高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題限時(shí)集訓(xùn)9 立體幾何-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(九)立體幾何(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第99頁(yè))(限時(shí)：120分鐘)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上．)1．(廣西柳州2017屆高三上學(xué)期10月模擬)已知長(zhǎng)方體同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為2,3,4，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積等于________．29π[長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于eq\r(22＋32＋42)＝eq\r(29)，所以外接球的表面積等于4πR2＝(eq\r(29))2π＝29π.]2．(江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高中2017屆高三下學(xué)期期中)已知一個(gè)圓錐的底面面積為2π，側(cè)面積為4π，則該圓錐的體積為________．eq\f(2\r(6),3)π[設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πr2＝2π，,πrl＝4π，))解得r＝eq\r(2)，l＝2eq\r(2)，所以高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(6)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×2×eq\r(6)＝eq\f(2\r(6),3)π.]3．(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是________(填上所有正確命題的序號(hào))．①若α∥β，m?α，則m∥β；②若m∥α，n?α，則m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β.①④[由α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，知：在①中，若α∥β，m?α，則由面面平行的性質(zhì)定理得m∥β，故①正確；在②中，若m∥α，n?α，則m∥n或m與n異面，故②錯(cuò)誤；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m與β相交、平行或m?β，故③錯(cuò)誤；在④中，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則由線面垂直的判定定理得m⊥β，故④正確．]4．(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為3cm，母線長(zhǎng)為5cm的圓錐實(shí)心鐵器，將其高溫融化后鑄成一個(gè)實(shí)心鐵球(不計(jì)損耗)，則該鐵球的半徑是________cm.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394064】eq\r(3,9)[設(shè)該鐵球的半徑為r，∵底面半徑為3cm，母線長(zhǎng)為5cm的圓錐實(shí)心鐵器，∴錐體的母線、半徑、高構(gòu)成直角三角形，∴h＝eq\r(52－32)＝4，錐體體積V＝eq\f(1,3)×π×32×4＝12π，圓球體積＝錐體體積V＝eq\f(4,3)πr3＝12π，解得r＝eq\r(3,9).]5．(2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是eq\r(3)，則該正四棱錐的體積為________．eq\f(4,3)[如圖，正四棱錐P－ABCD中，AB＝2，PA＝eq\r(3)，設(shè)正四棱錐的高為PO，連接AO，則AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).在直角三角形POA中，PO＝eq\r(PA2－AO2)＝eq\r(3－2)＝1.所以VP－ABCD＝eq\f(1,3)·SABCD·PO＝eq\f(1,3)×4×1＝eq\f(4,3).]6．(廣東汕頭2017屆高三上學(xué)期期末)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為2eq\r(3)，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積等于________．20π[由題意知三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，∠ACB＝90°，設(shè)D，D1分別是AB，A1B1的中點(diǎn)，O是DD1中點(diǎn)，可證O就是三棱柱外接球球心，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×1×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，V＝S△ABC·h＝eq\f(\r(3),2)×DD1＝2eq\r(3)，即DD1＝4，OA＝eq\r(AD2＋DO2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以S＝4π×OA2＝4π×(eq\r(5))2＝20π.]7．(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知直四棱柱底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面對(duì)角線的長(zhǎng)為2eq\r(3)，則該直四棱柱的側(cè)面積為________．16eq\r(2)[如圖所示，直四棱柱底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面對(duì)角線的長(zhǎng)為2eq\r(3)，∴側(cè)棱長(zhǎng)為CC1＝eq\r(2\r(3)2－22)＝2eq\r(2)，∴該直四棱柱的側(cè)面積為S＝4×2×2eq\r(2)＝16eq\r(2).]8．若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為2π，則其母線與軸的夾角的大小為________．eq\f(π,3)[由題意得：πrl：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)h·2r))＝2π?l＝2h?母線與軸的夾角為eq\f(π,3).]9．(江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2(單位：cm)，側(cè)面積為8(單位：cm2)，則它的體積為________(單位：cm3)．eq\f(4\r(3),3)[設(shè)四棱錐為P－ABCD，底面ABCD的中心為O，取CD中點(diǎn)E，連接PE，OE.則PE⊥CD.OE＝eq\f(1,2)BC＝1.∵S側(cè)面＝4S△PCD＝4×eq\f(1,2)×CD×PE＝8，∴PE＝2.∴PO＝eq\r(3)，∴正四棱錐體積V＝eq\f(1,3)×22×eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3).]10．(山東棗莊2017屆高三上學(xué)期期末)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年．例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．如圖9－15，在塹堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，當(dāng)陽馬B－A1ACC1體積最大時(shí)，則塹堵ABC－A1B1圖9－152[由陽馬的定義知，VB－A1ACC1＝eq\f(1,3)×A1A×AC×BC＝eq\f(2,3)AC×BC≤eq\f(1,3)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,3)AB2＝eq\f(4,3)，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝BC＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)陽馬B－A1ACC1體積最大時(shí)，則塹堵ABC－A1B1C1的體積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2＝2.]11．