2021年中考數(shù)學(xué) 訓(xùn)練：《反比例函數(shù)綜合》（四）

2021年中考數(shù)學(xué)專題培優(yōu)訓(xùn)練:

《反比例函數(shù)綜合》(四)

1.在平面直角坐標(biāo)系X%中，直線/：尸a/b與雙曲線y=K交于點(diǎn)4(1,加和8(-2,

x

-1).點(diǎn)4關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)①求〃的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②求直線/的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)8作y軸的垂線與直線4C交于點(diǎn)D,經(jīng)過點(diǎn)C的直線與直線劭交于點(diǎn)E.若

30°WNCEI運(yùn)45°,直接寫出點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)力的取值范圍.

2.如圖，即的直角頂點(diǎn)P在第四象限，頂點(diǎn)48分別落在反比例函數(shù)，=區(qū)圖象的

x

兩支上，且陽，X軸于點(diǎn)C,*_Ly軸于點(diǎn)。，48分別與X軸，y軸相交于點(diǎn)尸和￡已

知點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,3).

(1)填空：k=；

(2)證明：CD//AB-,

(3)當(dāng)四邊形的面積和△戶辦的面積相等時(shí)，求點(diǎn)戶的坐標(biāo).

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線片5x+〃("<。)與坐標(biāo)軸交于48兩點(diǎn)，與尸&

2x

(%>0)交于點(diǎn)￡,過點(diǎn)￡作日」X軸，垂足為尸，且△以8s△儂，相似比為義.

(1)若求R的值；

(2)連接如，試探究卬與〃的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出直線"的解析式.

4.如圖，反比例函數(shù)y=K(4>0)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于48兩點(diǎn)(點(diǎn)

x4

4在第一象限).

(1)當(dāng)點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求〃的值；

(2)若4=12,點(diǎn)。為y軸正半軸上一點(diǎn)，乙ACB=%°,

①求第的面積；

②以4B、C、。為頂點(diǎn)作平行四邊形，直接寫出第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo).

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x勿中，線段兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為力(1,2),8(4,2),

以點(diǎn)0為位似中心，相似比為2,在第一象限內(nèi)將線段放大得到線段3.已知點(diǎn)8在

反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象上.

x

(1)求反比例函數(shù)的解析式，并畫出圖象；

(2)判斷點(diǎn)C是否在此函數(shù)圖象上；

(3)點(diǎn)〃為直線切上一動(dòng)點(diǎn)，過“作x軸的垂線，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)M若

M4AB,直接寫出點(diǎn)"橫坐標(biāo)R的取值范圍.

6.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)了4&>0)的圖象交于點(diǎn)力(2,a),

點(diǎn)8為x軸正半軸上一點(diǎn)，過8作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)G,交一次函數(shù)的

圖象于點(diǎn)D.

(1)求a的值及一次函數(shù)"=?”1的表達(dá)式；

(2)若做=10,求的面積.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形018c的頂點(diǎn)。與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,

3)，點(diǎn)4在x軸的正半軸上，直線y=x-1.交邊他6M于點(diǎn)久M,反比例函數(shù)"=四

x

(%>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)〃，與8c的交點(diǎn)為乂

(1)求8”的長.

(2)點(diǎn)戶是直線ZW上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)久點(diǎn)"重合)，連接陽、PC、MN,當(dāng)△8。

的面積等于四邊形4刎的面積時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，連接CP,以。為邊作矩形CPEF,使矩形的對角線的交點(diǎn)G落

在直線以/上，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0AA.0B,x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)為(?,1)在反比例函數(shù)y

=生的圖象上.

x

(1)求反比例函數(shù)y=K的表達(dá)式；

x

(2)求△478的面積；

(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以0、B、戶三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形若

存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，簡述你的理由.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)尸(a中0)與反比例函數(shù)y上的圖象交

X

于點(diǎn)彳(1,加)和8(-2,-1),點(diǎn)/!關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.

(2)直接寫出關(guān)于x的不等式ax+b4K的解.

x

(3)過點(diǎn)8作y軸的垂線與直線/C交于點(diǎn)。，經(jīng)過點(diǎn)C的直線與直線劭交于點(diǎn)￡且

30°WN/ZW60°,直接寫出點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)力的取值范圍.

10.已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系x勿中，雙曲線y上(k聲0)與直線-2x都經(jīng)過點(diǎn)力

x

(2,m).

(1)求力與〃的值；

(2)此雙曲線又經(jīng)過點(diǎn)8(",2),點(diǎn)C是y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)C到x軸的距

離是2,聯(lián)結(jié)力&AC.BC,

①求△/8C的面積；

②點(diǎn)￡在y軸上，△/(如為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo).

1-

01'"x

參考答案

1.解：(1)①：點(diǎn)8(-2,-1)在雙曲線y=K上,

X

二〃=-2X(-1)=2,

...反比例函數(shù)解析式為y=-,

X

9

.??點(diǎn)4(1,加在雙曲線曠=三上，

x

加=2,

?,/(1,2),

???點(diǎn)/關(guān)于*軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,

：.c(1,-2)；

②???直線/：y=a”6經(jīng)過點(diǎn)4(1,2)和8(-2,-1),

,(2=a+b

I-l=-2a+b

4a=1.

