數(shù)學(xué)-第2部分 專項(xiàng)2

創(chuàng)新作(畫(huà))圖題是在一定情境下，將無(wú)刻度的直尺作為唯一的作圖工具，不能度量，結(jié)合運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)、基本定理、圖形變換等進(jìn)行分析、推理、歸納，尋找作圖依據(jù)，主要的作圖形式是找點(diǎn)、連線．創(chuàng)新作(畫(huà))圖題中的“創(chuàng)新”，不完全是指?jìng)鹘y(tǒng)的尺規(guī)作圖題，它既保留了尺規(guī)作圖嚴(yán)密邏輯推理的要求，同時(shí)還需要結(jié)合幾何推理，對(duì)所要作的圖形進(jìn)行作圖原理的推究和作圖方法的探索．常考題型·精講其主要涉及的知識(shí)點(diǎn)有：①線段的垂直平分線；②“三線合一”的性質(zhì)；③等腰直角三角形的性質(zhì)；④三角形面積的運(yùn)用；⑤特殊四邊形的性質(zhì)；⑥垂徑定理及其推論；⑦圓周角定理及其推論；⑧正多邊形的基本性質(zhì)．創(chuàng)新作(畫(huà))圖題解題策略：選定工具(一般只限定使用無(wú)刻度的直尺),循假求真、數(shù)形論證、變虛為實(shí)．

類型一在三角形中畫(huà)圖【類型特征】在三角形中畫(huà)圖，常見(jiàn)于以等腰三角形或等腰三角形與其他圖形組合為背景，用無(wú)刻度的直尺作(畫(huà))出符合要求的幾何圖形．【解題策略】在作圖中，常需從設(shè)問(wèn)出發(fā)，結(jié)合等腰三角形或等腰三角形與其他圖形組合所隱含的線段、角等的數(shù)量及位置關(guān)系找切入點(diǎn).在三角形中畫(huà)圖，要充分利用三角形的性質(zhì)，熟記一般三角形的性質(zhì)、三角形中重要線段的性質(zhì)及特殊三角形的相關(guān)性質(zhì)，如：(1)等腰三角形中兩腰相等，兩底角相等，三線合一性質(zhì)；(2)等邊三角形中所含的60°角或相等的邊，三線合一性質(zhì)；(3)直角三角形中互余角，斜邊中線性質(zhì)，30°，60°特殊角，等等；(4)熟記角平分線、中位線、中線、高線性質(zhì)，三角形三條角平分線(或高線或中線)必交于一點(diǎn)，以及垂直平分線可得到相等的線段、角和互余的角等．例1?解題思路關(guān)鍵抓住三角形的三條高、中線、角平分線相交于一點(diǎn)的特性，易畫(huà)兩線，再作第三線．【解答】(1)在答圖1中，連接BE，CD，兩線相交于點(diǎn)F，作射線AF，交BC于點(diǎn)M，則M為BC的中點(diǎn)．(2)在答圖2中，分別延長(zhǎng)BA，CD，兩線相交于點(diǎn)P，作射線PE，交BC于點(diǎn)F，則EF即為所求．(3)在答圖3中，易找出直角∠C的平分線上的一個(gè)格點(diǎn)，作∠C的平分線，交BD于點(diǎn)E，作射線AE，則射線AE即為所求．

類型二在四邊形中畫(huà)圖【類型特征】在四邊形或特殊四邊形中畫(huà)圖，常見(jiàn)于以四邊形、特殊四邊形以及與其他圖形組合為背景，用無(wú)刻度的直尺作(畫(huà))出符合要求的幾何圖形．【解題策略】在特殊四邊形中構(gòu)建特殊圖形的位置、形狀，用無(wú)刻度直尺作圖，一是準(zhǔn)確把握基本幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系；二是借助于背景圖形相關(guān)點(diǎn)、線、角及在基本圖形性質(zhì)、判定的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)作圖途徑、作圖方法，進(jìn)而醞釀與構(gòu)建有關(guān)圖形的位置、形狀、大小之間的內(nèi)在關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系．熟記平行四邊形、矩形、菱形、正方形的基本性質(zhì)．在特殊四邊形中，將特殊四邊形的面積進(jìn)行大小一樣的分割，關(guān)鍵是作出對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)的任意一條直線都可將圖形面積平分；作出與原圖形面積相等的圖形，利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的方法．例2?解題思路1．由于平行四邊形的一個(gè)特性是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)，因此抓住這一特性往往是解答這一類型的法寶．2．分別掌握矩形，菱形，正方形三者特性，特別是矩形與菱形的區(qū)別．3．在圖1中，第一步：連接兩對(duì)角線AC，BD，得到交點(diǎn)O；第二步：分別連接EO，F(xiàn)O，并延長(zhǎng)與對(duì)邊分別交于G，H，則G，H分別是CD，BC的中點(diǎn)，因?yàn)榫匦蔚闹悬c(diǎn)四邊形是菱形，所以四邊形EFGH即為所求．4．在圖2中，第一步與(1)相同；第二步：延長(zhǎng)AE交CD于G；第三步：連接GO并延長(zhǎng)交AB于H；第四步：連接CH交BD于F，則四邊形AECF即為所求．【解答】(1)如圖1，四邊形EFGH即為所求．(2)如圖2，四邊形AECF即為所求．

