遼寧省錦州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列對(duì)事件的表述正確的是（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C.與相互獨(dú)立 D.4.已知，下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.5.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）A.0.8 B.0.9 C.1.2 D.1.36.已知函數(shù)是定義域?yàn)榕己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，則（）A. B.C. D.7.如圖，在梯形中，直線交于點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)則（）A. B. C. D.8.設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，，，則稱為高斯函數(shù).已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某公司為了解用戶對(duì)其一款產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了10名用戶的滿意度評(píng)分，滿意度最低為0分，最高為10分，分?jǐn)?shù)越高表示滿意度越高.這10名用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：.則下列說(shuō)法正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7B.這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為8C.這組數(shù)據(jù)的極差為6D.這組數(shù)據(jù)的方差為3.210.若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)锽.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)有最小值的充要條件為D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是12.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)分別為三角形的外心?重心?垂心，且為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則__________.14.已知甲?乙?丙三人投籃的命中率分別為，，，若甲?乙?丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至少有一人命中的概率為_(kāi)_________.15.已知實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi)_________.16.已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且，則的取值范圍為_(kāi)_________；的取值范圍為_(kāi)_________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.平面內(nèi)給定兩個(gè)向量，.（1）若，求實(shí)數(shù)；（2）若向量為單位向量，且，求的坐標(biāo).18.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問(wèn)題.設(shè)全集，__________，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知且.（1）求函數(shù)的解析式，并寫出函數(shù)圖象恒過(guò)的定點(diǎn)；（2）若，求證：.20.某高中為了解木校高一年級(jí)學(xué)塵的綜合素養(yǎng)情況，從高年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生作為樣本，進(jìn)行了“綜合素養(yǎng)測(cè)評(píng)”，根據(jù)測(cè)評(píng)結(jié)果繪制了測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方閣和頻數(shù)分布表，如下圖.4101284（1）求的值；（2）由頻率分布直方圖分別估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生綜合素養(yǎng)成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.01）?平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）在選取的樣本中，從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，求抽取的兩名學(xué)生成績(jī)屬于同一組的概率.21.某高校為舉辦百年校慶，需要氦氣用于制作氣球裝飾校園，化學(xué)實(shí)驗(yàn)社團(tuán)主動(dòng)承擔(dān)了這一任務(wù)．社團(tuán)已有設(shè)備每天最多可制備氦氣，按計(jì)劃社團(tuán)必須在天內(nèi)制備完畢．社團(tuán)成員接到任務(wù)后，立即以每天的速度制備氦氣．已知每制備氦氣所需的原料成本為百元．若氦氣日產(chǎn)量不足，日均額外成本為（百元）；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，日均額外成本為（百元）．制備成本由原料成本和額外成本兩部分組成．（1）寫出總成本（百元）關(guān)于日產(chǎn)量關(guān)系式（2）當(dāng)社團(tuán)每天制備多少升氦氣時(shí)，總成本最少？并求出最低成本．22已知函數(shù)，且滿足.（1）求實(shí)數(shù)值；（2）若函數(shù)的圖像與直線的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先寫出集合，再利用集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】，，.故選：B.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定求解.【詳解】全稱量詞命題否定是存在量詞命題，因?yàn)槊}“”是全稱量詞的命題，則“”的否定為“”.故選：D.3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列對(duì)事件的表述正確的是（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C.與相互獨(dú)立 D.【答案】C【解析】【分析】列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），所以與不互斥，且不對(duì)立，故A、B錯(cuò)誤；又，所以，所以與相互獨(dú)立，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知，下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)于AB：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析求解；對(duì)于CD：舉反例說(shuō)明即可.【詳解】因，可得，則，故A錯(cuò)誤，B正確；例如，可得，故C錯(cuò)誤；例如，可得，即，故D錯(cuò)誤；故選：B.5.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）A.0.8 B.0.9 C.1.2 D.1.3【答案】A【解析】【分析】由題中等式和對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化運(yùn)算得出.【詳解】因?yàn)?，所以，代入?shù)據(jù)可得，故選：A.6.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)可知，在內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則，又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞減，由在內(nèi)單調(diào)遞增，則；由在內(nèi)單調(diào)遞減，則；由在內(nèi)單調(diào)遞增，則；綜上所述：，所以.故選：D.7.如圖，在梯形中，直線交于點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幾何圖形，對(duì)向量做加減線性運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以,所以=.故選：D.8.設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，，，則稱為高斯函數(shù).已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可知為奇函數(shù)，利用分離常數(shù)法可得的值域，由表示不超過(guò)的最大整數(shù)可求得的值域.【詳解】由題意可知，且，，所以為奇函數(shù)，又因?yàn)?，，，所以的值域?yàn)?，根?jù)表示不超過(guò)的最大整數(shù)可知當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上的值域?yàn)?，故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某公司為了解用戶對(duì)其一款產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了10名用戶的滿意度評(píng)分，滿意度最低為0分，最高為10分，分?jǐn)?shù)越高表示滿意度越高.這10名用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：.則下列說(shuō)法正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)眾數(shù)為7B.這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為8C.這組數(shù)據(jù)的極差為6D.這組數(shù)據(jù)的方差為3.2【答案】ACD【解析】【分析】把這組數(shù)從小到大排列后，再根據(jù)相關(guān)數(shù)字特征的定義求出眾數(shù)、百分位數(shù)、極差和方差.【詳解】這組數(shù)從小到大排列為.對(duì)于A，眾數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以分位?shù)為第8個(gè)數(shù)據(jù)和第9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，極差為，故C正確；對(duì)于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則方差，故D正確.故選：ACD.10.