Ib=l

???直線/的解析式為1產(chǎn)1；

(2)如圖，

:點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,

軸，

??,孫y軸，

:?/BDC=qQ°,D(1,-1),

'：C(1,-2),

:.CXI,

①當(dāng)點(diǎn)￡在點(diǎn)。左側(cè)時(shí)，

當(dāng)NC￡Z?=45。時(shí)，DE=CD=',

t=0,

當(dāng)N%A30°時(shí)，DF=同。=炳,

t=1-V3>

?.?30°WNC的45°,

??-1-后力wo；

②當(dāng)點(diǎn)￡在點(diǎn)。右側(cè)時(shí)，同①的方法得，2W0+M，

即：1-爪WtWO或2WtW1+加.

2.(1)解：.「b點(diǎn)(1,3)在反比例函數(shù)y=K的圖象,

??=1X3=3.

故答案為：3.

（2）證明：■.?反比例函數(shù)解析式為y-1，

；?設(shè)力點(diǎn)坐標(biāo)為（a,3）.

a

軸于點(diǎn)C,以_Ly軸于點(diǎn)D,

二。點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-）,0點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—）,C點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,

aa

22

.\PB=3-—,PC=-—,PA=y-a,PD=',

aa

3

.PC_T_1PD_1

"PB=_3"1-a*PA=l-a*

3-

a

.PC_PD

"PB"PA"

又＜4P=Z.P、

：?1\PDCs4PAB,

CDP=/A,

:.CD//AB.

(3)解：:四邊形483的面積和△外。的面積相等,

??SMAB-2Sgeo、

X(3-—)X(1-a)=2X』X1X(--),

2a2a

整理得：(e-1)2=2,

解得：4=1-y/~2,色=1+(舍去)，

二戶點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-372-3).

3.解：(1)當(dāng)n=一^■時(shí)，直線方程是y="^_x-,，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-即4(0,--j-),則勿="1.

當(dāng)y=0時(shí)，x=],即8(1,0),則08=1.

*：XOABSXFEB、相似比為微，

：.EF=2OA=\,8尸=208=2,

OF=O及BF=\+2=3,

...點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(3,1).

???點(diǎn)￡在反比例函數(shù)"=典(x>0)的圖象上，

X

m=3X1--3；

(2)?.?直線尸(/7<0)與坐標(biāo)軸交于48兩點(diǎn),

???當(dāng)x=0時(shí)，y=n,即4(0,n),貝lj"=一

當(dāng)y=0時(shí)，x=-2n,即8(-2n,0),則08=-2n.

,：XOABs[\FEB、相似比為春，

:?EF=2OA=-2/7,BF=20B=-4n,

OF=O濟(jì)BF=-bn、

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-6/7,-2").

??,點(diǎn)E在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,

：.m=(-6/7)?(-2/7)=12/72；

由點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(-6n,-2n)得到直線好的解析式為：y=恭.

4.

???點(diǎn)/坐標(biāo)為(2,-1),

???點(diǎn)/在反比例函數(shù)片區(qū)(〃>0)的圖象上,

X

3

???〃=2xa=3,

2

(2)①???〃=12,

..?反比例函數(shù)解析式為y=工

X

(_12

y=-

聯(lián)立方程組可得：X,

3

X[=4X2=-4

解得：或C，

Yl=3=

IY2-3

...點(diǎn)4(4,3),點(diǎn)8(-4,-3),

：.AO^BO^5,

又,：NACB=90°,

:.CgAgBg5,

???點(diǎn)C(0,5),

/\ACB的面積=--X5X4+--X5X4=20；

22

②設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（x,y）,

若南為對角線，則四邊形是平行四邊形，

.■J8與3互相平分，

■.■-----3+3.---4-+-4---x-+-0-■

2222

/.x=0,y=-5,

?點(diǎn)。（0,-5）；

若4C為對角線，則四邊形力仇力是平行四邊形，

.?JC與劭互相平分，

.4+0-4+x5+3-3+y

■,一二—?二一?

2222

??x=8,y~~11,

，點(diǎn)。（8,11）；

若8c為對角線，則四邊形438是平行四邊形，

.?.8C與力?；ハ嗥椒郑?/p>

.-4+0_.x+4-3+53+y

2222

.??汗=-8,y=-1,

?,?點(diǎn)。（-8,-1）,

綜上所述：點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,-5）或（8,11）或（-8,-1）.

5.解：（1）將點(diǎn)8（4,2）代入反比例函數(shù)尸K中，得號=2,

x4

A=8,

???反比例函數(shù)的解析式為y=-,

X

圖象如圖1所示,

(2)■.?以點(diǎn)。為位似中心，相似比為2,在第一象限內(nèi)將線段加放大得到線段緲，且力

(1,2),

：.C(1X2,2X2),

即C(2,4),

由(1)知，反比例函數(shù)解析式為y=&,

X

當(dāng)x=2時(shí)，y=5=4,

..?點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上；

(3)?以點(diǎn)。為位似中心，相似比為2,在第一象限內(nèi)將線段48放大得到線段切，且8

(4,2),

：.D(4X2,2X2),

即D(8,4),

由(2)知，C(2,4),

...直線3的解析式為y=4,

???點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為m,則4),N(OT,包)，

m

o

.-.AW=|4-—|,

m

A(1,2),B(4,2),

.\AB=3,

、：*AB、

丁.|4--|23,

m

Q

...628或mW—,

o

即0VmW—或加28.

