新教材數(shù)學(xué)高中必修一課時素養(yǎng)評價(jià)5-4-2第2課時函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

課時素養(yǎng)評價(jià)二十六函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(15分鐘35分)1.已知函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=x22x+3,則當(dāng)x<0時,f(x)的解析式是 ()A.f(x)=x2+2x3B.f(x)=x22x3C.f(x)=x22x+3D.f(x)=x22x+3【解析】選B.若x<0,則x>0,因?yàn)楫?dāng)x>0時,f(x)=x22x+3,所以f(x)=x2+2x+3,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(x)=x2+2x+3=f(x),所以f(x)=x22x3,所以x<0時,f(x)=x22x3.2.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=x2+3x+1,則f(x)等于 ()A.x2 B.2x2 C.2x2+2 D.x2+1【解析】選D.因?yàn)閒(x)+g(x)=x2+3x+1,①所以f(x)+g(x)=x23x+1.又f(x)是偶函數(shù),且g(x)是奇函數(shù),所以f(x)g(x)=x23x+1.②由①②聯(lián)立,得f(x)=x2+1.3.設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),若x1<0且x1+x2>0,則 ()A.f(x1)>f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)<f(x2)D.f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系不確定【解析】選A.因?yàn)閤2>x1>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x2)<f(x1).又f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(x2)=f(x2),所以f(x2)<f(x1).4.函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),f(3)<f(2a+1),則a的取值范圍是 ()A.a>1 B.a<2C.a>1或a<2 D.1<a<2【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在實(shí)數(shù)集上是偶函數(shù),且f(3)<f(2a+1),所以f(3)<f(|2a+1|),又函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以3<|2a+1|,解得a>1或a<2.5.函數(shù)f(x)在R上為偶函數(shù),且x>0時,f(x)=QUOTE+1,則當(dāng)x<0時,f(x)=________.

【解析】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),x>0時,f(x)=QUOTE+1,所以當(dāng)x<0時,x>0,f(x)=f(x)=QUOTE+1,即x<0時,f(x)=QUOTE+1.答案:QUOTE+16.設(shè)f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)=QUOTE,求函數(shù)f(x),g(x)的解析式.【解析】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),所以f(x)=f(x),g(x)=g(x).由f(x)+g(x)=QUOTE,①用x代替x得f(x)+g(x)=QUOTE,所以f(x)g(x)=QUOTE,②(①+②)÷2,得f(x)=QUOTE;(①②)÷2,得g(x)=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若奇函數(shù)f(x)在(∞,0)上的解析式為f(x)=x(1+x),則f(x)在(0,+∞)上有()A.最大值QUOTE B.最大值QUOTEC.最小值QUOTE D.最小值QUOTE【解析】選B.方法一(直接法):當(dāng)x>0時,x<0,所以f(x)=x(1x).又f(x)=f(x),所以f(x)=x(1x)=x2+x=QUOTE+QUOTE,所以f(x)有最大值QUOTE.方法二(奇函數(shù)的圖象特征):當(dāng)x<0時,f(x)=x2+x=QUOTEQUOTE,所以f(x)有最小值QUOTE,因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)x>0時,f(x)有最大值QUOTE.2.(2020·泰安高一檢測)設(shè)F(x)=f(x)+f(x),x∈R,若QUOTE是函數(shù)F(x)的增區(qū)間,則一定是F(x)的減區(qū)間的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)镕(x)=F(x),所以F(x)是偶函數(shù),因而在QUOTE上F(x)是減函數(shù).3.若f(x)是偶函數(shù),其定義域?yàn)?∞,+∞),且在[0,+∞)上是減函數(shù),則fQUOTE與fQUOTE的大小關(guān)系是 ()A.fQUOTE>fQUOTEB.fQUOTE<fQUOTEC.fQUOTE≥fQUOTED.fQUOTE≤fQUOTE【解析】選C.因?yàn)閍2+2a+QUOTE=(a+1)2+QUOTE≥QUOTE,又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),且在[0,+∞)上是減函數(shù),所以fQUOTE≤fQUOTE=fQUOTE.4.(2020·襄陽高一檢測)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù),則滿足f(2x1)>fQUOTE的實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù),且滿足f(2x1)>fQUOTE,所以不等式等價(jià)為f(|2x1|)>fQUOTE,即|2x1|<QUOTE,所以QUOTE<2x1<QUOTE,計(jì)算得出QUOTE<x<QUOTE,故x的取值范圍是QUOTE.【誤區(qū)警示】利用偶函數(shù)的單調(diào)性解不等式,別忘了轉(zhuǎn)化為絕對值不等式求解.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),定義域?yàn)镽,且該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)有3個,則下列說法正確的是 ()A.3個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0B.3個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和不是定值,與函數(shù)解析式有關(guān)C.f(0)=0D.f(0)的值不能確定【解析】選AC.由于偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,若(x0,0)是函數(shù)與x軸的交點(diǎn),則(x0,0)一定也是函數(shù)與x軸的交點(diǎn),當(dāng)交點(diǎn)個數(shù)為3個時,有一個交點(diǎn)一定是原點(diǎn),從而AC正確.6.設(shè)y=f(x)為偶函數(shù),且在區(qū)間(∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,f(2)=0,則下列區(qū)間中使得xf(x)<0的有 ()A.(1,1) B.(0,2)C.(2,0) D.(2,4)【解析】選CD.根據(jù)題意,偶函數(shù)f(x)在(∞,0)上是增函數(shù),又f(2)=0,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),且f(2)=f(2)=0,函數(shù)f(x)的草圖如圖,又由xf(x)<0?QUOTE或QUOTE,由圖可得2<x<0或x>2,即不等式的解集為(2,0)∪(2,+∞).三、填空題(每小題5分,共10分)7.如果函數(shù)F(x)=QUOTE是奇函數(shù),則f(x)=________.

