利用定比分點(diǎn)公式妙解線段比例問題

利用定比分點(diǎn)公式妙解線段比例問題湖南彭向陽利用向量解平面幾何中的線段比例問題，一般是選擇基向量，將某一向量通過向量共線定理用基向量兩次表示，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等的原則，求出所設(shè)的比值.但這種方法學(xué)生難以理解，而且在運(yùn)算中不容易轉(zhuǎn)化.如果建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示來處理，不僅學(xué)生容易理解，而且利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式來計(jì)算，顯得快捷簡便.ABCNABCNPMyx解：以M為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則M(0,0)，設(shè)B(-1,0)，C(1,0)，A(x1，y1).由，得N點(diǎn)坐標(biāo)為，即N()；設(shè)，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，即P()；設(shè)，得P點(diǎn)坐標(biāo)為.P點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)應(yīng)該相等，得，根據(jù)x1，y1的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得，解得.故AP：PM=4：1.yAEPBDCxyAEPBDCx解：如圖，以D為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則D(0,0).設(shè)A(x1，y1)，C(3，0)，B(-1,0).由得E點(diǎn)的坐標(biāo)為，即E點(diǎn)坐標(biāo)為；設(shè)，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，即P點(diǎn)坐標(biāo)為；設(shè)，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，即P點(diǎn)坐標(biāo)為；由兩個(gè)P點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該相等得，根據(jù)x1，y1對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得，解得.即，所以.例3點(diǎn)D、E、F分別是ΔABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn).求證：AE、BF、CD相交于同一點(diǎn)G，且.這是高中數(shù)學(xué)教材第一冊（下）復(fù)習(xí)參考題五B組的第8題，原題有提示，按教師參考用書上提供的證明方法，學(xué)生難以接受.但如果采用向量的坐標(biāo)證明法則簡單易懂.ADFGBECｙOｘ證明：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（ｘ1，ｙ1ADFGBECｙOｘD，E，F(xiàn).假設(shè)AE、BF相交于G點(diǎn)，設(shè)，于是有；又設(shè)，于是有，所以.考慮到ｘｉ，ｙｉ（ｉ＝1,2，3）的任意性，所以有對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，即，解得，于是G，