2024屆寧波市九校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試卷附答案解析

屆寧波市九校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試卷2024.01注意事項(xiàng)：1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名，考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.請(qǐng)保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．4．若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件5．體育課上，羅老師讓8名身高各不相同的同學(xué)排隊(duì)，要求排成前后兩排，每排4人，且每排同學(xué)從左到右身高依次遞增，則不同排法的種數(shù)為（

）A．60 B．70 C．80 D．906．若向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位數(shù)是8.5B．若隨機(jī)變量，則C．設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，，若，則事件A與事件相互獨(dú)立D．根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)且該判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.0510．已知，則（

）A． B．C． D．11．拋物線：的焦點(diǎn)為，過作傾斜角為的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn)（在第一象限），且，設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．12．已知，，，，則（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．小周和小王進(jìn)行一對(duì)一籃球比賽，該比賽采取三局兩勝制（有一方先勝兩局即獲勝，比賽結(jié)束）.假設(shè)小周每一局獲勝的概率為，小王每一局獲勝的概率為，且每一局比賽相互獨(dú)立，則小王在比賽中獲勝的概率為.14．若點(diǎn)直線上的動(dòng)點(diǎn)，過與圓相切的兩條直線的夾角為，則的最大值為.15．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是.16．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，第18-22每小題12分，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．如圖，在三棱錐中，，，平面，平面平面，是的中點(diǎn).(1)求證：;(2)求平面與平面的夾角.19．某企業(yè)對(duì)2023年上半年的月利潤(rùn)情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下：月份123456凈利潤(rùn)（萬元）510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為描述與關(guān)系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出關(guān)于的回歸方程；(3)已知該企業(yè)的產(chǎn)品合格率為，現(xiàn)隨機(jī)抽取9件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則這9件產(chǎn)品中合格的件數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：3.5063.673.4917.509.4912.95519.01其中.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程的系數(shù)公式為，，.20．在中，已知.(1)求的長(zhǎng)；(2)若的平分線交點(diǎn)，求的最大值.21．已知點(diǎn)和直線:，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，若，求的斜率的值.22．我們把底數(shù)和指數(shù)同時(shí)含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導(dǎo).例如，對(duì)于冪指函數(shù)，.(1)已知，求曲線在處的切線方程；(2)若且，.研究的單調(diào)性；(3)已知均大于0，且，討論和大小關(guān)系.1．D【分析】解一元二次不等式求集合A，由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域求集合B，再由集合的交補(bǔ)運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，所以，故，即為.故選：D2．C【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘方、除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可得虛部.【詳解】，故虛部為.故選：C3．D【分析】設(shè)所求雙曲線方程為，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求解．【詳解】由題意設(shè)所求雙曲線方程為，又雙曲線過點(diǎn)，∴，即，∴雙曲線方程為，即，故選：D．4．C【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合基本不等式及不等式性質(zhì)，由充分、必要性定義判斷充分、必要性.【詳解】若數(shù)列的公比為，由，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故充分性成立；由，故，若，則，故必要性不成立；故選：C5．B【分析】只需確定從8人中任抽4人放在第一排的方法數(shù)即可得答案.【詳解】從8人中任抽4人放在第一排有種，且僅有一種排法，其余4人放在第二排只有一種排法，所以不同排法的種數(shù)為種.故選：B6．D【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再由投影向量的定義求在上的投影向量.【詳解】由，則，由在上的投影向量.故選：D7．A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二倍角公式，弦化切，即可求解．【詳解】，則．故選：A．8．B【分析】根據(jù)題設(shè)條件作出四面體的高，通過相關(guān)條件推理計(jì)算分別求出，最后在直角梯形，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半徑.【詳解】如圖，作平面，連接，易得因，平面，所以平面，平面，故,由題可得，，則.不妨設(shè)，則有①，在中，由余弦定理，，在中，②，將兩式相減化簡(jiǎn)即得：，.取線段中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面，其中點(diǎn)為外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，由余弦定理求得，在直角梯形中，，由計(jì)算可得：，則該四面體的外接球表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查四面體的外接球的表面積，屬于中檔題.求解多面體的外接球的主要方法有：（1）構(gòu)造模型法:即尋找適合題意的長(zhǎng)方體，正方體，圓柱等幾何體，借助于這些幾何體迅速求得外接球半徑；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多邊形的外心，作出外接球球心，借助于題設(shè)中的條件得到多面體的高，構(gòu)成直角梯形或直角三角形來求解.9．BCD【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可判定A，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可判定B，利用條件概率及相互獨(dú)立事件的定義可判定C，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可判定D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，又將?shù)據(jù)從小到大排列，第7個(gè)數(shù)為7，第8個(gè)數(shù)為8，所以第70百分位數(shù)為7.5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知為，，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)條件概率可知，由相互獨(dú)立事件的判定可知C正確；對(duì)于D，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知，故可判斷與有關(guān)且該判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，故D正確.