類型三在多邊形中畫(huà)圖【類型特征】在多邊形中畫(huà)圖，常見(jiàn)于以正多邊形為背景，用無(wú)刻度的直尺作(畫(huà))出符合要求的幾何圖形．【解題策略】在作圖中，常需從設(shè)問(wèn)出發(fā)，結(jié)合正多邊形所隱含的線段、角等的數(shù)量及位置關(guān)系找切入點(diǎn).熟記正多邊形的基本性質(zhì)，在正多邊形中畫(huà)圖常利用正多邊形的對(duì)稱性進(jìn)行作圖．(1)正奇邊形如圖1中的正七邊形中的平行線段、相等線段：BG∥CF∥DE，同理AC∥DG∥EF(其他略)；BM＝AM，MG＝MC＝CN＝NG(菱形性質(zhì))．注：其他正奇邊形可類推．(2)正偶邊形如圖2中的正六邊形中的平行線段、相等線段：AF∥BE∥CD，AC∥DF(其他略)；AC＝FD，AF＝MN＝CD(其他略)．注：其他正偶邊形可類推．例3

?解題思路第一步：連接BD，DF，F(xiàn)H，HB，由原圖形為正八邊形，得到各邊相等，各內(nèi)角相等，可得△BCD，△DEF，△FGH，△ABH全等，進(jìn)而得到四邊形BDFH四邊相等，利用等邊對(duì)等角以及正八邊形的內(nèi)角，確定出四邊形BDFH四個(gè)角都為直角，可得出四邊形BDFH即為所求正方形；第二步：先作出各邊的中點(diǎn)，再依次連接原正八邊形ABCDEFGH的各邊中點(diǎn)，依次得到四周小三角形全等，得到的新八邊形各邊相等，再利用等邊對(duì)等角以及正八邊形的內(nèi)角，確定出八邊形八個(gè)角都相等，可得所求正八邊形．【解答】(1)如圖1，連接BD，DF，F(xiàn)H，HB，四邊形BDFH即為所求正方形．(2)如圖2，依次連接原正八邊形ABCDEFGH的各邊中點(diǎn)，可得所求正八邊形．

類型四在網(wǎng)格中畫(huà)圖【類型特征】在網(wǎng)格中畫(huà)圖，常見(jiàn)于以網(wǎng)格或坐標(biāo)為背景，用無(wú)刻度的直尺作(畫(huà))出符合要求的中點(diǎn)、分點(diǎn)、等腰三角形、平行四邊形、正方形、菱形以及矩形等幾何圖形．【解題策略】常見(jiàn)的網(wǎng)格有正方形網(wǎng)格、等邊三角形網(wǎng)格、菱形網(wǎng)格、矩形網(wǎng)格，需熟記：(1)以特殊四邊形為基本單元的網(wǎng)格中的特殊存在條件——對(duì)角線特征，如正方形連接對(duì)角線可得到45°角、等腰直角三角形、垂直線段等；菱形連接對(duì)角線可得到垂直線段；矩形連接對(duì)角線可得到相等線段．(2)等邊三角形網(wǎng)格需注意60°角及“三線合一”性質(zhì)的運(yùn)用．在網(wǎng)格作圖中，可將網(wǎng)格看作一系列有刻度的幾何圖形的組合，利用特殊圖形的性質(zhì)，尋找相等線段、相等角，構(gòu)造全等三角形，利用等積(面積等底等高、同底等高)轉(zhuǎn)化思想找到切入點(diǎn).解決此類題的關(guān)鍵是把握網(wǎng)格或坐標(biāo)特征：各格點(diǎn)之間的距離可能為正整數(shù)，也可能為無(wú)理數(shù)，借助勾股定理的逆定理構(gòu)建直角三角形等，醞釀與構(gòu)建相關(guān)圖形的形狀、位置及大?。?(1)在圖1中，以AB為邊作一個(gè)正方形ABCD；(2)在圖2中，以AB為邊作一個(gè)面積為5的矩形ABCD．?解題思路第一步：利用“弦圖”在網(wǎng)格中可以作已知格點(diǎn)線段的①垂線；②相等的格點(diǎn)線段，這樣就很容易畫(huà)格點(diǎn)正方形ABCD；第二步：在(1)的基礎(chǔ)上，由于正方形ABCD的面積為10，所以只要作出正方形一組對(duì)邊的中點(diǎn)即可以得到所要求的矩形．【解答】(1)如圖1，正方形ABCD即為所求．(2)如圖2，矩形ABCD即為所求．類型五在圓中畫(huà)圖【類型特征】在圓中畫(huà)圖，常見(jiàn)于以圓為背景，用無(wú)刻度的直尺作(畫(huà))出符合要求的幾何圖形．【解題策略】在圓中畫(huà)圖應(yīng)立足圓的軸對(duì)稱性、垂徑定理及推論等基本性質(zhì)，借助有關(guān)圓心角、圓周角、弧之間的關(guān)系構(gòu)建有關(guān)點(diǎn)、線、圖形之間的特殊形狀、位置及大小關(guān)系．

在圓中作(畫(huà))圖應(yīng)熟練運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)：(1)要作互余的角或者垂直關(guān)系想到直徑所對(duì)的圓周角是90°；(2)要作相等的角想到在同圓或等圓中同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；(3)作圓心要想到找90°的圓周角并連線作直徑，兩條直徑的交點(diǎn)即是圓心；(4)作平分線段的點(diǎn)，想到垂徑定理，利用垂直于弦的直徑平分弦．那么怎么作垂直？若已知劣弧中點(diǎn)和圓心，則這兩點(diǎn)連線與劣弧所對(duì)弦的交點(diǎn)即為所求；或已知切點(diǎn)和圓心，則這兩點(diǎn)連線(并延長(zhǎng))與劣弧所對(duì)弦的交點(diǎn)即為所求．(注：作圓外一點(diǎn)到圓的一條直徑的垂線想到三角形三條高線交于一點(diǎn)且直徑兩端點(diǎn)及圓上任意一點(diǎn)連線即有垂線)；(5)將三角形的面積