數學-第2部分 專項2

創(chuàng)新作(畫)圖題是在一定情境下，將無刻度的直尺作為唯一的作圖工具，不能度量，結合運用圖形的幾何性質、基本定理、圖形變換等進行分析、推理、歸納，尋找作圖依據，主要的作圖形式是找點、連線．創(chuàng)新作(畫)圖題中的“創(chuàng)新”，不完全是指傳統的尺規(guī)作圖題，它既保留了尺規(guī)作圖嚴密邏輯推理的要求，同時還需要結合幾何推理，對所要作的圖形進行作圖原理的推究和作圖方法的探索．?？碱}型·精講其主要涉及的知識點有：①線段的垂直平分線；②“三線合一”的性質；③等腰直角三角形的性質；④三角形面積的運用；⑤特殊四邊形的性質；⑥垂徑定理及其推論；⑦圓周角定理及其推論；⑧正多邊形的基本性質．創(chuàng)新作(畫)圖題解題策略：選定工具(一般只限定使用無刻度的直尺),循假求真、數形論證、變虛為實．

類型一在三角形中畫圖【類型特征】在三角形中畫圖，常見于以等腰三角形或等腰三角形與其他圖形組合為背景，用無刻度的直尺作(畫)出符合要求的幾何圖形．【解題策略】在作圖中，常需從設問出發(fā)，結合等腰三角形或等腰三角形與其他圖形組合所隱含的線段、角等的數量及位置關系找切入點.在三角形中畫圖，要充分利用三角形的性質，熟記一般三角形的性質、三角形中重要線段的性質及特殊三角形的相關性質，如：(1)等腰三角形中兩腰相等，兩底角相等，三線合一性質；(2)等邊三角形中所含的60°角或相等的邊，三線合一性質；(3)直角三角形中互余角，斜邊中線性質，30°，60°特殊角，等等；(4)熟記角平分線、中位線、中線、高線性質，三角形三條角平分線(或高線或中線)必交于一點，以及垂直平分線可得到相等的線段、角和互余的角等．例1?解題思路關鍵抓住三角形的三條高、中線、角平分線相交于一點的特性，易畫兩線，再作第三線．【解答】(1)在答圖1中，連接BE，CD，兩線相交于點F，作射線AF，交BC于點M，則M為BC的中點．(2)在答圖2中，分別延長BA，CD，兩線相交于點P，作射線PE，交BC于點F，則EF即為所求．(3)在答圖3中，易找出直角∠C的平分線上的一個格點，作∠C的平分線，交BD于點E，作射線AE，則射線AE即為所求．

類型二在四邊形中畫圖【類型特征】在四邊形或特殊四邊形中畫圖，常見于以四邊形、特殊四邊形以及與其他圖形組合為背景，用無刻度的直尺作(畫)出符合要求的幾何圖形．【解題策略】在特殊四邊形中構建特殊圖形的位置、形狀，用無刻度直尺作圖，一是準確把握基本幾何圖形的形狀、大小、位置關系；二是借助于背景圖形相關點、線、角及在基本圖形性質、判定的基礎上發(fā)現作圖途徑、作圖方法，進而醞釀與構建有關圖形的位置、形狀、大小之間的內在關系、結構關系．熟記平行四邊形、矩形、菱形、正方形的基本性質．在特殊四邊形中，將特殊四邊形的面積進行大小一樣的分割，關鍵是作出對角線的交點，過該點的任意一條直線都可將圖形面積平分；作出與原圖形面積相等的圖形，利用等底等高的兩個三角形面積相等的方法．例2?解題思路1．由于平行四邊形的一個特性是中心對稱圖形，對稱中心為對角線的交點，因此抓住這一特性往往是解答這一類型的法寶．2．分別掌握矩形，菱形，正方形三者特性，特別是矩形與菱形的區(qū)別．3．在圖1中，第一步：連接兩對角線AC，BD，得到交點O；第二步：分別連接EO，FO，并延長與對邊分別交于G，H，則G，H分別是CD，BC的中點，因為矩形的中點四邊形是菱形，所以四邊形EFGH即為所求．4．在圖2中，第一步與(1)相同；第二步：延長AE交CD于G；第三步：連接GO并延長交AB于H；第四步：連接CH交BD于F，則四邊形AECF即為所求．【解答】(1)如圖1，四邊形EFGH即為所求．(2)如圖2，四邊形AECF即為所求．

