第5章參數(shù)區(qū)間估計

試驗統(tǒng)計學第四章概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識本課程使用區(qū)靖祥編著的《試驗統(tǒng)計學》一書作為課本。全程為50學時，占2學分。第二章常用的試驗設計第三章試驗數(shù)據(jù)的整理第五章參數(shù)區(qū)間估計第八章常用試驗設計的資料分析第六章統(tǒng)計假設測驗第七章方差分析第九章直線相關(guān)與回歸第一章緒論第十章協(xié)方差分析作區(qū)間估計時，通常計算兩尾概率，即區(qū)間外兩邊的概率各為顯著水準

之半，區(qū)間內(nèi)的概率為置信度1-

。第五章參數(shù)區(qū)間估計上一章中討論了總體分布和抽樣總體的分布。所謂抽樣總體的分布是指在原總體的分布為已知的情況下，探討一些樣本統(tǒng)計量的概率分布。利用抽樣分布可以用一定的概率保證計算出某個樣本統(tǒng)計量出現(xiàn)的區(qū)間范圍。在這一章中，我們將這個問題反過來討論，即利用樣本數(shù)據(jù)，以抽樣總體的分布為理論基礎，用一定的概率保證來計算出原總體中未知參數(shù)的區(qū)間范圍。這種具有一定概率保證的未知參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間，其最小值稱為“下限”，最大值稱為“上限”。常用的概率為95%和99%，即計算是95%置信區(qū)間和99%置信區(qū)間。也可按研究目的來決定具體采用的置信度。第五章參數(shù)區(qū)間估計第二節(jié)二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間第三節(jié)正態(tài)總體方差的置信區(qū)間

單個總體平均數(shù)的置信區(qū)間

成對法資料兩處理觀察差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間

兩個獨立樣本所來自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間

單個二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間

兩個二項總體百分數(shù)之差的置信區(qū)間

單個總體方差的置信區(qū)間

兩總體方差之比的置信區(qū)間

利用這些分布，可以計算出總體平均數(shù)

的置信區(qū)間。第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個總體平均數(shù)的置信區(qū)間

若已知隨機變量X，并從X總體中抽取樣本容量

為

n

的樣本，那么，樣本平均數(shù)將服從總體平均數(shù)為，方差為的正態(tài)分布。

如果原來的X不服從正態(tài)分布，但已知它的總體平均數(shù)為

x，總體方差為，那么，只要樣本容量n足夠大，樣本平均數(shù)也將服從總體平均數(shù)為，方差為的正態(tài)分布。

若原總體的方差未知，可以用樣本方差代替s2計算，如果樣本容量為n，則樣本平均數(shù)的標準化離差將服從一個自由度為df

＝

n－1的

t

分布。⑴正態(tài)分布資料并且總體方差已知或非正態(tài)分布資料大樣本并且方差已知例5.1已知某品種玉米的單株產(chǎn)量X服從正態(tài)分布N(

,

2)，其中

未知，

＝5g。現(xiàn)從該總體隨機抽取一個大小為n＝25的樣本，算得樣本平均數(shù)為35。問該品種玉米的單株產(chǎn)量(即總體平均數(shù)

)有95%的可能落在什么區(qū)間？第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個總體平均數(shù)的置信區(qū)間因為將、

＝5代入，于是得判定單株平均產(chǎn)量有95%可能落在(33.04g，36.96g)之間。

若要用99%的把握作判斷，要在附表3查得當

=0.01時的u值(2.58),用它代入上式，重新計算。得：

P

(–2.58u2.58)=P

(32.42

37.58)。顯然，你要說話更有把握，就要把區(qū)間擴得寬些。33.043536.9695%

=0.0532.423537.5899%

=0.01再舉一個非正態(tài)資料的例子⑴正態(tài)分布資料并且總體方差已知或非正態(tài)分布資料大樣本并且方差已知第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個總體平均數(shù)的置信區(qū)間將、

＝3代入，于是得判定該鄉(xiāng)每戶平均人數(shù)

有95%可能落在(2.54，5.48)之間。例5.2

某鄉(xiāng)內(nèi)各戶人口數(shù)X的平均數(shù)

未知，標準差

＝3?，F(xiàn)從該鄉(xiāng)隨機調(diào)查36戶，算得樣本平均數(shù)為，問該鄉(xiāng)每戶人家的平均人口數(shù)

