第5章 相交線與平行線全章復(fù)習(xí) 人教版七年級(jí)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)講與練

專題5.27相交線與平行線（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌握對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點(diǎn)到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用；3.了解命題的概念及構(gòu)成，并能通過(guò)證明或舉反例判定命題的真假；4.了解平移的概念及性質(zhì).【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、相交線1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即∠3+∠4=180°特別說(shuō)明：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.對(duì)頂角的特征:有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線.⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點(diǎn)，有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線．⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2.垂線及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號(hào)語(yǔ)言記作：AB⊥CD，垂足為O.特別說(shuō)明：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱：垂線段最短.（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點(diǎn)P到直線AB的距離是垂線段PO的長(zhǎng).特別說(shuō)明：垂線段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.知識(shí)點(diǎn)二、平行線1．平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．特別說(shuō)明：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.2．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).特別說(shuō)明：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)．（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．3．兩條平行線間的距離如圖3，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB與CD間的距離.特別說(shuō)明：（1）兩條平行線之間的距離處處相等.（2）初中階級(jí)學(xué)習(xí)了三種距離,分別是兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點(diǎn)在于都是線段的長(zhǎng)度,它們的區(qū)別是兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度,點(diǎn)到直線距離是直線外一點(diǎn)引已知直線的垂線段的長(zhǎng)度,平行線間的距離是一條直線上的一點(diǎn)到與之平行的另一直線的距離.（3）如何理解“垂線段”與“距離”的關(guān)系：垂線段是一個(gè)圖形，距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量，它們之間不能等同.知識(shí)點(diǎn)三、命題及平移1.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).2.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移．特別說(shuō)明：平移的性質(zhì)：（1）平移后，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等；（2）平移后，對(duì)應(yīng)角相等；（3）平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行（或共線）且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對(duì)全等圖形.【典型例題】類型一、相交線??求角度??證明 1．已知：如圖，直線相交于點(diǎn)O，于O．若，求的度數(shù)；若，求的度數(shù)；在（2）的條件下，請(qǐng)你過(guò)點(diǎn)O畫直線，并在直線上取一點(diǎn)F（點(diǎn)F與O不重合），然后直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)圖見(jiàn)分析；的度數(shù)為或【分析】（1）依據(jù)垂線的定義以及對(duì)頂角相等，即可得的度數(shù)；（2）依據(jù)平角的定義以及垂線的定義，即可得到的度數(shù)；（3）分兩種情況：若F在射線上，則；若在射線上，則．（1）解：∵，∴，又∵，∴；（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（3）分兩種情況：若F在射線上，則；若在射線上，則；綜上所述，的度數(shù)為或．【點(diǎn)撥】本題考查了角的計(jì)算，對(duì)頂角的性質(zhì)，垂線的意義，關(guān)鍵是分類討論思想的運(yùn)用．舉一反三：【變式1】如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)O，連接CE．（1）若OC＝2，OE＝1.5，CE＝2.5，則點(diǎn)E到直線CD的距離是______；（2）若∠BOD＝25°，則∠AOE＝______．【答案】

1.5##

115°##度【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到線的距離解答即可；（2）根據(jù)垂直的定義求出∠COE=90°，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AOC=∠BOD＝25°，即可求出∠AOE．解：（1）∵于點(diǎn)O，∴點(diǎn)E到直線CD的距離是OE＝1.5，故答案為：1.5；（2）∵于點(diǎn)O，∴∠COE=90°，∵∠AOC=∠BOD＝25°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°，故答案為：115°．【點(diǎn)撥】此題考查了點(diǎn)到直線的距離定義，垂直的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2】幾何說(shuō)理填空：如圖，直線、相交于點(diǎn)，于點(diǎn)平分平分．；求的度數(shù)．(過(guò)程如下，補(bǔ)全過(guò)程)解：∵于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，()∴，∵平分，∴．