(湖南五市十校教研教改共同體2017屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考)圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，過頂點(diǎn)的最大截面的面積為eq\f(1,2)L2，則圓錐底面半徑與母線長(zhǎng)的比eq\f(r,L)的取值范圍是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394065】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))[由題意得軸截面的頂角θ不小于eq\f(π,2)，因?yàn)閟ineq\f(θ,2)＝eq\f(r,L)≥sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(r,L)<1.]12．(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)如圖9－16，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，則三棱錐D1－A1BD的體積為________cm3圖9－16eq\f(3,2)[∵在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，∴三棱錐D1－A1BD的體積：VD1－A1BD＝VB－A1D1D＝eq\f(1,3)×S△A1D1D×AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×A1D1×DD1×AB＝eq\f(1,6)×3×1×3＝eq\f(3,2)(cm3)．]13．(安徽“皖南八校”2017屆高三第二次聯(lián)考)如圖9－17，四棱錐P－ABCD中，△PAB為正三角形，四邊形ABCD為正方形且邊長(zhǎng)為2，平面PAB⊥平面ABCD，四棱錐P－ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是________．圖9－17eq\f(28π,3)[由題意球的半徑滿足eq\r(R2－1)＋eq\r(R2－2)＝eq\r(3)?R2＝eq\f(7,3)，所以球的表面積是4πR2＝eq\f(28π,3).]14．(中原名校豫南九校2017屆上學(xué)期第四次質(zhì)量考評(píng))在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為棱A1B1，A1C1的中點(diǎn)，則平面7∶5[設(shè)直三棱柱ABC－A1B1C1高為h，底面積為4S，則VB1C1－BMNC＝VC－B1MNC1＋VM－B1BC＝eq\f(1,3)×h×3S＋eq\f(1,2)VA1－B1BC＝hS＋eq\f(1,2)VA－B1BC＝hS＋eq\f(1,2)VB1－ABC＝hS＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)h·4S＝eq\f(5,3)Sh，所以兩部分的體積比為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4Sh－\f(5,3)Sh))∶eq\f(5,3)Sh＝7∶5.]二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)15．(本小題滿分14分)(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)如圖9－18，四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.圖9－18(1)求證：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求證：CD∥平面PAB.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394066】[證明](1)因?yàn)锳D⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以AD⊥AP， 2分又因?yàn)锳P⊥AB，AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 4分因?yàn)镃D?平面ABCD，所以CD⊥AP. 6分(2)因?yàn)镃D⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD?平面PAD，AP?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.① 8分因?yàn)锳D⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥AD.又因?yàn)锳P⊥AB，AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.②由①②得CD∥AB， 12分因?yàn)镃D?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB.14分16．(本小題滿分14分)(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)如圖9－19，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，A1B與AB1交于點(diǎn)D，A1C與AC1交于點(diǎn)圖9－19求證：(1)DE∥平面B1BCC1；(2)平面A1BC⊥平面A1ACC1.[證明](1)由題意，D，E分別為A1B，A1C∴DE∥BC， 2分∵DE?平面B1BCC1，BC?平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1； 6分(2)∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1＝A，∴BC⊥平面A1ACC1， 10分∵BC?平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ACC1.14分17．(本小題滿分14分)(2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)如圖9－20，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，E是棱AB上一點(diǎn)，且OE∥平面圖9－20(1)求證：E是AB中點(diǎn)；(2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.[證明](1)連接BC1，取AB中點(diǎn)E′，∵側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1∴O為AC1的中點(diǎn)，∵E′是AB的中點(diǎn)，∴OE′∥BC1； 4分∵OE′?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中點(diǎn). 8分(2)∵側(cè)面AA1C∴AC1⊥A1C， ∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，∴AC1⊥平面A1∵BC?平面A1BC，∴AC1⊥BC. 14分18．(本小題滿分16分)(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)如圖9－21，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點(diǎn)，AC＝BC，∠ACD＝90°.圖9－21(1)求證：AB⊥平面EDC；(2)若P為FG上任一點(diǎn)，證明：EP∥平面BCD.[證明](1)∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，∵平面ABC∩平面ACD＝AC，CD?平面ACD，∴CD⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，E為AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，又CE∩CD＝C，CD?平面EDC，CE?平面EDC，∴AB⊥平面EDC.8分(2)連接EF、EG，∵E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，又BD?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD， 10分同理可得EG∥平面BCD，且EF∩EG＝E，EF、EG?平面EFG，∴平面EFG∥平面BCD，∵P是FG上任一點(diǎn)，∴EP?平面EFG，∴EP∥平面BCD. 16分19．(本小題滿分16分)(河南豫北名校聯(lián)盟2017屆高三上學(xué)期精英對(duì)抗賽)如圖9－22，在直圖9－22三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)若AC＝CB，求證：A1D⊥CD.[證明](1)如圖，連接AC1，交A1C于點(diǎn)O，連接OD據(jù)直三棱柱性質(zhì)知四邊形ACC1A1為