高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十九）直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 理（含解析）蘇教版-蘇教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十九）直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：依題意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β.因此“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件．答案：充分不必要2．在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是________．解析：過A作AH⊥BD于H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，則AH⊥BC，又DA⊥平面ABC，所以BC⊥DA，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC為直角三角形．答案：直角三角形3．已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當(dāng)滿足條件________時(shí)，有m⊥β.(填所選條件的序號(hào))解析：若m⊥α，α∥β，則m⊥β.故填②④.答案：②④4．一平面垂直于另一平面的一條平行線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是________．解析：由線面平行的性質(zhì)定理知，該面必有一直線與已知直線平行．再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面，另一條也垂直于該平面”得出兩個(gè)平面垂直．答案：垂直5．(2018·常州期中)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，若平面A1B1CD⊥平面AEP，則線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是________．解析：連結(jié)BC1，易得BC1⊥平面A1B1CD，要滿足題意，只需EP∥BC1即可．取CC1的中點(diǎn)為F，則EF∥BC1，故P在線段EF上(不含端點(diǎn))．∵AE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，AF＝eq\r(22＋22＋12)＝3，∴線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是(eq\r(5)，3)．答案：(eq\r(5)，3)6．如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號(hào)是________．解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正確，②AE⊥PC，AE⊥BC，PB?平面PBC?AE⊥PB，又AF⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正確，③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故③錯(cuò)誤，由①可知④正確．答案：①②④二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．(2019·鹽城中學(xué)測(cè)試)已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題的個(gè)數(shù)為________．解析：若α，β?lián)Q為直線a，b，則命題化為“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命題為真命題；若α，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命題為假命題；若β，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命題為真命題．答案：22．(2018·徐州期中)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，在四面體ABCD的其他面中，與平面ADC垂直的平面為________(寫出滿足條件的所有平面)．解析：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，可得∠BDC＝90°，即BD⊥CD.∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，又CD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面ABD；假設(shè)平面ADC⊥平面BCD，∵BD⊥CD，且平面ADC∩平面BCD＝CD，∴BD⊥平面ADC，則BD⊥AD，與∠ADB＝45°矛盾；∵CD⊥平面ABD，AB?平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，且AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.∴在四面體ABCD的其他面中，與平面ADC垂直的平面為平面ABD，平面ABC.答案：平面ABD，平面ABC.3．已知正△ABC的邊長(zhǎng)為2cm，PA⊥平面ABC，A為垂足，且PA＝2cm，那么點(diǎn)P到BC的距離為________cm.解析：如圖，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，PD，則BC⊥AD，又因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAD，所以PD⊥BC，則PD的長(zhǎng)度即為點(diǎn)P到BC的距離．在Rt△PAD中，PA＝2，AD＝eq\r(3)，可得PD＝eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7).答案：eq\r(7)4．(2018·連云港期末)已知四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，當(dāng)平行四邊形ABCD滿足條件____________時(shí)，有PC⊥BD(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可)．解析：∵四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴PC⊥BD.答案：四邊形ABCD是菱形5．已知直線a和兩個(gè)不同的平面α，β，且a⊥α，a∥β，則α，β的位置關(guān)系是________．解析：記b?β且a∥b，因?yàn)閍∥b，a⊥α，所以b⊥α，因?yàn)閎?β，所以α⊥β.答案：垂直6．如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有____________；與AP垂直的直線有________．解析：因?yàn)镻C⊥平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC.因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因?yàn)锳P?平面PAC，所以AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，ACAB7．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D-ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的是________(填序號(hào))．解析：由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯(cuò)誤．答案：①②③8．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長(zhǎng)為________．解析：設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝h×eq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).即線段B1F的長(zhǎng)為eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．(2018·海安中學(xué)測(cè)試)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC，PB＝PD＝eq\r(2)AC，E是PD的中點(diǎn)，求證：(1)PB∥平面ACE；(2)平面PAC⊥平面ABCD.證明：(1)連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OE，∵底面ABCD為菱形，∴O是BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，∴OE∥PB，∵OE?平面ACE，PB?平面ACE，∴PB∥平面ACE.(2)∵底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，從而AB＝AC，又PB＝eq\r(2)AC，PA＝AC，∴PB＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)PA，可得PA⊥AB.同理可證PA⊥AD.又∵AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD.10．(2019·徐州高三檢測(cè))如圖，在三棱錐S-ABC中，SA＝SC，AB⊥AC，D為BC的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，且DE∥平面SAB.求證：(1)AB∥平面SDE；(2)平面ABC⊥平面SDE.證明：(1)因?yàn)镈E∥平面SAB，DE?平面ABC，平面SAB∩平面ABC＝AB，所以DE∥AB.因?yàn)镈E?平面SDE，AB?平面SDE，所以AB∥平面SDE.(2)因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，DE∥AB，所以E為AC的中點(diǎn)．又因?yàn)镾A＝SC，所以SE⊥AC，又AB⊥AC，DE∥AB，所以DE⊥AC.因?yàn)镈E∩SE＝E，DE?平面SDE，SE?平面SDE，所以AC⊥平面SDE.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SDE.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，正確的命題是________．(填序號(hào))①M(fèi)B是定值；②點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)；③一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C；④一定存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE.解析：取DC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，∵M(jìn)N∩NB＝N，A1D∩DE＝E，∴平面MNB∥平面A1DE，∵M(jìn)B?平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正確；∠A1DE＝∠MNB，MN＝eq\f(1,2)A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根據(jù)余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，∴MB是定值，①正確；B是定點(diǎn)，∴M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，②正確；當(dāng)矩形ABCD滿足AC⊥DE時(shí)存在，其他情況不存在，③不正確．∴①②④正確．答案：①②④2．如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：①三棱錐A-D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的命題序號(hào)是________．解析：由題意可得BC1∥AD1，又AD1?平面AD1C，BC1?平面AD1C，所以BC1∥平面AD1C.所以點(diǎn)P到平面AD1C的距離不變，VA-D1PC＝VP-AD1C，所以體積不變，故①正確；連結(jié)A1C1，A1B，可得平面ACD1∥平面A1C1B.又因?yàn)锳1P?平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正確；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，△DBC1是等邊三角形，所以DP不垂直于BC1，故③不正確；因?yàn)锳C⊥平面DD1B1B，DB1?平面DD1B1B，所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.所以DB1⊥平面ACD1.又因?yàn)镈B1?平面PDB1.所以平面PDB1⊥平面ACD1.故④正確．綜上，正確的序號(hào)為①②④.答案：①②④3．(2019·泰州調(diào)研)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1上一點(diǎn)，且AE＝CF＝2a.(1)求證：B1F⊥平面ADF；(2)求三棱錐B1-ADF的體積；(3)求證：BE∥平面ADF.解：(1)證明：因?yàn)锳B＝AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)锽1B⊥底面ABC，AD?底面ABC，所以AD⊥B1B.因?yàn)锽C∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1，因?yàn)锽1F?平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.在矩形B1BCC1中，因?yàn)镃1F＝CD＝a，B1C1＝CF＝2a，所以Rt△DCF≌Rt△FC