【答案】(1)(2)，，對(duì)頂角相等，，【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，，進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）結(jié)合圖形，根據(jù)垂直的意義，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角相等，填空即可求解．（1）解：∵平分平分∴，，∴，故答案為：；（2）∵于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，(對(duì)頂角相等)∴，∵平分，∴．故答案為：，，對(duì)頂角相等，，．【點(diǎn)撥】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的意義，對(duì)頂角相等，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．類型二、相交線??作圖??求解??證明 2．如圖，已知平面上三點(diǎn)A，B，C，按下列要求完成作圖和解答：畫射線AC，線段BC．(2)連結(jié)AB，并用圓規(guī)在線段AB的延長(zhǎng)線上截取BD＝BC（保留畫圖痕跡）．(3)過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E；點(diǎn)C到AB的距離是______的長(zhǎng)；線段這三條線段大小關(guān)系是______（用“＜”號(hào)連接）．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析(3)見(jiàn)分析；CE；．【分析】（1）根據(jù)射線和線段定義即可畫射線，線段；（2）根據(jù)線段定義即可連結(jié)，并用圓規(guī)在線段AB的延長(zhǎng)線上截?。唬?）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離定義即可解決問(wèn)題．（1）解：如圖，射線，線段即為所求；（2）解：如圖，即為所求；（3）解：點(diǎn)C到的距離是的長(zhǎng)；線段這三條線段大小關(guān)系是．故答案為：，．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-基本作圖，垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．舉一反三：【變式1】如圖，在三角形中，．過(guò)點(diǎn)畫的垂線，交于點(diǎn)；在（1）的條件下，點(diǎn)到直線的距離是線段______的長(zhǎng)度；在（1）的條件下，比較與的大小，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)AH(3)AB>AH【分析】（1）根據(jù)垂線的做法，過(guò)C點(diǎn)往AB作垂線即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，可知點(diǎn)到直線的距離是線段AH的長(zhǎng)度；（3）根據(jù)垂線段最短，進(jìn)行判定即可．（1）解：如圖所示（2）∵，∴點(diǎn)到直線的距離是線段AH的長(zhǎng)度，故答案為：AH；（3）AB>AH，理由如下：∵∴AB>BC，∵，∴∴BC>CH，∴AB>AH．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是垂線段的畫法以及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，需要熟練掌握垂線的畫法，準(zhǔn)確判斷點(diǎn)到直線的垂線段．【變式2】如圖，所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1，A、B、C都在格點(diǎn)上．過(guò)點(diǎn)B畫直線AC的垂線，垂足為G；比較BC與BG的大?。築CBG，理由是．已知AB=5，求△ABC中AB邊上的高h(yuǎn)的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)，垂線段最短(3)【分析】（1）利用網(wǎng)格正方形的性質(zhì)畫垂線即可；（2）利用垂線段最短可得答案；（3）利用等面積法列方程，再解方程即可．（1）解：如圖，直線BG即為所求；（2）BCBG，理由是垂線段最短．故答案為：，垂線段最短；（3）如下圖，∵，又∵，∴，解得，∴△ABC中AB邊上的高h(yuǎn)的長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了在網(wǎng)格圖中畫已知直線的垂線、垂線段的性質(zhì)、等面積法的應(yīng)用等知識(shí)，掌握“網(wǎng)格正方形的特點(diǎn)及垂線段的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．類型三、平行線??性質(zhì)??判定??求解??證明 3．如圖，直線、交于點(diǎn)O，，分別平分和，已知，且．求的度數(shù)；試說(shuō)明的理由．【答案】(1)的度數(shù)為(2)見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義推出，再根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)求解即可；（2）結(jié)合等量代換得出，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可得解．（1）解：∵，分別平分和，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，余角的性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OE，G是射線OB上一點(diǎn)，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．求證：∠AOE=∠ODG；若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)分析(2)CDOE，理由見(jiàn)分析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODG；（2）證明∠EOC=∠C，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，即可證明CDOE．解：（1）證明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線定義，垂直的定義，平行線的判定，等角的余角相等，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，點(diǎn)在上，已知，平分，平分．請(qǐng)說(shuō)明的理由．解：因?yàn)?已知)，(______)，所以(______)．因?yàn)槠椒?，所?______)．因?yàn)槠椒?，所以______，得(等量代換)，所以______(______)．【答案】平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；∠AGC；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】由題意可求得，再由角平分線的定義得，，從而得，即可判定．解：（已知），（平角的定義），（同角的補(bǔ)角相等）．平分，（角平分線的定義）．