有95%可能落在什么區(qū)間？因為樣本容量n＝36＞30，所以可以認為平均人口數(shù)服從正態(tài)分布，并且，＝＝3/6＝0.5。于是有：這里順便介紹一下確定樣本容量的方法⑴正態(tài)分布資料并且總體方差已知或非正態(tài)分布資料大樣本并且方差已知第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個總體平均數(shù)的置信區(qū)間例5.3某燈泡廠要抽樣檢驗一批燈泡的壽命。根據(jù)以往的經(jīng)驗，燈泡壽命的標準差為

＝6小時?，F(xiàn)要求調(diào)查的誤差范圍不超過±2小時，置信度為95%，問至少應抽多大的樣本。或。解不等式得如果燈泡的真實壽命為

，抽得大小為n的樣本，并算得樣本平均數(shù)為，那么，誤差范圍為。為了保證抽樣精確度，采用大樣本公式。即⑵原總體的方差未知第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間

單個總體平均數(shù)的置信區(qū)間例5.4從外地引進一個小麥良種，它在本地的千粒重X的平均數(shù)和標準差都不知道。現(xiàn)種植了n＝8個小區(qū)，得其千粒重(單位：g)為：34.6、35.9、36.8、32.7、35.1、33.4、37.6、35.6。試求此品種千粒重的95%置信區(qū)間。這時用樣本方差s2代替總體方差

2，用

t

分布估計區(qū)間。n＝8，當df

＝8－1＝7時，t0.05

＝2.3646。將有關(guān)數(shù)值代入后，有：。95%置信區(qū)間為(33.84g，36.58g)。

成對法資料兩樣本觀察值差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間

如果原來的

D

服從平均數(shù)為

d，方差為的非正態(tài)分布，那么，只有當

n

足夠大時，其樣本平均數(shù)才服從平均數(shù)為，方差為的正態(tài)分布。如果原總體方差未知，可以用樣本方差

代替進行計算，所得的樣本統(tǒng)計量將服從的

t

分布。

如果原來的

D

服從平均數(shù)為

d，方差為的正態(tài)分布，那么，大小為

n

的樣本的樣本平均數(shù)將服從平均數(shù)為，方差為的正態(tài)分布。大多數(shù)情況下，總體方差是不知道的。所以

t

分布應用較多。下面舉出幾個這種抽樣分布的例子。

第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間成對法資料兩樣本觀察值差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間例5.5

某藥廠研制出一種減肥藥，將其分發(fā)給20個肥胖志愿者試用。一療程后，測量他們的體重減少量，如上表所示。請據(jù)此資料估計服用了此藥物之后，肥胖患者體重的減少量有95%可能落在什么區(qū)間？當df

＝20－1＝19時，t0.05

＝2.093。將有關(guān)數(shù)值代入后，有：。95%置信區(qū)間為(8.474kg，11.526kg)。第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間成對法資料兩樣本觀察值差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間例5.6兩種不同配方A和B制造的汽車輪胎15對，分別安裝在15部汽車前軸的兩邊，進行耐磨性能測驗。經(jīng)五萬公里行駛后，測量磨損的厚度，數(shù)據(jù)如上表所示。試求配方A與B磨損程度差數(shù)平均數(shù)的95%置信區(qū)間。當df

＝15－1＝14時，t0.05

＝2.1448。將有關(guān)數(shù)值代入后，有：。95%置信區(qū)間為(-1.1087，0.1487

)。第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間成對法資料兩樣本觀察值差數(shù)總體均數(shù)的置信區(qū)間例5.7

為了比較某種新肥料與原肥料對棉花產(chǎn)量的影響，選土壤和其他條件都很相似的相鄰小區(qū)配成一對，其中一小區(qū)施新肥料，另一小區(qū)施原肥料作對照，共設9次重復。產(chǎn)量結(jié)果如上表所示。試問施用兩種肥料后產(chǎn)量之差的平均數(shù)有95%落在什么區(qū)間？當df

