第1章 利息的基本概念0

金融數(shù)學(xué)考情分析1．考查內(nèi)容（1）利息理論（分?jǐn)?shù)比例約為30%）（2）利率期限結(jié)構(gòu)與隨機利率模型（分?jǐn)?shù)比例16%）（3）金融衍生工具定價理論（分?jǐn)?shù)比例26%）（4）投資理論（分?jǐn)?shù)比例28%）2．考試方式考試采用閉卷方式進(jìn)行，題型為客觀題（一般30題單項選擇），考試時間為3小時，滿分100分，最后按10分制計，6分以上（包括6分）為及格。3．講解內(nèi)容（1）結(jié)合最新大綱講解知識點（2）結(jié)合經(jīng)典例題及歷年考試真題剖析?？伎键c4．指定教材及推薦教輔（1）指定參考書：《金融數(shù)學(xué)》，徐景峰主編，楊靜平主審，中國財政經(jīng)濟(jì)出版社，2010年（2）推薦教輔：《金融數(shù)學(xué)過關(guān)必做1000題（含歷年真題）》，圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)主編，2011年第一篇

利息理論

第1章利息的基本概念

【考試要求】

1.1利息度量

實際利率單利和復(fù)利實際貼現(xiàn)率名義利率和名義貼現(xiàn)率利息力

1.2利息問題求解

價值等式投資期的確定未知時間問題未知利率問題

【要點詳解】

§1.1利息度量

1．實際利率

（1）本金：每項業(yè)務(wù)開始時投資的金額。（2）積累值（或終值）：業(yè)務(wù)在一定時間后回收到的總金額。（3）積累函數(shù)a（t）：是指0時刻的本金1在時刻t的積累值。顯然，a（0）=1，且a（t）通常為單增函數(shù)。（4）總量函數(shù)A（t）：是指本金為k的投資在時刻t≥0時的積累值。顯然，A（t）=k·a（t）。（5）折現(xiàn)函數(shù)a-1（t）：積累函數(shù)a（t）的倒數(shù)。

特別地，把一期折現(xiàn)因子a-1（1）簡稱為折現(xiàn)因子，并記為v。（6）現(xiàn)值（或折現(xiàn)值）：是指為在t期末得到某個積累值，而在開始投資的本金金額。

顯然，a-1（t）是在t期末支付1的現(xiàn)值。

（7）把從投資日起第n個時期所得到的利息金額記為In，則：

注意：In是指一個時間區(qū)間上所得利息的量，而A（n）則是在某一特定時刻的積累量。

（8）實際利率

①對于一個度量期：某一度量期的實際利率，是指該度量期內(nèi)得到的利息金額與此度量期開始時投資的本金金額之比。通常用字母i來表示實際利率。

②對于多個度量期：把從投資日算起第n個度量期的實際利率記為in，則：

【例題1.1】已知A（t）=t2+2t+3，要使in≤10%，則n至少等于（）。[2008年春季真題]

A．18

B．19

C．20

D．21

E．22

【答案】D

【解析】由已知A（t）=t2+2t+3，得：令in≤10%，得：即n2－20n－8≥0，

解得：n≥20.39，故取n=21。

2．單利和復(fù)利

（1）單利

如果一單位本金在t時的積累值a（t）=1+i·t，那么就說該比投資以每期單利i計息，并將這樣產(chǎn)生的利息稱為單利。

（2）復(fù)利

如果一單位本金在t時的積累值a（t）=（1+i）t，那么就說該筆投資以每期復(fù)利i計息，并將這樣產(chǎn)生的利息稱為復(fù)利。

（3）①以每期單利i計息時，第n期的實際利率為

顯然，常數(shù)的單利意味著遞減的實際利率。

②以每期復(fù)利i計息時，第n期的實際利率為

顯然，常數(shù)的復(fù)利意味著常數(shù)的實際利率。

【例題1.2】某人初始投資額為100，假定年復(fù)利為4%，則這個人從第6年到第10年的5年間所賺利息為（）。[2008年春季真題]

A．26

B．27

C．28

D．29

E．30

【答案】A

【解析】從第6年到第10年的5年間所賺利息為：

100[（1+0.04）10－（1+0.04）5]=26

3．實際貼現(xiàn)率

（1）某一度量期的實際貼現(xiàn)率：是指該度量期內(nèi)取得的利息金額與期末的投資可回收金額之比。通常用字母d來表示實際貼現(xiàn)率。

（2）對于有多個度量期的情形，可以分別定義各個度量期的實際貼現(xiàn)率，令dn為從投資日算起第n個時期的實際貼現(xiàn)率，則

（3）三個重要關(guān)系

①實際利率i與實際貼現(xiàn)率d的關(guān)系：

②實際貼現(xiàn)率d與實際利率i的關(guān)系：

③貼現(xiàn)率d與折現(xiàn)因子v的關(guān)系：

d=iv

（4）單貼現(xiàn)、復(fù)貼現(xiàn)