平分，，（等量代換），（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的定義，補(bǔ)角的性質(zhì)和平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理并靈活運(yùn)用．4．如圖，已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在線段上，與交于點(diǎn)，，．求證：；試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；若求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)分析；(2)，理由見(jiàn)分析；(3)【分析】（1）依據(jù)同位角相等，即可得到兩直線平行；（2）依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出，進(jìn)而判定，即可得出；（3）依據(jù)已知條件求得的度數(shù)，進(jìn)而利用平行的性質(zhì)得出的度數(shù)，依據(jù)對(duì)頂角相等即可得到的度數(shù)．解：（1）證明：，；（2）解：;理由：，,，,,；（3）解：，，,又，，，又，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判定兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行線關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．舉一反三：【變式1】如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)分別在上，且，．求證：；若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)分析；(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)垂直定義和平行線的判定與性質(zhì)即可求出結(jié)果．解：（1）證明：，，，，；（2）解：，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．【變式2】（1）問(wèn)題背景：如圖1，已知，點(diǎn)P的位置如圖所示，連結(jié)，試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系，以下是小明同學(xué)的探索過(guò)程，請(qǐng)你結(jié)合圖形仔細(xì)閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學(xué)式）：解：過(guò)點(diǎn)P作∵（已知），∴（______），∴，（______），∴______＋______（等式的性質(zhì)）．即，，之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）類比探究：如圖2，已知，線段與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)．若，，則______．（3）拓展延伸：如圖3，若與的角平分線相交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系______．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；；；（2）；（3）【分析】（1）結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)填空即可；（2）如圖2，過(guò)E點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可求解；（3）由（2）知：，如圖3，過(guò)F點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義即可求解．解：（1）過(guò)點(diǎn)P作，∵（已知），∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴（等式的性質(zhì)）．即，，之間的數(shù)量關(guān)系是．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；；；（2）如圖2，過(guò)E點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（3）由（2）知：，如圖3，過(guò)F點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴．即．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，利用類比方式推理是解題的關(guān)鍵．類型四、平行線??平行線之間距離??求解??證明??作圖 5．如圖，直線，與，分別相交于點(diǎn)，，且，交直線于點(diǎn)．若，求的度數(shù)；(2)若，，，求直線與的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直的定義可得，然后根據(jù)平角的定義即可得；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用三角形的面積公式即可得．（1）解：，，，，，．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，即，解得，即直線與的距離為．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行線間的距離，三角形的面積公式，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】按下列語(yǔ)句要求畫圖：（1）過(guò)C點(diǎn)畫AB的垂線段交AB于點(diǎn)D；（2）過(guò)B點(diǎn)畫AB的垂線PB；（3）過(guò)點(diǎn)C畫AB的平行線并與（2）的垂線相交于點(diǎn)E；（4）連結(jié)AE，在圖中找出與面積相等的三角形．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析；（3）見(jiàn)分析；（4）△ABC【分析】（1）（2）（3）依據(jù)題干要求畫出圖形；（4）根據(jù)平行線之間的距離和三角形面積即可解答．解：（1）如圖，CD即為所畫；（2）如圖，PB即為所畫；（3）如圖，CE即為所畫；（4）∵CE∥AB，∴CD=BE，∴△ABC與△ABE的面積相等．【點(diǎn)撥】本題考查了垂線和平行線的畫法，平行線之間的距離，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所畫圖形判斷出CD=BE，從而得到面積相等的三角形．【變式2】探究規(guī)律：我們有可以直接應(yīng)用的結(jié)論：若兩條直線平行，那么在一條直線上任取一點(diǎn)，無(wú)論這點(diǎn)在直線的什么位置，這點(diǎn)到另一條直線的距離均相等．例如：如圖1，兩直線，兩點(diǎn)、在上，于，于，則．如圖2，已知直線，、為直線上的兩點(diǎn)，、為直線上的兩點(diǎn)．（1）請(qǐng)寫出圖中面積相等的各對(duì)三角形：__________．（2）如果、、為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置總有：_______與的面積相等；理由是：___________．