuò)誤；④舉例說(shuō)明命題錯(cuò)誤．【詳解】解：①當(dāng)、時(shí)，，集合不是閉集合，命題錯(cuò)誤；②任取、，則，，、；，，同理，，是閉集合，命題正確；③，是閉集合，，是閉集合，且，，但，不是閉集合，命題錯(cuò)誤；④集合是閉集合，，是閉集合，且，，則，對(duì)于任意的，則，命題錯(cuò)誤．正確命題的序號(hào)是②．故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的集合與元素的判定問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)深刻理解新定義的概念，適當(dāng)?shù)膽?yīng)用反例說(shuō)明命題是否成立，屬于基礎(chǔ)題．四、創(chuàng)新題（本大題共1小題，共計(jì)20分）22.設(shè)函數(shù)的定義域分別為，且.若對(duì)于任意，都有，則稱是在上的一個(gè)延拓函數(shù).給定.（1）若是在上的延拓函數(shù)，且為奇函數(shù)，求的解析式.（2）設(shè)為在上的任意一個(gè)延拓函數(shù)，且是上的單調(diào)函數(shù)，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明.（3）在（2）的條件下，設(shè)，求證：（4）在（2）的條件下，求證：關(guān)于的不等式有解.【答案】（1）（2）函數(shù)是上的增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；（4）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）先求出，再求出，時(shí)的解析式，即可得出的解析式；（2）函數(shù)是，上的增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可求；（3）確定函數(shù)是，上的增函數(shù)，可得，同理可得：．將上述兩個(gè)不等式相加，并除以，即可得出結(jié)論．（4）取，滿足，記；由（3）知；同理可得，即可得證；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，由為奇函數(shù)，得．任取