2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)（七省新高考02）（全解全析）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（七省新高考02）數(shù)學(xué)·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法，結(jié)合集合交集的定義進行求解即可.【詳解】∵，∴，則，∴.故選：B2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算從而求解.【詳解】由題意知：，則，所以：.故A項正確.故選：A.3．過拋物線的焦點的直線的傾斜角為，則拋物線頂點到該直線的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由題意首先求得焦點坐標，然后確定直線方程，最后由點到直線距離公式可得距離.【詳解】拋物線的標準方程是，其頂點是，焦點是，由直線的傾斜角得其斜率是，所以直線的方程是，則拋物線的頂點到直線的距離為.故選：.4．某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N(105,σ2)（σ>0），試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為（）A．150 B．200C．300 D．400【答案】C【分析】由已知求出進一步求出則可求出答案.【詳解】此次數(shù)學(xué)考試成績在分到分之間得人數(shù)約為.故選:C.5．光岳樓，又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，在《中國名樓》站臺票紀念冊中，光岳樓與鸛雀樓、黃鶴樓、岳陽樓、太白樓、滕王閣、蓬萊閣、鎮(zhèn)海樓、甲秀樓、大觀樓共同組成中國十大名樓.其墩臺為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，光岳樓的墩臺上底面正方形的邊長約為32m，下底面正方形的邊長約為34.5m，高的4倍比上底面的邊長長4m，則光岳樓墩臺的體積約為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得光岳樓墩臺的高，結(jié)合臺體的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)光岳樓墩臺的高為h，則，所以光岳樓墩臺的體積約為.故選：B.6．《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求：重點任務(wù)B必須排在前三位，且任務(wù)A、D必須排在一起，則這六項任務(wù)的不同安排方案共有(

)A．240種 B．188種 C．156種 D．120種【答案】D【分析】分任務(wù)B排在首位、第2位、第3位三種情況討論即可．【詳解】若任務(wù)B排在首位，則將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個整體和剩下的3個任務(wù)全排列即可，此時共有種方案；若任務(wù)B排在第2位，則第1位可排除A、D外的3項任務(wù)中的任意一項，有3種排法；將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個整體和剩下的2個任務(wù)全排列即可，此時共有種方案；若任務(wù)B排在第3位，則將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個整體有3個位置可排，再將剩下的3個任務(wù)全排列安排在剩下的3個位置即可，此時共有種方案；故總共有48+36+36=120種方案．故選：D．7．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，，，得到答案.【詳解】；；；故.故選：C.8．已知的定義域為，且是奇函數(shù)，當時，，函數(shù)，則方程的所有的根之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)的定義域為，且是奇函數(shù)，得到的圖象關(guān)于對稱，且，再根據(jù)的圖象也關(guān)于對稱，畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】解：因為的定義域為，且是奇函數(shù)，所以，則的圖象關(guān)于對稱，且，當時，，又因為函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對稱，所以方程的所有的根之和即為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標和，和的圖象，如圖所示：

由圖象知：和的圖象有5個交點，其中一個交點的橫坐標為1，另外四個，兩兩分別關(guān)于對稱，所以5個交點的橫坐標之和為，故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標，下圖是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(單位：)的折線圖，則下列關(guān)于這10天中PM2.5日均值的說法正確的是A．眾數(shù)為30B．中位數(shù)是31C．平均數(shù)小于中位數(shù)D．后4天的方差小于前4天的方差【答案】AD【分析】根據(jù)折線圖，由眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差等概念及公式，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】眾數(shù)即是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，由折線圖可得，眾數(shù)為30，即A正確；中位數(shù)即是處在中間位置的數(shù)字，將折線圖中數(shù)字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126；處在中間位置的數(shù)字是：31，32，因此中位數(shù)為，即B錯；由折線圖可得，平均數(shù)為：，故C錯；前4天的平均數(shù)為：，后4天的平均數(shù)為前4天方差為：，后4天方差為：，所以后4天的方差小于前4天的方差，故D正確.故選：AD.【點睛】本題主要考查由折線圖計算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等，屬于基礎(chǔ)題型.10．已知圓上存在兩個點到點的距離為，則m的可能的值為A． B． C． D．【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，圓與圓相交，再由兩圓圓心距大于兩圓半徑之差，小于兩圓半徑之和，列出不等式，解得即可.【詳解】由題知，圓與圓相交，所以，，即，解得，即的值可以為：或或.故選：ACD.【點睛】本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交，屬于基礎(chǔ)題.11．已知是數(shù)列的前項和，，則下列遞推關(guān)系中能使存在最大值的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對于A，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出，可得A不正確；對于B，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得B正確；對于C，計算出數(shù)列的前四項，結(jié)合單調(diào)性可得C正確；對于D，推出數(shù)列為周期函數(shù)，可得D不正確.【詳解】對于A，由，，可得，，當為正奇數(shù)且趨近于無窮大時，也趨近于正無窮大，故不存在最大值，故A不正確；對于B，由，得，又，所以，當時，，當時，，當時，，所以當或時，取得最大值，故B正確；對于C，由，，得，，，，又，遞減，所以當時，取最大值，故C正確；對于D，由，，得，，，，所以數(shù)列的周期為，故不存在最大值，故D不正確.故選：BC12．正方體中，M是正方形的中心，P為線段上一動點，下列結(jié)論中正確的是（）A．；B．直線與直線所成角的余弦值為；C．不存在點P使得平面；D．三棱錐的體積為定值．【答案】ABD【分析】A選項，由三線合一證明出線線垂直；B選項，作出輔助線，找到異面直線的夾角，利用余弦定理求出答案；C選項，找到點P的位置，使得平面，C不正確；D選項，利用等體積法得到，由面積和為定值得到體積為定值.【詳解】設(shè)正方體的邊長為.A選項，在三角形中，，是的中點，所以，所以A正確.B選項，設(shè)是的中點，連接，則，