【答案】（1）和，和，和；（2），同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等【分析】（1）寫出面積相等的各對(duì)三角形，我們拿與為例：兩個(gè)三角形用公共邊為底，再由圖1的結(jié)論知道高相等，由三角形面積公式知兩個(gè)三角形面積相等，其它對(duì)分析類似；（2）根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，可以得出結(jié)論．解：（1）有三對(duì)分別是：和，和，和，分析如下：和，兩個(gè)三角形用公共邊為底，再由圖1的結(jié)論知道高相等，由三角形面積公式知兩個(gè)三角形面積相等；和，兩個(gè)三角形以為底，高相等，即面積相等；和，根據(jù)和面積相等，兩個(gè)三角形同時(shí)減去，得和面積相等．故答案為：和，和，和，（2）如果、、為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置總有：與的面積相等，分析如下：與同底，點(diǎn)在上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，點(diǎn)到另一條直線的距離相等，使得這兩個(gè)三角形是：同底等高的兩個(gè)三角形，即面積相等．故答案為：同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等【點(diǎn)撥】本題考查了兩條平行直線間的距離和兩個(gè)三角形面積相等問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：理解兩直線平行距離為定值及同底等高的兩個(gè)三角形面積相等．類型五、平行線??平移??命題、定理、證明??求解?證明?作圖 6．如圖，已知三角形，是的平分線，平移三角形，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．在圖中畫出平移后的三角形；畫出點(diǎn)到線段的垂線段；若，與相交于點(diǎn)，則___________°，___________°．【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)見(jiàn)分析 (3)35°

110°【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可；（3）利用角平分線的定義，平行線的性質(zhì)求解即可．解：（1）如圖，三角形即為所求；（2）如圖，線段即為所求；（3）是的平分線，，又，，，．故答案為，【點(diǎn)撥】本題考查平移變換，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵掌握平移變換的性質(zhì)．舉一反三：【變式1】如圖是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，線段的兩端都在小正方形的頂點(diǎn)，請(qǐng)按要求畫圖并解決問(wèn)題：將線段平移到線段（點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)），畫出線段；連接，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；連接，的面積為_(kāi)_____________．【答案】(1)作圖見(jiàn)分析(2)作圖見(jiàn)分析，AC＝BD，ACBD；(3)圖見(jiàn)分析，的面積為13【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)作出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，即可；（2）利用平移變換的性質(zhì)判斷即可；（3）把三角形的面積看成長(zhǎng)方形的面積減去周圍的三個(gè)三角形面積即可．（1）解：如圖，線段CD即為所求；（2）如圖，AC＝BD，ACBD；（3）△ABC的面積＝5×63×42×62×5＝13，故答案為：13．【點(diǎn)撥】本題考查作圖﹣平移變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)，屬于?？碱}型．【變式2】如圖，在直角三角形中，，將沿射線方向平移得到，，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，．若，求的度數(shù)．若，當(dāng)時(shí)，則______．【答案】(1)56°(2)4cm【分析】（1）先根據(jù)平移的性質(zhì)得到AC∥DF，再利用平行線的性質(zhì)得到∠ACB=∠F，由AD∥BF得到∠ACB=∠DAC，然后利用等量代換得到結(jié)論；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD=BE=CF，設(shè)AD=x，則CE=x，BE=CF=x，則利用BC=6得到x+x=6，然后解方程即可．（1）解：∵△ABC沿射線BC方向平移，得到△DEF，∴AC∥DF，AD∥BF，∴∠ACB=∠F，∴∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠F=∠DAC=56°；（2）∵△ABC沿射線BC方向平移，得到△DEF，∴AD=BE=CF，設(shè)AD=x，則BE=CF=x，∵AD=2EC，∴CE=x，∵BC=6，∴x+x=6，解得x=4，即AD的長(zhǎng)為4cm．【點(diǎn)撥】本題考查平移的基本性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，掌握：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．寫出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題，若是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例說(shuō)明：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；垂直于同一條直線的兩直線平行；相等的角是內(nèi)錯(cuò)角；有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形．【答案】(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，真命題(2)如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線（在同一平面內(nèi)），真命題(3)內(nèi)錯(cuò)角相等，假命題；例如：∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，但不相等(4)等邊三角形有一個(gè)角是60°真命題【分析】寫出各個(gè)命題的逆命題，作出判斷即可．解：（1）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，真命題；（2）如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線（在同一平面內(nèi)），真命題；（3）內(nèi)錯(cuò)角相等，假命題；例如：∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，但不相等；（4）等邊三角形有一個(gè)角是60°真命題．【點(diǎn)撥】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．舉一反三：【變式1】已知命題“如果兩條平行線被第三條直線所截，那么一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行．”寫出命題的