＝9－1＝8時，t0.05

＝2.306。將有關(guān)數(shù)值代入后，有：。95%置信區(qū)間為(7.9888，14.4556

)。

兩個獨立樣本所來自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間如果有兩個正態(tài)總體X1和X2?，F(xiàn)從第1個總體抽取一個大小為n1的樣本并算得樣本平均數(shù)；又獨立地從第2個總體抽取一個大小為n2的樣本并算得樣本平均數(shù)。記樣本平均數(shù)之差將服從正態(tài)分布，其中總體平均數(shù)總體方差

可以將d標準化為。

利用此分布，可計算總體均數(shù)之差

1－

2

的置信區(qū)間。若、未知，但樣本足夠大，可以用和代替它們進行計算，所得的標準化離差仍可視為服從正態(tài)分布。只要是大樣本，不管方差是否已知，都可用正態(tài)分布計算。

兩個獨立樣本所來自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間兩個總體方差和已知的情況（大小樣本都行）例5.8

有兩個品種的肉雞，品種A八周齡時的體重X1服從正態(tài)分布，平均數(shù)

1未知，方差為＝100g；品種B八周齡時的體重X2服從正態(tài)分布，平均數(shù)

2未知，方差為＝80g?，F(xiàn)分別調(diào)查

n1＝10只A雞和

n2＝15只B雞，得＝900g，＝850g。問有95%的把握說，兩品種肉雞的平均體重之差將落在什么區(qū)間？因為

將數(shù)據(jù)代入得的95%置信區(qū)間(42.3251，57.6749)。大樣本但總體方差未知，也類似處理。這里就不必舉例了。因為可以認為，于是可以將U式改寫為

兩個獨立樣本所來自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間小樣本、兩個總體方差和未知但可認為再用兩個樣本方差和的加權(quán)平均值來代替

2進行計算，于是得到統(tǒng)計量。此統(tǒng)計量服從df＝n1＋n2－２的t分布。

利用此分布，可計算總體均數(shù)之差

1－

2

的置信區(qū)間。例5.9調(diào)查某農(nóng)場每畝30萬苗6塊和每畝35萬苗的水稻田7塊，得每畝產(chǎn)量如表5.4所示（單位：kg）。假如兩種密度下水稻產(chǎn)量的變異程度相同，試求兩種密度水稻平均畝產(chǎn)差異的95%置信區(qū)間。n1＝6，n2＝7，df＝n1＋n2－２＝11，

＝

895，

＝

875，，。因此當df

＝11時，t

0.05＝2.201，于是有此例中我們假設兩種種植密度下水稻產(chǎn)量的變異程度相等。至于在實際問題如何確認兩樣本所來自的總體方差是否相等的問題留待本章第三節(jié)和下章第二節(jié)討論。因為，不能合并方差，只好各算各的：用代替，用代替。于是有統(tǒng)計量它近似服從t分布，但自由度需要矯正，矯正公式為：

其中

兩個獨立樣本所來自的總體均數(shù)之差的置信區(qū)間根據(jù)數(shù)據(jù)，可算得：當df

＝11時，t0.05

＝2.201。將有關(guān)數(shù)值代入后，于是有：第一節(jié)總體平均數(shù)的置信區(qū)間小樣本、兩個總體方差和未知但可認為

利用此分布，可計算總體均數(shù)之差

1－

2

的置信區(qū)間。例5.10測定玉米品種A的蛋白質(zhì)含量(%)10次，得n1=10，；又測定另一玉米品種B的蛋白質(zhì)含量(%)8次，得。試求兩種玉米品種蛋白質(zhì)平均含量之差的95%置信區(qū)間。此例中我們假設兩種蛋白質(zhì)含量的變異程度不等。至于在實際問題如何確認兩樣本所來自的總體方差是否相等的問題留待本章第三節(jié)和下章第二節(jié)討論。第二節(jié)二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間在上一章討論從二項總體中抽樣時指出：在n次試驗中，某事件出現(xiàn)的次數(shù)X將服從二項分布B

(n,p)，并且，。如果改用樣本百分數(shù)＝X/n來表示，則，。此外，當n很大，p(或q)接近1/2時，＝X/n近似服從

N(，)，其中，。本節(jié)中，我們以這些抽樣分布為理論基礎，通過樣本資料來求總體百分數(shù)的置信區(qū)間。

單個二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間第二節(jié)二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間從原理上說，應該按二項分布的函數(shù)公式計算例5.11某品種家蠶的卵在某地區(qū)的孵化率p未知?，F(xiàn)抽取大小為n＝20的樣本，發(fā)現(xiàn)有18個卵能正常孵化。試求總體孵化率p的95%置信區(qū)間。課本附表4提供了二項分布百分率的95%和99%置信區(qū)間的上下限。