所以是異面直線與直線所成角（或其補角），在三角形中，，所以，所以異面直線與直線所成角的余弦值為，B正確.C選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，同理可證得平面，由于平面，所以平面平面，當時，平面，所以平面.即存在點P使得平面，C不正確.D選項，，其中和為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．若，，且，則與的夾角為；【答案】【分析】根據(jù)已知結(jié)合數(shù)量積的運算律可推得，然后即可求出，進而得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，所以，.又，所以.故答案為：.14．雙曲線的一條漸近線與直線平行，則它的離心率為．【答案】.【分析】由直線平行則斜率相等，求得之間的等量關(guān)系，再求離心率即可.【詳解】因為漸近線與直線平行，故可得，根據(jù)雙曲線離心率的計算公式可得：.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，屬基礎(chǔ)題.15．記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為．【答案】【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解：因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當時；故答案為：16．若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可分別用表示出切線方程，根據(jù)切線方程相同可構(gòu)造方程組，化簡得到，代入所求式子整理即可.【詳解】，，切線斜率，切線方程可記為：或，，，則，易得，，.故答案為：.三、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知.(1)求角的大??；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換對原式化簡，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為，即可求解；（2）根據(jù)面積公式求得，再利用余弦定理以及基本不等式可得出的取值范圍，即可得解.【詳解】（1）由題意知，原式可化為，即.整理可得：，即.又因為，則，所以，故.（2）因為，所以，由余弦定理和基本不等式可得：，當且僅當時，等號成立，所以，故的最小值為.18．已知等比數(shù)列，等差數(shù)列的公差，且，，，．(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列對任意，均有成立，求的通項公式．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知列出關(guān)系式，求解得出，進而得出的通項公式.然后求出的項，進而得出，即可得出的通項公式；（2）根據(jù)前n項和公式以及通項之間的關(guān)系，即可得出，從而得出，得出的表達式，然后求出的值，檢驗即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，，，，所以，即，解得，或（舍去），所以.所以，，所以，，所以．（2）由題意，，①，②②①得，所以，所以.當時，由可得不滿足上式.所以．19．如圖，已知四邊形與均為直角梯形，平面平面EFAD，，，為的中點，.

(1)證明：，，，四點共面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，,根據(jù)中位線結(jié)合已知得出四邊形與四邊形是平行四邊形，即可得出，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，得出相應(yīng)各點坐標，得出相應(yīng)向量，即可根據(jù)平面法向量求法得出平面與平面的法向量，即可根據(jù)二面角的向量求法得出答案.【詳解】（1）取的中點，連接，.因為為的中點，為的中點，且，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以且.又因為，且，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，.所以，，所以，，，四點共面.（2）因為平面平面，平面平面，且，所以平面.如圖，以B為原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，因為，，所以，令，得，所以.設(shè)平面的一個法向量為，因為，，所以，令，得，，所以.設(shè)平面與平面夾角為，所以.20．紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計算結(jié)果精確到0.1）附：回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)（）5215177137142781.33.6(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價格不變，無蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費用）為目標，請為果農(nóng)從以下幾個方案中推薦最佳防害方案，并說明理由.方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費用是18萬；方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費用是10萬；方案3：不采取防蟲害措施.【答案】(1)更適宜(2)(3)選擇方案1最佳，理由見解析【分析】（1）根據(jù)散點圖的形狀，可判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型；（2）將兩邊同時取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，即可得到答案；（3）求出三種方案的收益的均值，根據(jù)均值越大作為判斷標準.【詳解】（1）由散點圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.（2）將兩邊同時取自然對數(shù)，可得，由題中的數(shù)據(jù)可得，，，所以，則，所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，故y關(guān)于x的回歸方程為；（3）用，和分別表示選擇三種方案的收益.采用第1種方案，無論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬，即采用第2種方案，不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害，收益為萬，如果發(fā)生，則收益為萬，即，同樣，采用第3種方案，有所以，，，.顯然，最大，所以選擇方案1最佳.21．已知橢圓的左、右頂點分別為，，點為橢圓上異于，的一點，且直線，的斜率之積為.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過右