故選：BCD.10．ABD【分析】利用賦值法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則逐一判斷即可.【詳解】A：在已知等式中，令，則有，所以本選項(xiàng)正確；B：在已知等式中，令，則有，所以本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，所以?xiàng)的系數(shù)，D：對(duì)已知等式，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，在該式中，令，則有，所以本選項(xiàng)正確，故選：ABD11．ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義，結(jié)合傾斜角的意義及直角三角形銳角三角函數(shù)、三角形面積公式逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，過作軸于，過作于，顯然，由拋物線定義得，，而，則，因此，A正確；顯然，同理，則，B錯(cuò)誤；又，則點(diǎn)到直線的距離，因此，C正確；顯然，則，又，因此，D正確.故選：ACD12．ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，則有、，可得C、D，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)及，可得.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，有，故，又，，故，故有，故，即C正確，，即，故D錯(cuò)誤，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有，故恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，即，此時(shí)，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)兩根為、，且，則有，由，且，故有，由，故，即，故A正確；令，有，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有，又，故，令，則，由，故，即，故在上單調(diào)遞增，又，故恒成立，即，由，即有，又，即有，有，，又在上單調(diào)遞減，故，即，故B正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，從而得到、、、的大小關(guān)系，即可得C、D，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，從而得到、與的關(guān)系.13．【分析】應(yīng)用獨(dú)立事件乘法及互斥事件加法求小王在比賽中獲勝的概率.【詳解】由題設(shè)，小王在比賽中獲勝情況：小王在前2局都勝，小王在前2局勝一局且第3局勝，所以小王在比賽中獲勝的概率為.故答案為：14．##【分析】根據(jù)題設(shè)可得直線與圓是相離關(guān)系，且，則，有，結(jié)合點(diǎn)線距離求得，再由，即可求其最大值.【詳解】由題意，直線與圓是相離關(guān)系，且，則，如下圖，，且，所以，令，則，所以.故答案為：15．【分析】根據(jù)圖象平移得，將問題化為在上遞增，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，又，則，即在上遞增，又，所以或且，故或且，則.故答案為：16．##【分析】根據(jù)給定條件，確定點(diǎn)的位置，再把展開放置于同一平面內(nèi)，借助三點(diǎn)共線，結(jié)合余弦定理求解即得.【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，連接，連接，由平面，平面，得，由分別是棱的中點(diǎn)，得，而，則，又平面，于是平面，又平面，連接，顯然平面，因此，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合，即為線段的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，又平面，把展開放置于同一平面內(nèi)，連接，于是的最小值，即為線段長(zhǎng)，連接，依題意，，在中，，，而，，，則，在中，由余弦定理得，的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式列方程求基本量，即可得通項(xiàng)公式；（2）寫出的通項(xiàng)公式，應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題設(shè)有，解得，即；（2）由（1）及已知得，則①，②，②①，得，所以.18．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作，垂足為，根據(jù)面面垂直性質(zhì)得平面，再由線面垂直性質(zhì)得、，最后由線面垂直的判定及性質(zhì)證結(jié)論；（2）法一：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的大??；法二：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，，由面面角的定義找到其平面角，再根據(jù)已知條件求平面角的大小.【詳解】（1）作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又平面，平面，所以，因?yàn)?，面，所以平面，由平面，所?（2）（向量法）如圖，以為原點(diǎn)，及垂直面向上為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.所以，所以，，易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則,令，所以，則，所以平面與平面的夾角為.（幾何法）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以，由?）知，平面，平面，所以，在直角和直角中，，所以是等腰三角形，所以，綜上，即為二面角的平面角，，，，則，所以為等腰直角三角形，故，所以平面與平面的夾角為.19．(1)(2)(3)8件或9件【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解方程，（3）根據(jù)二項(xiàng)分布求解概率，即可根據(jù)不等式求解最值.【詳解】（1）由于散點(diǎn)圖呈現(xiàn)在曲線附近，所以選擇（2）兩邊取對(duì)數(shù)，得，設(shè)，，建立關(guān)于的回歸方程，則，，所以關(guān)于的回歸方程為，所以.（3）設(shè)抽到的產(chǎn)品中有件合格品，則，所以，，即，，解得，所以最有可能是8件或9件.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件及正弦的和角公式得到，再利用正弦定理即可求出結(jié)果；（2）設(shè)，利用及條件得出，再利用余弦定理得，從而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，，得到，所以，由正弦定理，得到，又，所以.（2）設(shè)，因?yàn)椋裕?，所以，由余弦定理，，所以?dāng)時(shí)，取到最大值.21．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，用坐標(biāo)表示出已知關(guān)系化簡(jiǎn)即得；（2）設(shè)，直線方程為代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，再由向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示得出的關(guān)系，結(jié)合越來可求得值．【詳解】（1）設(shè)，由題意得，化簡(jiǎn)得:.（2）設(shè)：，與聯(lián)立得，，因?yàn)椋瑒t定點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則該直線與橢圓必有兩交點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以，即，所以③，由①③得，將④⑤代入②，得，化?jiǎn)得，，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，再根據(jù)向量關(guān)系式，從而解出，最后得到關(guān)于的方程，解出即可.22．(1)(2)答案見解析(3)答