類型三在多邊形中畫圖【類型特征】在多邊形中畫圖，常見于以正多邊形為背景，用無刻度的直尺作(畫)出符合要求的幾何圖形．【解題策略】在作圖中，常需從設問出發(fā)，結合正多邊形所隱含的線段、角等的數量及位置關系找切入點.熟記正多邊形的基本性質，在正多邊形中畫圖常利用正多邊形的對稱性進行作圖．(1)正奇邊形如圖1中的正七邊形中的平行線段、相等線段：BG∥CF∥DE，同理AC∥DG∥EF(其他略)；BM＝AM，MG＝MC＝CN＝NG(菱形性質)．注：其他正奇邊形可類推．(2)正偶邊形如圖2中的正六邊形中的平行線段、相等線段：AF∥BE∥CD，AC∥DF(其他略)；AC＝FD，AF＝MN＝CD(其他略)．注：其他正偶邊形可類推．例3

?解題思路第一步：連接BD，DF，FH，HB，由原圖形為正八邊形，得到各邊相等，各內角相等，可得△BCD，△DEF，△FGH，△ABH全等，進而得到四邊形BDFH四邊相等，利用等邊對等角以及正八邊形的內角，確定出四邊形BDFH四個角都為直角，可得出四邊形BDFH即為所求正方形；第二步：先作出各邊的中點，再依次連接原正八邊形ABCDEFGH的各邊中點，依次得到四周小三角形全等，得到的新八邊形各邊相等，再利用等邊對等角以及正八邊形的內角，確定出八邊形八個角都相等，可得所求正八邊形．【解答】(1)如圖1，連接BD，DF，FH，HB，四邊形BDFH即為所求正方形．(2)如圖2，依次連接原正八邊形ABCDEFGH的各邊中點，可得所求正八邊形．

類型四在網格中畫圖【類型特征】在網格中畫圖，常見于以網格或坐標為背景，用無刻度的直尺作(畫)出符合要求的中點、分點、等腰三角形、平行四邊形、正方形、菱形以及矩形等幾何圖形．【解題策略】常見的網格有正方形網格、等邊三角形網格、菱形網格、矩形網格，需熟記：(1)以特殊四邊形為基本單元的網格中的特殊存在條件——對角線特征，如正方形連接對角線可得到45°角、等腰直角三角形、垂直線段等；菱形連接對角線可得到垂直線段；矩形連接對角線可得到相等線段．(2)等邊三角形網格需注意60°角及“三線合一”性質的運用．在網格作圖中，可將網格看作一系列有刻度的幾何圖形的組合，利用特殊圖形的性質，尋找相等線段、相等角，構造全等三角形，利用等積(面積等底等高、同底等高)轉化思想找到切入點.解決此類題的關鍵是把握網格或坐標特征：各格點之間的距離可能為正整數，也可能為無理數，借助勾股定理的逆定理構建直角三角形等，醞釀與構建相關圖形的形狀、位置及大?。?(1)在圖1中，以AB為邊作一個正方形ABCD；(2)在圖2中，以AB為邊作一個面積為5的矩形ABCD．?解題思路第一步：利用“弦圖”在網格中可以作已知格點線段的①垂線；②相等的格點線段，這樣就很容易畫格點正方形ABCD；第二步：在(1)的基礎上，由于正方形ABCD的面積為10，所以只要作出正方形一組對邊的中點即可以得到所要求的矩形．【解答】(1)如圖1，正方形ABCD即為所求．(2)如圖2，矩形ABCD即為所求．類型五在圓中畫圖【類型特征】在圓中畫圖，常見于以圓為背景，用無刻度的直尺作(畫)出符合要求的幾何圖形．【解題策略】在圓中畫圖應立足圓的軸對稱性、垂徑定理及推論等基本性質，借助有關圓心角、圓周角、弧之間的關系構建有關點、線、圖形之間的特殊形狀、位置及大小關系．

在圓中作(畫)圖應熟練運用圓的有關性質：(1)要作互余的角或者垂直關系想到直徑所對的圓周角是90°；(2)要作相等的角想到在同圓或等圓中同弧或等弧所對的圓周角相等；(3)作圓心要想到找90°的圓周角并連線作直徑，兩條直徑的交點即是圓心；(4)作平分線段的點，想到垂徑定理，利用垂直于弦的直徑平分弦．那么怎么作垂直？若已知劣弧中點和圓心，則這兩點連線與劣弧所對弦的交點即為所求；或已知切點和圓心，則這兩點連線(并延長)與劣弧所對弦的交點即為所求．(注：作圓外一點到圓的一條直徑的垂線想到三角形三條高線交于一點且直徑兩端點及圓上任意一點連線即有垂線)；(5)將三角形的面積