【解題指南】根據(jù)求誰設(shè)誰的原則,設(shè)x<0,根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出x<0時的解析式.【解析】當(dāng)x<0時,x>0,F(x)=2x3,又F(x)為奇函數(shù),故F(x)=F(x),所以F(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.答案:2x+3【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),它在[0,1]上的圖象如圖.則它在[1,0]上的解析式為________.

【解析】由題意知f(x)在[1,0]上為一條線段,且過(1,1),(0,2),設(shè)f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2.所以f(x)=x+2.答案:f(x)=x+28.(2020·南京高一檢測)已知y=f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x25x,則f(x1)>f(x)的解集為________.

【解析】根據(jù)題意,設(shè)x<0,則x>0,所以f(x)=x2+5x,又由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)=f(x)=x25x,則有f(x)=QUOTE其圖象如圖:則f(x)在QUOTE上是減函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=x25x,其對稱軸為x=QUOTE,當(dāng)x≥0時,f(x)=x25x,其對稱軸為x=QUOTE,若f(x1)>f(x),則有3<x1<QUOTE<x或QUOTE≤x1<x≤QUOTE或x1<QUOTE<x<3,解得:2<x<3,即不等式的解集為(2,3).答案:(2,3)四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=x2+2x.(1)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式.(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象.(3)根據(jù)圖象,寫出函數(shù)f(x)的減區(qū)間及值域.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),所以f(x)=f(x).當(dāng)x<0時,x>0,所以f(x)=f(x)=x22x.綜上,f(x)=QUOTE(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:(3)由(2)中圖象可知,f(x)的減區(qū)間為[1,0],[1,+∞),函數(shù)f(x)的值域?yàn)?∞,1].10.函數(shù)f(x)=QUOTE,(1)判斷函數(shù)是否具有奇偶性.(2)判斷函數(shù)在(∞,0)上的單調(diào)性,并證明.【解析】(1)f(x)=QUOTE的定義域?yàn)閧x|x≠0},因?yàn)閷τ谌我鈞∈{x|x≠0},都有x∈{x|x≠0},且f(x)=QUOTE=QUOTE=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).(2)函數(shù)f(x)在(∞,0)上是增函數(shù),證明如下:任取(∞,0)上的任意兩個值x1,x2,且x1<x2,所以f(x1)f(x2)=QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閤1,x2∈(∞,0),且x1<x2,所以x2x1>0,x2+x1<0,所以QUOTE<0,即f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(∞,0)上是增函數(shù).1.已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x24x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是________.

【解析】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(|x+2|)=f(x+2),則f(x+2)<5可化為f(|x+2|)<5,則|x+2|24|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|5)<0,所以|x+2|<5,解得7<x<3,所以不等式f(x+2)<5的解集是(7,3).答案:(7,3)2.(2020·南京高一檢測)已知偶函數(shù)f(x)=QUOTE的定義域?yàn)镋,值域?yàn)镕.(1)求實(shí)數(shù)b的值;(2)若E={1,2,a},F=QUOTE,求實(shí)數(shù)a的值.(3)若E=QUOTE,F=[23m,23n],求m,n的值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(x),即QUOTE=QUOTE,所以b=1;(2)因?yàn)閒(2)=QUOTE,f(1)=0,所以①令f(a)=0,即QUOTE=0,a=±1,a=1不滿足集合的互異性,故a=1;②令f(a)=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,a=±2,a=2不滿足集合的互異性,故a=2,綜上,a=1或2;(3)因?yàn)閒(x)=QUOTE是偶函數(shù),且f(x)=1QUOTE,所以函數(shù)f(x)