若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由和是的兩個(gè)零點(diǎn)求得，，可判斷選項(xiàng)A和B；然后得到也是函數(shù)的零點(diǎn)，即，可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】和是函數(shù)的零點(diǎn)，，解得，，故A錯(cuò)誤，B正確；，令，得或或，由題知，，即，故C正確；，即，，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)锽.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)有最小值的充要條件為D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A、B，當(dāng)時(shí)，直接求解函數(shù)的定義域和值域即可，對(duì)于C，換元后，只需要即可，對(duì)于D，換元后利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性的方法求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意恒成立，所以的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，所以，的值域?yàn)椋蔄正確，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，令，則，當(dāng)時(shí)，有最小值，反之也成立，故C正確；對(duì)于D，令，則，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)分別為三角形的外心?重心?垂心，且為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由題意可知：可得，根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合三角形各心得性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)槭堑闹匦?，是的外心，是的垂心，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以，對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)槭堑闹匦?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，則，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)點(diǎn)是的外心，所以點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用已知條件得，利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合可得出向量間的關(guān)系.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可列關(guān)系式求解.【詳解】由題意可得，解得，故答案為：14.已知甲?乙?丙三人投籃的命中率分別為，，，若甲?乙?丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至少有一人命中的概率為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，事件和它的對(duì)立事件概率間的關(guān)系，求出結(jié)果.【詳解】甲?乙?丙三人投籃的命中率分別為，，，甲?乙?丙各投籃一次，則他們都沒(méi)有命中的概率為，則至少有一人命中的概率為.故答案為：.15.已知實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】把變形為，再利用乘“1”法和基本不等式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)，取等號(hào).故答案為：.16.已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且，則的取值范圍為_(kāi)_________；的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】①.②.【解析】【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，并作出函數(shù)圖象，結(jié)合方程根的意義及對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】函數(shù)的圖象對(duì)稱軸是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，由，得，因此方程的根即為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，因此方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，的取值范圍是；顯然，當(dāng)時(shí)，或，于是，由，得，即，則，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，即，則，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及同一函數(shù)的幾個(gè)不同自變量值對(duì)應(yīng)函數(shù)值相等問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)圖象性質(zhì)求解.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.平面內(nèi)給定兩個(gè)向量，.（1）若，求實(shí)數(shù)；（2）若向量為單位向量，且，求的坐標(biāo).【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系，列出方程，求出實(shí)數(shù)；（2）根據(jù)平行關(guān)系和模長(zhǎng)，列出方程組，求出的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】，，因?yàn)?，所以，解得；【小?wèn)2詳解】設(shè)向量，因?yàn)橄蛄繛閱挝幌蛄?，所以①，又因?yàn)椋寓?，由①②解得或，所以?18.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問(wèn)題.設(shè)全集，__________，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分式不等式，絕對(duì)值不等式，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即可分別求出三種情形下的集合；（2）對(duì)集合中不等式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)充分必要條件和集合包含關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】若選①：，，即，等價(jià)于，解得，，因?yàn)?，所以，，；若選②：，，解得，，因?yàn)?，所以，，；若選③：，解得，，因?yàn)?，所以，，；【小?wèn)2詳解】由（1）知，，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集.（i）若，即，此時(shí)，所以，等號(hào)不同時(shí)取得，解得.（ii）若，即，則，不合題意舍去；（iii）若，即，此時(shí)，所以，等號(hào)不同時(shí)取得，解得.綜上所述，的取值范圍是.19.已知且.（1）求函數(shù)的解析式，并寫出函數(shù)圖象恒過(guò)的定點(diǎn)；（2）若，求證：.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）用換元法令，代入函數(shù)解析式即可求出；（2）作差，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明.小問(wèn)1詳解】令，得，則，所以令，得，且，因此，函數(shù)圖象恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)橛忠驗(yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以又由，可得，所以，即即.20.某高中為了解木校高一年級(jí)學(xué)塵的綜合素養(yǎng)情況，從高年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生作為樣本，進(jìn)行了“綜合素養(yǎng)測(cè)評(píng)”，根據(jù)測(cè)評(píng)結(jié)果繪制了測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方閣和頻數(shù)分布表，如下圖.4101284（1）求的值；（2）由頻率分布直方圖分別估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生綜合素養(yǎng)成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.01）?平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）在選取的樣本中，從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，求抽取的兩名學(xué)生成績(jī)屬于同一組的概率.【答案】（1），，（2）平均數(shù)，中位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率和頻數(shù)之間的關(guān)系分析求解；（2）根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖運(yùn)算求解；（3）求低于60分的各組人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型分析求解.【小問(wèn)1詳解】由圖知第三組的頻率為0.25，又由第三組的頻數(shù)為10，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：每組的頻率依次為，平均數(shù)，設(shè)中位數(shù)為，且，可知，所以，解的.【小問(wèn)3詳解】記事件：從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人成績(jī)屬于同一組，由（1）知樣本中位于內(nèi)的有兩人，分別記為；位于內(nèi)的有四人，分別記為；從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人的樣本空間，，共包含15個(gè)樣本點(diǎn)，所以共包含7個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人成績(jī)屬于同一組的概率為.21.某高校為舉辦百年校慶，需要氦氣用于制作氣球裝飾校園，化學(xué)實(shí)驗(yàn)社團(tuán)主動(dòng)承擔(dān)了這一任務(wù)．社團(tuán)已有的設(shè)備每天最多可制備氦氣，按計(jì)劃社團(tuán)必須在天內(nèi)制備完畢．社團(tuán)成員接到任務(wù)后，立即以每天的速度制備氦氣．已知每制備氦氣所需的原料成本為百元．若氦氣日產(chǎn)量不足，日均額外成本為（百元）；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，日均額外成本為（百元）．制備成本由原料成本和額外成本兩部分組成．（1）寫出總成