①對于單貼現(xiàn)，第n期的實際貼現(xiàn)率為：顯然，常數(shù)的單貼現(xiàn)率意味著單增的實際貼現(xiàn)率。

②對于復(fù)貼現(xiàn)，第n期的實際貼現(xiàn)率為：

顯然，常數(shù)的復(fù)貼現(xiàn)率意味著常數(shù)的實際貼現(xiàn)率。

【例題1.3】已知年利率為9%，為了在第三年末得到1000元，分別用單利和復(fù)利進(jìn)行計算，在開始時必須投資（）元。

A．785.0；768.0

B．786.2；770.2

C．787.4；772.2

D．788.6；774.3

E．789.7；776.5

【答案】C

【解析】①按單利計算：②按復(fù)利計算：

4．名義利率與名義貼現(xiàn)率

（1）定義：在一個度量期中利息支付不止一次或在多個度量期利息才支付一次，稱相應(yīng)的一個度量期的利率和貼現(xiàn)率為“名義”的。記i（m）為每一度量期付m次利息的名義利率，d（m）為每一度量期付m次利息的名義貼現(xiàn)率。（2）三個重要關(guān)系

①名義利率i（m）與實際利率i之間的關(guān)系：

②名義貼現(xiàn)率d（m）與實際貼現(xiàn)率d之間的關(guān)系：

③名義利率i（m）與名義貼現(xiàn)率d（m）之間的關(guān)系：

【例題1.4】假定名義利率為每季度計息一次的年名義利率6%，則1000元在3年末的積累值為（）元。[2008年春季真題]

A．1065.2

B．1089.4

C．1137.3

D．1195.6

E．1220.1

【答案】D

【解析】1000元在3年末的積累值為：

【例題1.5】已知在未來三年中，銀行第一年的實際利率為7.5%，第二年按計息兩次的名義利率12%計息，第三年按計息四次的名義利率12.5%計息，某人為了在第三年未得到500000元的款項，第一年初需要存入銀行多少？（）[2011年春季真題]

A．365001

B．365389

C．366011

D．366718

E．367282

【答案】C

【解析】設(shè)第一年初需存入銀行X元，則得：X=366010.853。

【例題1.6】已知，則m=（）。

A．30

B．33

C．35

D．37

E．40

【答案】A

【解析】由已知條件，得：

又由，可得：故m=30。

5．利息力

（1）定義：對利息在各個時間點上的度量稱為利息力。即定義

為t時刻的利息力。由δt的定義可知，δt為t時每一單位資金的變化率。（2）應(yīng)用：（3）在利息力為常數(shù)的情況下，δ與i的關(guān)系為：

【例題1.7】已知0時刻在基金A中投資一元到t時刻的積累值為1.5t+1，在基金B(yǎng)中投資一元到3t時刻的積累值為9t2-3t+1元，假設(shè)在t時刻基金B(yǎng)的利息力為基金A的利息力的兩倍，則0時刻在基金B(yǎng)中投資10000元，在7t時刻的積累值為（）。[2011年春季真題]

A．566901

B．567902

C．569100

D．570000

E．570292

【答案】D

【解析】由題意知，

又因為

即

解得t=8/7，因此

【例題1.8】已知，則第10年的d（2）等于（）。[2008年春季真題]

A．0.1671

B．0.1688

C．0.1715

D．0.1818

E．0.1874

【答案】D

【解析】由已知條件得：，所以，

又，故。

【例題1.9】己知δt=abt，其中a>0，b>0為常數(shù)，則積累函數(shù)a（t）為（）。[2008年春季真題]

【答案】E

【解析】

【例題1.10】甲基金以月度轉(zhuǎn)換12%的利率積累，乙基金以利息力δt=t/6積累，期初存入兩支基金相等的金額，則兩支基金金額相等的下一個時刻為（）。[2008年春季真題]

