數(shù)列不等式的放縮問題 （7大核心考點）（講義）（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題10數(shù)列不等式的放縮問題【目錄】 1 2 3 4 10考點一：先求和后放縮 10考點二：裂項放縮 13考點三：等比放縮 16考點四：型不等式的證明 18考點五：型不等式的證明 22考點六：型不等式的證明 25考點七：型不等式的證明 29數(shù)列放縮是高考重點考查的內(nèi)容之一，數(shù)列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩(wěn)定在中等偏難程度.此類問題往往從通項公式入手，若需要放縮也是考慮對通項公式進(jìn)行變形；在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向可裂項相消的數(shù)列與等比數(shù)列進(jìn)行靠攏．考點要求考題統(tǒng)計考情分析數(shù)列不等式2023年II卷第18題，12分2022年I卷第17題，10分2021年乙卷第19題，12分2021年II卷第17題，10分2021年浙江卷第20題，15分【命題預(yù)測】預(yù)測2024年高考，多以解答題形式出現(xiàn)，具體估計為：（1）導(dǎo)數(shù)壓軸題第二問，利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式，難度較大．（2）數(shù)列解答題第二問，難度中等偏上，屬綜合性問題．常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．（15）二項式定理①由于，于是②，；，（16）糖水不等式若，則；若，則．1．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）證明：當(dāng)時，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，為的前項和，，，則，即，解得，故；（2）證明：由（1）可知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，，當(dāng)為奇數(shù)時，，，，故原式得證．2．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，所以，整理得，①，故當(dāng)時，，②，①②得：，故，化簡得：，，，，；所以，故（首項符合通項）．所以．證明：（2）由于，所以，所以．3．（2021?乙卷）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前項和．證明：．【解析】（1），，成等差數(shù)列，，是首項為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，，．（2）證明：由（1）知，，，，①，②①②得，，，，．4．（2021?天津）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64．?dāng)?shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，．證明：是等比數(shù)列；證明：．【解析】證明：（1）由數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64，可得，解得，所以，；由數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，，可得，解得舍去），所以，；（2）證明：因為，，所以，則，所以，又，所以數(shù)列是以8為首項，4為公比的等比數(shù)列；證明：設(shè)，考慮，則，所以，則，兩式相減可得，，所以，則，故．5．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．【解析】（Ⅰ）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，故，根據(jù)可得，整理得，可得不合題意），故．（Ⅱ），，，，即，整理可得，當(dāng)或時，成立，由于為正整數(shù)，故的最小正值為7．6．（2021?浙江）已知數(shù)列的前項和為，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）由可得，兩式作差，可得：，，很明顯，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，其通項公式為：．（Ⅱ）由，得，，，兩式作差可得：，則．據(jù)此可得恒成立，即恒成立．時不等式成立；時，，由于時，故；時，，而，故：；綜上可得，．考點一：先求和后放縮例1．（2023·廣西玉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，已知，．(1)證明：當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．【解析】（1）證明：因為，，為數(shù)列的前項和，當(dāng)時，，當(dāng)時，由①，可得②，①②可得，即，所以，，又因為，則當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為，即當(dāng)時，，則，不滿足，所以，.（2）證明：，則.綜上，對任意的，.例2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．【解析】（1）由成等比數(shù)列，得，所以．整理，得，則．又，所以是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以，即．當(dāng)時，，所以．當(dāng)時，不符合上式．故.（2）由（1）可知，，所以，所以，故．例3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，數(shù)列的前n項和為，證明：．【解析】（1）由得，則當(dāng)時，有，兩式相減得，整理得，即，因此數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）及可得，因此．于是，所以，由于，所以，故．例4．（2023·遼寧大連·高三校聯(lián)考期中）已知為數(shù)列的前項和，，，記.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，記數(shù)列的前項和為，求證：.【解析】（1）由，得，，則，，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，.（2），，，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，由，可知是遞增數(shù)列，，綜上，.考點二：裂項放縮例5．（2023·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為2，且滿足(1)求和的通項公式(2)記集合，若集合的元素個數(shù)為2，求實數(shù)的取值范圍．(3)設(shè)，證明：．【解析】（1）由可得：時，，相減可得，故，當(dāng)時，也符合上式，故，由可得，所以數(shù)列為公差為0的等差數(shù)列，且首項為2，所以，則.（2）由和可得，記，則，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，而,由于集合M的元素個數(shù)為2，所以，故.（3）由得，，由于，因此.例6．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，，且．(1)令，求；(2)記的前n和為，求證：．【解析】（1）因為，所以，因為，所以，因為，所以時，，也適合，所以．（2）因為，故，又因為，則，可知，所以，而，所以，所以，所以，所以．例7．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期中）已知正項數(shù)列中，，前項和為，且__________.請在①②中任選一個條件填在題目橫線上，再作答：①，②.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.【解析】（1）若選①:由，得，即，因為為正項數(shù)列，所以，是公差為2的等差數(shù)列，由，得；若選②：，當(dāng)時，，兩式作差得：，則，兩式作差得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，時，，可得，公差，則；（2）由（1）知，，又，考點三：等比放縮例8．（2023·山東青島·高三山東省青島第十九中學(xué)?？计谥校?shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足：，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)數(shù)列和的公共項組成的數(shù)列記為，求的通項公式；(3)記數(shù)列的前項和為，證明：【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由可得，易知，所以，解得；又可得，可得；由可得，即；因此可得，；所以數(shù)列和的通項公式為.（2）數(shù)列和的公共項需滿足，可得，即是4的整數(shù)倍，可知，由二項式定理可知若是4的倍數(shù)，則為正數(shù)，即；所以可得，即的通項公式為（3）易知，顯然對于都成立，所以對于都成立，即，即可得.