高校工程數(shù)學(xué)變步長的梯形法則教學(xué)課件

§4.3變步長求積公式復(fù)化求積方法對提高精度是行之有效的，但是使用復(fù)化求積公式之前必須給出適宜的步長，步長取得太大精度難以保證，步長太小那么會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加，而事先給出一個(gè)恰當(dāng)?shù)牟接滞抢щy的。實(shí)際計(jì)算時(shí)通常采用變步長的求積方案，即在步長逐次折半〔或稱步長二分〕的過程中，反復(fù)利用復(fù)化的求積公式進(jìn)行計(jì)算，直到二分前后的兩次積分近似值相當(dāng)符合為止。變步長求積公式一、變步長的梯形法那么探討梯形法那么的變步長法那么計(jì)算規(guī)律：設(shè)將求積區(qū)間(a,b)分成n等分，那么一共有n+1個(gè)分點(diǎn)，按梯形公式(5)計(jì)算積分Tn〔對f調(diào)用n+1次〕。如果將各求積區(qū)間再二分一次，那么分點(diǎn)增至2n+1個(gè)，假設(shè)仍直接用梯形公式計(jì)算二分后的積分值T2n，將需要對f調(diào)用2n+1次。一、變步長的梯形法那么一、變步長的梯形法那么注意到T2n的全局部點(diǎn)當(dāng)中，有一半n+1個(gè)是二分前的原有分點(diǎn)，重復(fù)計(jì)算這些“老分點(diǎn)”上的函數(shù)值顯然是個(gè)浪費(fèi)。變步長的梯形法那么為了防止浪費(fèi)，將二分前后的兩個(gè)積分值聯(lián)系起來加以考察。注意到每個(gè)子區(qū)間(xk-1,xk)，經(jīng)過二分再增加一個(gè)新分點(diǎn)xk-1/2后，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為因此有整理得：變步長的梯形法那么再利用(5)式，得：這個(gè)式子的前一項(xiàng)Tn是二分前的積分值，在求T2n時(shí)可作為值使用，而它的后一項(xiàng)只涉及二分時(shí)新增加的分點(diǎn)xk-1/2，所要調(diào)用f的次數(shù)為n?？梢娺f推公式(9)由于防止了老結(jié)點(diǎn)的重復(fù)計(jì)算，而使計(jì)算量節(jié)約了一半。變步長梯形法那么的計(jì)算流程變步長梯形法那么的程序框圖變步長梯形法那么的算法框圖：其中T1和T2分別代表二分前后的積分值。各框的含義是：[框1]準(zhǔn)備初值。[框2]按遞推公式(9)求二分后的積分值。從第一個(gè)分點(diǎn)x=a+h/2出發(fā)，取h為步長逐步向右跨，即可依次確定公式(9)中的各個(gè)分點(diǎn)。圖中將所得到的分點(diǎn)暫存于單元x中。[框3]控制精度。[框4]修改步長。變步長梯形法那么舉例[例4-3-1]用變步長的梯形法那么計(jì)算積分值[解]先對整個(gè)區(qū)間(0,1)使用梯形公式。計(jì)算函數(shù)在端點(diǎn)的值f(0)=1,f(1)=0.8414710那么T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355將區(qū)間二等分，求中點(diǎn)的函數(shù)值f(1/2)=0.9588511[例4-3-1]按遞推公式(9)，得T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933進(jìn)一步二分求積區(qū)間，并計(jì)算新的分點(diǎn)上的函數(shù)f(1/4)=0.9896158f(3/4)=0.9088517再利用(9)式，得這樣不斷二分下去，計(jì)算結(jié)果列于表下表中。[例4-3-1]積分I*的實(shí)際值是0.9460831用變步長梯形法那么二分10次得到了這個(gè)結(jié)果。復(fù)化梯形公式和變步長法的比較復(fù)化梯形法變步長法計(jì)算T1時(shí)，b-a=1-0=1b-a=1-0=1T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355計(jì)算T2時(shí)，h=(b-a)/2=1/2h=b-a=1新增節(jié)點(diǎn)f

(1/2)=0.9588511

T2=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)]

T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933

=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933復(fù)化梯形公式和變步長法的比較復(fù)化梯形法變步長法計(jì)算T4時(shí)，h=(b-a)/2/2=1/4h=(b-a)/2=1/2新增節(jié)點(diǎn)f(1/2)=0.9588511

f(1/4)=0.9896158

f(1/4)=0.9896158f(3/4)=0.9088517

f(3/4)=0.9088517T4=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4)+2f(3/4)]T4=T2/2+h/2×[f(1/4)+f(3/4)]復(fù)化梯形公式和變步長法的比較復(fù)化梯形法變步長法計(jì)算T8時(shí)，h=(b-a)/2/2/2=1/8h=(b-a)/2/2=1/4新增節(jié)點(diǎn)f(1/2)=0.9588511

f(1/8)

f(1/4)=0.9896158f(3/4)=0.9088517

f(3/8)

f(1/8)

f(3/8)f(5/4)f(7/8)

f(5/8)

f(7/8)T8=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4)+2f(1/8)+2f(3/8)+2f(5/8)+2f(7/8)]T8=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4)

T8=T4/2+h/2×[f(1/8)+2f(3/4)]+f(3/8)+f(5/8)+