勾股定理數(shù)學(xué)知識提綱

勾股定理數(shù)學(xué)知識提綱數(shù)學(xué)是中考重要科目，想要學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要找到學(xué)習(xí)的竅門，這樣可以讓我們事半功倍。下面小編給大家分享一些勾股定理數(shù)學(xué)知識提綱，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀

勾股定理數(shù)學(xué)知識提綱

勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c2.

勾股定理逆定理如果三角形三邊長a，b，c有下面關(guān)系：

a2+b2=c2

那么這個三角形是直角三角形.

早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法.

關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的.下面的證法1是歐幾里得證法.

證法1如圖2-16所示.在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c2，a2，b2.下面證明，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和.

過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE.因為

AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，

所以△ACE≌△AGB(SAS).而

所以SAEML=b2.①

同理可證SBLMD=a2.②

①+②得

SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，

即c2=a2+b2.

證法2如圖2-17所示.將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b.完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB.由作圖易知

△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，

所以

AG=GH=HB=AB=c，

∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，

因此，AGHB為邊長是c的正方形.顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即

化簡得a2+b2=c2.

證法3如圖2-18.在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長線于K，又作AF，DH分別垂直EG于F，H.由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：

△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.

設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面

S=SABDE+2S△ABC，①

另一方面

S=SACGF+SHGKD+2S△ABC.②

由①，②

所以c2=a2+b2.

關(guān)于勾股定理，在我國古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習(xí)題中展示其中一小部分，它們都以中國古代數(shù)學(xué)家的名字命名.

利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個更一般的結(jié)論.

定理在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍.

證(1)設(shè)角C為銳角，如圖2-19所示.作AD⊥BC于D，則CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中，

AB2=AD2+BD2，①

在直角三角形ACD中，

AD2=AC2-CD2，②

又

BD2=(BC-CD)2，③

②，③代入①得

AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2

=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD

=AC2+BC2-2BC?CD，

即

c2=a2+b2-2a?CD.④

(2)設(shè)角C為鈍角，如圖2-20所示.過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影.在直角三角形ABD中，

AB2=AD2+BD2，⑤

在直角三角形ACD中，

AD2=AC2-CD2，⑥

又

BD2=(BC+CD)2，⑦

將⑥，⑦代入⑤得

AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2

=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD

=AC2+BC2+2BC?CD，

即

c2=a2+b2+2a?cd.⑧

綜合④，⑧就是我們所需要的結(jié)論

特別地，當(dāng)∠C=90°時，CD=0，上述結(jié)論正是勾股定理的表述：

c2=a2+b2.

因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣).

由廣勾股定理我們可以自然地推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系對于角的影響.在△ABC中，

(1)若c2=a2+b2，則∠C=90°;

(2)若c2

(3)若c2>a2+b2，則∠C>90°.

勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應(yīng)用.

例1如圖2-21所示.已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G.求證：AB2=2FG2.

分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應(yīng)有AF=AB，這啟發(fā)我們?nèi)プC明△ABE≌△AFE.

證因為AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以

Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，

所以AF=AB.①

在Rt△AGF中，因為∠FAG=45°，所以

AG=FG，

AF2=AG2+FG2=2FG2.②

由①，②得

AB2=2FG2.

說明事實上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)使我們意識到兩個直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個直角三角形中，可以利用勾股定理進行證明了.

例2如圖2-22所示.AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2).

證過A引AD⊥BC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi)).由廣勾股定理，在△ABM中，

AB2=AM2+BM2+2BM?MD.①

在△ACM中，

AC2=AM2+MC2-2MC?MD.②

①+②，并注意到MB=MC，所以

AB2+AC2=2(AM2+BM2).③

如果設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應(yīng)邊上的中線長分別為ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長的公式.

推論△ABC的中線長公式：

說明三角形的中線將三角形分為兩個三角形，其中一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形(除等腰三角形外).利用廣勾股定理恰好消去相反項，獲得中線公式.①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長.

例3如圖2-23所示.求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍.

分析如圖2-23所示.對角線中點連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結(jié)論，不難證明本題.

證設(shè)四邊形ABCD對角線AC，BD中點分別是Q，P.由例2，在△BDQ中，

即

2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2.①

在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以

在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以

將②，③代入①得

=4PQ2+BD2，

即

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.

說明本題是例2的應(yīng)用.善于將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，是人們解決問題的一種基本方法，即化未知為已知的方法.下面，我們再看兩個例題，說明這種轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用.

例4如圖2-24所示.已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點.求證：AD2+BE2=AB2+DE2.

分析求證中所述的4條線段分別是4個直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手.

證AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以

AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2

例5求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍.

如圖2-25所示.設(shè)直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線.求證：

4(AM2+BN2)=5AB2.

分析由于AM，BN，AB均可看作某個直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況――即M，N分別是所在邊的中點，那么可直接利用例4的結(jié)論，使證明過程十分簡潔.

證連接MN，利用例4的結(jié)論，我們有

AM2+BN2=AB2+MN2，

所以4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2.①

由于M，N是BC，AC的中點，所以

所以4MN2=AB2.②

由①，②

4(AM2+BN2)=5AB2.

說明在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會知道中位線的基本性質(zhì)：“MN∥AB且MN=圖2-26所示.MN是△ABC的一條中位線，設(shè)△ABC的面積為S.由于M，N分別是所在邊的中點，所以S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行.又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN.

初中數(shù)學(xué)要怎么學(xué)

1、課前預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)是學(xué)習(xí)的第一步，通過預(yù)習(xí)可以更好地聽老師講課，提高學(xué)習(xí)效率。學(xué)生在上課之前有過預(yù)習(xí)，可以對新知識有初步的了解，并且找到不明白的問題，從而在課堂上實現(xiàn)針對性地的聽講。

2、課后復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)是對已學(xué)知識的鞏固和強化，通過復(fù)習(xí)可以加深對知識的記憶，從而達到鞏固的效果。學(xué)生在課后要及時復(fù)習(xí)，減緩遺忘速度，形成對新知識的深刻印象。

數(shù)學(xué)答題技巧

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為