A．1.4328

B．1.4335

C．1.4362

D．1.4371

E．1.4386

【答案】A

【解析】不妨設(shè)期初存入的金額為1，則甲基金的積累值為：乙基金的積累值為：由S1（t）=S2（t），得：，解得：t=1.4328。

【例題1.11】基金A在利息力函數(shù)δt=a+bt下積累，基金B(yǎng)在利息力函數(shù)δt=g+ht下積累，在t＝0和t＝n時，基金A與基金B(yǎng)價值相等。已知a＞g＞0，h＞b＞0，計算n=（）。

【答案】C

【解析】t＝n時，基金A的積累值為：，基金B(yǎng)的積累值為：，已知t＝n時基金A與基金B(yǎng)價值相等，即：解得：。

§1.2利息問題求解

1．價值等式

通常，一個簡單的利息問題包括以下四個基本量：（1）最初投資的本金；（2）投資時期的長度；（3）利率；（4）本金在投資期末的積累值。如果已知其中的任何三個，就可以建立一個價值等式，由此等式確定第四個量。

【例題1.12】甲基金按6%的年利率增長，乙基金按8%的年利率增長，在第20年的年末兩個基金之和為2000，在第10年末甲基金是乙基金的一半，則第5年年末兩基金之和為（）。[2008年春季真題]

A．652.86

B．663.24

C．674.55

D．682.54

E．690.30

【答案】E

【解析】設(shè)甲、乙基金分別為P、R，則有：解方程組，得：故第5年年末兩基金之和為：

【例題1.13】某賬戶在2008年1月1日有一筆存款，4月1日取走50元，7月1日存入100元，9月1日存入30元，到了2009年1月1日，賬戶內(nèi)金額為1051元，該年度的基金收益率為1.12%。則2008年1月1日的存款及2008年度獲得的利息分別為（）元。

A．955；10

B．960；11

C．965；12

D．970；13

E．975；14

【答案】B

【解析】設(shè)2008年1月1日的存款為A元，又i=0.0112，由題意，得：解之，得：A=959.95≈960；故2008年度獲得的利息為：1051－960－100－30+50=11（元）。

2．投資期的確定

（1）年數(shù)：在實際問題中常常會遇到投資時期不為整數(shù)個度量期的情況，通常定義：

由于一般在投資期不足一個度量期的情況下，通常使用單利來計息，因此計算利息的基本公式可表示為：利息=金額×利率×年數(shù)（2）對國際金融領(lǐng)域來說，目前常用的方法有以下三種：

①嚴(yán)格單利法（英國法）。計算公式為：

②常規(guī)單利法（歐洲大陸法，常記為“30/360”）。計算公式為：天數(shù)=360（Y2－Y1）＋30（M2－M1）＋（D2－D1）（1.10）其中：Y1為第一日期的年份；Y2為第二日期的年份；

M1為第一日期的月份；M2為第二日期的月份；

D1為第一日期的日期；D2為第二日期的日期。

③銀行家規(guī)則（歐洲貨幣法，常記為“實際/360”）。計算公式為：

【例題1.14】王女士在2008年3月13日存入1000元，于2008年的11月27日取出，利率為單利8%。則分別按英國法和銀行家規(guī)則計算其利息金額為（）元。

A．53.8；54.6

B．54.8；55.6

C．55.8；56.6

D．56.2；57.6

E．56.8；57.6

【答案】E

【解析】①按英國法計算：天數(shù)=31+30+31+30+31+31+30+31+14=259（天），年數(shù)=259/365=0.71。故利息金額為：I1=1000×8%×0.71=56.8（元）；

②按銀行家規(guī)則計算：天數(shù)=259天，年數(shù)=259/360=0.72。故利息金額為：I2=1000×8%×0.72=57.6（元）。

3．未知時間問題

（1）對于只有一次付款的未知時間問題，常用的方法有：

①使用計算機或具有指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的計算器，此方法是最簡單和最有效的；

②利用復(fù)利函數(shù)表；

③級數(shù)展開法；

④對整數(shù)時期用復(fù)利，對非整數(shù)時期用單利近似。（2）不同時刻的多次付款情形，可以利用等時間法：設(shè)在t1，t1，…，tn時分別付出s1，s1，…，sn，在等時間法下的t近似為：

【例題1.15】在第n年末付款n，第2n年末付款2n，第mn年末付款mn。則按等時間法確定的t的近似值為（）。

【答案】C

【解析】

4．未知利率問題

（1）單次付款的未知利率問題可直接由價值等式，借助具有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的計算器來得到利率的數(shù)值解。（2）多次付款的未知利率問題特殊情況下可用代數(shù)方法解價值方程；一般情況，有以下兩種方法：

①線性插值法：先利用復(fù)利表，確定兩個