若記樣本百分率為，則。于是，所要求的置信區(qū)間應該在95%的兩邊。即有

因為其中的p不知道，沒有辦法直接用代數(shù)方法算出這個“?”。只能通過試探的方法，將不同的數(shù)字代入，算出其概率之和，直到所得的概率之和為95%為止。

本例中，n＝20，x＝18，n－

x＝2。從附表4中可以查的其95%置信區(qū)間為(68.3%，93.8%)。

單個二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間第二節(jié)二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間當n

較大，p

或q不太小時，可用正態(tài)分布近似計算例5.12在使用某種方法保存花粉一段時間后，取n＝100?；ǚ圻M行試驗，發(fā)現(xiàn)有60?？梢哉０l(fā)芽。試求用這種方法保存花粉，其發(fā)芽率的95%置信區(qū)間。用正態(tài)分布近似計算的結(jié)果與用二項分布計算所得已經(jīng)相當接近。查附表4得：發(fā)芽率p的95%置信區(qū)間為(49.7%，69.7%)。

因?qū)＝100、和以及df＝99時的t0.05＝1.984代入，得

用正態(tài)近似計算：因為p未知，用代替它來估計誤差，這時統(tǒng)計量服從自由度df＝n－1的t分布，于是有：

單個二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間第二節(jié)二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間舉一個確定樣本容量n的例子。例5.13對于某種零件，過去質(zhì)量檢查的經(jīng)驗表明合格率在97%左右?，F(xiàn)要檢測一批零件，要求置信度為95%，調(diào)查誤差不允許超過2%，問至少抽取多大的樣本。

為保證試驗精確度，采用大樣本公式進行計算，即有或

。要達到題目的要求，應令解不等式得，因此起碼要抽取大小為n＝280的樣本。

兩個二項總體百分數(shù)之差的置信區(qū)間第二節(jié)二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間如果從一個參數(shù)為p1的二項總體中抽取一個容量為n1的樣本，得樣本百分數(shù)；又獨立地從另一個參數(shù)為p2的二項總體中抽取一個容量為n2的樣本，得樣本百分數(shù)，則有統(tǒng)計量服從N

(0,1)。

若果p1、p2未知，在估計誤差時用和代替它們計算，則有統(tǒng)計量服從df＝n1＋n2－2的t分布。

當樣本容量n較小或p很小時，應考慮連續(xù)型矯正。這時，對于具較大值的x應減少0.5，具較小值的x應增加0.5。例如，如果，則統(tǒng)計量變成。

兩個二項總體百分數(shù)之差的置信區(qū)間第二節(jié)二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間例5.14

調(diào)查低洼地小麥n1＝378株，發(fā)現(xiàn)有銹病x1＝355株；調(diào)查高坡地小麥n2＝396株，發(fā)現(xiàn)有銹病x2＝346株。試求兩種地形中，銹病發(fā)病率之差的95%置信區(qū)間。設低洼地的發(fā)病率為p1，高坡地的發(fā)病率為p2。算得樣本發(fā)病率，。本例為大樣本，不用連續(xù)性矯正。因為df

＝378＋396－2＝772，t0.05＝1.96；于是有于是求得p1－p2的95%置信區(qū)間為（2.49%，10.61%）。

再舉一個小樣本的例子

兩個二項總體百分數(shù)之差的置信區(qū)間第二節(jié)二項總體百分數(shù)的置信區(qū)間例5.15用農(nóng)藥A處理25只美國蟑螂，結(jié)果死亡15只；用另一種農(nóng)藥B處理24只，結(jié)果死亡9只。試求兩種農(nóng)藥處理美國蟑螂的死亡率之差的95%置信區(qū)間。于是求得p1－p2的95%置信區(qū)間為(－9.57%，46.4%)。設用農(nóng)藥A處理的死亡率為p1，用農(nóng)藥B處理時為p2。算得樣本死亡率，。采用

t

分布和連續(xù)性矯正。因為df

＝25＋24－2＝47，t0.05＝2.01；并且因為，大項的x