7

6.解：(1)把點(diǎn)4(2,a)代入反比例函數(shù)y=8(x〉0)得，a=§=4,

x2

???點(diǎn)4(2,4),代入得，4=2A+1,

解得k=§

2

???一次函數(shù)的表達(dá)式為y=|x+l；

(2)-：BD=W,

的縱坐標(biāo)為10,

把y=10代入y=-^x+l得，x=6,

OB=b、

當(dāng)x=6代入p=±4導(dǎo)，y-即仇7=春，

x33

：.CD=BD-BC=\G--426,

33

???^=yX-^-X(6-2)=竽

7.解：(1)依題意，得：點(diǎn)力的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,3).

當(dāng)x=3時(shí)，y—x-1=2,

，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,2).

將。(3,2)代入尸&,得：2=瞿，

x3

解得：777=6,

...反比例函數(shù)解析式為y=-.

X

當(dāng)y=3時(shí)，旦=3,

X

解得:x=2,

???點(diǎn)力的坐標(biāo)為(2,3),

:.BN=3-2=1.

(2)當(dāng)p=0時(shí)，x-1=0,

解得：x=1,

??.點(diǎn)"的坐標(biāo)為(1,0),

：.AM=2,

1g

S梯形A6Mf=—(BCh-AM)?AB=—.

設(shè)點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(X,X-1)(x#=1,X豐3),

1.OQ

Sgcp=—^6**13-//>!=—14-x|=―,

解得：毛=1(舍去)，*2=7,

???點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(7,6).

(3)過點(diǎn)。作CFLCP,交ZW于點(diǎn)F,如圖2所示.

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(/.

??.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(7,6),

:.P”(0-7)2+(3-6)2=58,CP=(/7-0)2+(n-1-2=2〃2-8加16,左=(

-7)2+(/7-1-6)2=2/72-28^98.

?：ZPCF=90°,

??.芯="+C戶,gp21一28^98=58+27—8加16,

解得：

5

???點(diǎn)/的坐標(biāo)為(冬白.

55

又；點(diǎn)G為線段"的中點(diǎn)，

p

8.解：(1)將4(泥，1)代入y=K,得：1=4，

xV3

解得：k=y/~2,

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=返.

X

(2)?.,點(diǎn)力的坐標(biāo)為(正，1),四_Lx軸于點(diǎn)C,

?-0C=^/3?

0A=VAC2+OC2=2=2>,C，?

：,AA0C=3Q°.

'.'OA-LOB,

：,ZAOB=90°,

：.ZB=ZAOC=30°,

：,AB=20A=4,

SAAOB=4-48?00=-yX4X^3=25/3.

(3)在Rt△力5中，04=2,ZA08=90°,ZA80=30°,

?3高新=2百

分三種情況考慮：

①當(dāng)”=08時(shí)，如圖2所示，

???08=2?,

??-0P=20

，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(-2爪，0),(2?,0),(0,-2?),(0,2?)；

②當(dāng)m=80時(shí)，如圖3,過點(diǎn)8做劭，y軸于點(diǎn)。，則合=3,

■：BP^BO,

：.0P=20C=24^OP=2OD=6,

...點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(2炳，0),(0,-6)；

③當(dāng)"。=陽時(shí)，如圖4所示.

若點(diǎn)"在x軸上，,:PO=PB'ZBOP=6QQ,

.?.△80戶為等邊三角形，

.1由但2?,

點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(2加，0)；

若點(diǎn)戶在y軸上，設(shè).OP=a、則47=3-a,

■:PgPB、

:.P”P3+BC、即成=(3-a)2+12,

解得：a=2,

...點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(0,-2).

綜上所述：在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)戶，使得以。、8、。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,

點(diǎn)夕的坐標(biāo)為(-2爪，0),(2?,0),(0,-26),(0,273)，(0，-6),

(0,-2).

圖3

9.解：(1),??點(diǎn)8(-2,-1)在反比例函數(shù)y=K的圖象上，

X

:?k=-2X(-1)=2,

??.反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=--,

X

當(dāng)x=1時(shí)，m=—=2,

X

???點(diǎn)力的坐標(biāo)為(1,2).

將4(1,2),8(-2,-1)代入y=ax^b,得：12地=2,

(-2a+b=-l

解得：(a」

Ib=l

???一次函數(shù)的表達(dá)式為y=/1.

(2)觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)xV-2或0Vx<1時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象

的下方，

不等式ax+b<K的解為xW-2或0VxW1.

x

(3)???點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)4C關(guān)于x軸對稱，

..?點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-2).

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-2,-1),BDLAC,

點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,