例9．（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求；(2)若，記數(shù)列的前n項和為，求證：．【解析】（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，，則，因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即；（2）由（1）知，依題意，因為，，則，即；因為，所以，而，故，即．綜上所述，．例10．（2023·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項，是與的等差中項．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)證明：．【解析】（1）由題設(shè)，又，所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，則，顯然時成立，當(dāng)有，此時，綜上，，得證.考點四：型不等式的證明例11．（2023·北京通州·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足（，且）.(1)若；（i）請寫出一個滿足條件的數(shù)列的前四項；（ii）求證：存在，使得成立；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.【解析】（1）（i）∵即，又，則，∴滿足條件的數(shù)列的前四項可以為：.（ii）∵（，且），∴，，，，累加得，則，則，∵，∴，不妨令，故存在，使得成立；（2）由（1）知：，同理∵即，∴，，，∴，則則，，，，，累加得：，故：.例12．（2023·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考期中）“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”，“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》，用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.“大衍數(shù)列”的前幾項分別是：0，2，4，8，12，18，24，…，且滿足其中.(1)求（用表示）；(2)設(shè)數(shù)列滿足：其中，是的前項的積，求證：，.【解析】（1），∴.（2）由（1）知，，，而也滿足上式，故，∴且，故且，即，∴，則，令且，則，即在上遞減，所以，即在上恒成立，故（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，，即，，證畢.例13．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項之積為，滿足（）.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項之和為，證明：.【解析】（1）∵數(shù)列的前n項之積為，滿足（），時，，解得.∴時，，化為，變形為，又，∴，，數(shù)列是首項為4公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）先證明左邊：即證明，由（1）可得：，解得，又由，解得，又，所以，再證明右邊：.∴，下面證明，即證明，設(shè)，，則，即證明，.設(shè)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，，∴.∴.例14．（2023·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，記，分別是數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．【解析】（1）由題意設(shè)的公比為q（），則，∴，由，解得，∴；（2）由（1）得，①當(dāng)（）時，；②當(dāng)（）時，；綜上，當(dāng)時，．考點五：型不等式的證明例15．（2023·廣東佛山·高一佛山一中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，且，（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記，求；（3）是否存在實數(shù)k，使得對任意都成立？若存在，求實數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為，所以，即，所以，所以是等差數(shù)列，公差為2，，，所以．（2）由（1），所以．（3）假設(shè)存在實數(shù)k，使得對任意都成立，因為，所以，不等式化為，，設(shè)，設(shè)，則，，，所以，所以是遞增數(shù)列，，所以．所以存在實數(shù)k，使得對任意都成立，且．例16．（2023·福建廈門·高一廈門外國語學(xué)校階段練習(xí)）已知數(shù)列的滿足，且,記.(1)求證：為等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)，求的值；(3)是否存在正實數(shù)，使得對任意都成立？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1),所以是以為首項，2為公差的等差數(shù)列,.（2）,,.(3)左邊,由題意可知,對任意恒成立,令,則由對鉤函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故，綜上可以，即正實數(shù)的取值范圍為.例17．（2023·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，令.(1)試證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)是否存在常數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列？請說明理由.(3)令，是否存在實數(shù)，使得對一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由，得，即,故，而，∴，即，∴數(shù)列是以首項為，公差為1的等差數(shù)列，故．（2）由（1），設(shè)，若存在常數(shù)c，使是等比數(shù)列，則，即，解得.經(jīng)檢驗，c=0復(fù)合題意，所以，存在唯一的常數(shù)，使是等比數(shù)列.（3）設(shè)，則.∵∴，即數(shù)列是遞減數(shù)列，故．要使不等式對一切都成立，只要，即，，解得.因此，存在大于實數(shù)，使不等式對一切都成立．考點六：型不等式的證明例18．（2023·福建·高二福建師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)的最小值為0，其中．(1)求的值；(2)若對任意的，有成立，求實數(shù)的最小值；(3)證明：．【解析】（1）由函數(shù)，則其定義域為，且.由，得:，又由，得:，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，；（2）設(shè)，則在恒成立等價于，注意到，又，①當(dāng)時，由得.在單減，單增，這與式矛盾；②當(dāng)時，在恒成立，符合，的最小值為；（3）由（2）知：令得：，令得：當(dāng)時，(1)；當(dāng)時，，，，將(1)(2)(3),,(n)式相加得：不等式左邊：；不等式右邊：；所以.例19．（2023·廣東東莞·高三東莞市東莞中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，.數(shù)列滿足：（）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)證明：.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，又.（2）所以，所以，且，所以數(shù)列是首項為8，公比為的等比數(shù)列；（3）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，．(1)求的通項公式；(2)證明：．【解析】（1）對任意的，當(dāng)時，，兩式相減．整理得，當(dāng)時，，也滿足，從而．（2）證明：證法一：因為，所以，．從而；證法二：因為，所以，，證畢.考點七：型不等式的證明例21．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．（1）求的最大值；（2）設(shè)，是曲線的一條切線，證明：曲線上的任意一點都不可能在直線的上方；（3）求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）．【解析】（Ⅰ）的定義域為，，令，得．當(dāng)時，，∴在上是增函數(shù)，當(dāng)時，，∴在上是減函數(shù)，故在處取得最大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，設(shè)是曲線上的一點，則在點處的切線方程為，即，令則，∵，在上是減函數(shù)，∴在處取得最大值，即恒成立，故曲線上的任意一點不可能在直線的上方．（3）由（1）知在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，